Cách giải các dạng bài Toán vòi nước
Bài toán vòi nước
Cách giải các dạng bài toán vòi nước bao gồm 2 dạng Toán có các ví dụ, lời giải minh họa và bài tập đi kèm. Các bài tập sau đây giúp các em học sinh khá giỏi nắm được cách giải các dạng bài Toán về chuyển động vòi nước chảy lớp 5 ôn thi học sinh giỏi, chuẩn bị cho các kỳ thi Violympic. Mời các em cùng tham khảo.
Trong chương trình Toán Tiểu học nâng cao, có nhiều bài toán mà ta không thấy có các vật chuyển động (động tử) ở trong đó nhưng vẫn có dạng gần giống toán chuyển động, được gọi là biến dạng của toán chuyển động.
1. Hướng dẫn giải dạng Toán vòi nước
Bài toán: Vòi nước chảy vào bể là một trong số đó. Loại toán này không phổ biến cho tất cả các học sinh nhưng lại rất thiết thực cho những HS năng khiếu.
Bài toán này thường có ba đại lượng:
- Thể tích của lượng nước (tương tự với quãng đường s). Thể tích này thường tính theo lít, hoặc mét khối, đêximet khối.
- Sức chảy (hay còn gọi là lưu lượng) của vòi nước tính theo đơn vị lít/phút hoặc lít/giây hoặc lít/giờ. Đại lượng này tương tự với vận tốc (v).
- Thời gian chảy của vòi nước, đại lượng này tương tự với thời gian t trong bài toán chuyển động.
Có 3 quy tắc (hoặc công thức sau)
Thể tích nước = Sức chảy x Thời gian
Sức chảy = Thể tích nước : Thời gian
Thời gian = Thể tích nước : Sức chảy
Nếu thay đại lượng sức chảy của vòi nước bằng một từ chính xác hơn là lưu lượng của vòi nước thì có thể viết lại ba quy tắc trên như sau:
Thể tích nước = Lưu lượng x Thời gian
Thời gian = Thể tích : Lưu lượng
Lưu lượng = Thể tích : Thời gian
Ghi chú: Khi giải toán loại này cần chú ý là : 1lít = 1dm3.
2. Các dạng Toán vòi nước
Dạng 1: Bài toán Vòi nước chảy vào bể tương tự với bài toán "Hai động tử chuyển động ngược chiều gặp nhau"
Ví dụ 1: Một cái bể rộng có sức chứa 3000 lít và không có nước. Cùng một lúc, người ta mở cho hai cái vòi chảy vào. Vòi thứ nhất mỗi phút chảy vào bể được 60 lít. Vòi thứ hai mỗi phút chảy vào bể được 40 lít. Hỏi sau bao lâu thì bể sẽ đầy?
- Phân tích:
+ Nếu ta coi sức chứa của cái bể là đại lượng tương đương với quãng đường thì hai vòi nước là hai động tử.
+ Cả hai cái vòi cùng chảy vào bể nên ta có thể xem hai động tử này chuyển động ngược chiều gặp nhau.
- Bài toán đã cho tương tự với bài toán "Hai động tử chuyển động ngược chiều gặp nhau". Như vậy thời gian để bể đầy nước tương tự như thời gian để hai động tử gặp nhau.
+ Trong bài toán này ta có thể xem vận tốc của hai động tử là là lưu lượng của hai vòi nước: 40 l/phút và 60 l/phút).
+ Khoảng cách giữa hai động tử là là 3000 lít
+ Như vậy bài toán này ta có thể hiểu như sau:
Quãng đường từ A đến B dài 300 km. Lúc 7 giờ 30 phút, có hai xe ô tô xuất phát ngược chiều nhau, một từ A và một từ B. Vận tốc của ô tô đi từ A là 60 km/h, vận tốc của ô tô đi từ B là 40km/h. Hỏi sau bao lâu thì hai xe gặp nhau?
Giải:
Sau một phút hai vòi chảy vào bể được:
60 + 40 = 100 (lít)
(đây có thể coi là quãng đường hai xe đi được sau 1 giờ)
Thời gian cần để hai vòi chảy đầy bể là:
3000 : 100 = 30 (phút)
Đáp số: 30 phút
Ví dụ 2: Một cái bể rộng có sức chứa 3000 lít và không có nước. Lúc 7 giờ 30 phút, người ta mở cho hai cái vòi cùng chảy vào. Đến 8 giờ thì bể đầy. Hãy tính xem trong một phút vòi thứ hai chảy vào bể được bao nhiêu lít biết rằng vòi thứ nhất trong một phút chảy vào bể được 60 lít.
Phân tích
+ Ta coi thể tích bể tương tự như khoảng cách ban đầu của hai động tử.
+ Thời gian để hai động tử gặp nhau (từ 7 giờ 30 phút đến 8 giờ).
+ Vận tốc của động tử thứ nhất (lưu lượng) là 60 lít/phút.
+ Bài toán yêu cầu tìm lưu lượng (vận tốc) của vòi nước thứ hai.
+ Muốn tìm được lưu lượng của vòi nước thứ hai chúng ta phải tính được lưu lượng của cả hai vòi trong một phút (tương tự với tổng vận tốc của hai động tử) rồi trừ đi lưu lượng của vòi thứ nhất).
Giải:
Thời gian để hai vòi chảy đầy bể là:
8 giờ – 7 giờ 30 phút = 30 phút
Trong một phút cả hai vòi cùng chảy vào bể được:
3000 : 30 = 100 (lít)
Trong một phút vòi thứ hai chảy được vào bể là:
100 – 60 = 40 (lít)
Đáp số: 40 lít.
Ví dụ 3: Trên một cái bể có hai vòi nước chảy vào. Vòi thứ nhất chảy 6 giờ thì bể đầy nước, vòi thứ hai chảy đầy bể trong 9 giờ. Hỏi nếu mở cả hai vòi cùng một lúc thì sau mấy giờ bể sẽ đầy nước?
Phân tích:
- Có thể hiểu bài này theo góc độ bài toán chuyển động đều:
Một ô tô đi từ A đến B hết 6 giờ. Một ô tô khác đi từ B về đến A hết 9 giờ. Hỏi nếu hai ô tô đó khởi hành cùng một lúc, một từ A, một từ B thì sau mấy giờ sẽ gặp nhau?
- Muốn biết được lưu lượng của vòi nước thì ta phải tính tính xem trong một giờ vòi nước chảy được bao nhiêu.
- Nếu ta coi thể tích của cái bể (tương tự như độ dài quãng đường AB) là một đơn vị thì trong một giờ vòi thứ nhất chảy được là 1/6 (thể tích bể) - đó chính là lưu lượng của vòi thứ nhất, lưu lượng của vòi nước thứ hai là là 1/9 thể tích bể.
Bây giờ bài toán đã trở về tương tự như bài toán ở ví dụ 1:
Giải:
Trong một giờ vòi thứ nhất chảy vào bể được:
1 : 6 = 1/6 (thể tích bể)
Trong một giờ vòi thứ hai chảy vào bể được:
1 : 9 = 1/9 (thể tích bể)
Trong một giờ cả hai vòi chảy vào bể được:
1/6 + 1/9 = 5/18 (thể tích bể)
Nếu mở cả hai vòi cùng một lúc thì bể sẽ đầy sau:
1 : 5/18 = 18/5 giờ = 3, 6 giờ
3, 6 giờ = 3 giờ 36 phút. Đáp số: 3 giờ 36 phút.
Có thể coi:
+ Các vòi nước chảy vào bể là các động tử chuyển động ngược chiều.
+ Lưu lượng của các vòi nước là vận tốc của mỗi động tử.
+ Phần thể tích bể còn trống là khoảng cách ban đầu.
+ Thời gian để nước chảy đầy bể là thời gian hai động tử gặp nhau.
Bài tập vận dụng:
Bài 1. Một hồ nước hình hộp chữ nhật dài 4m; rộng 2,5m và cao 1,8m. Hiện chứa 1500 lít nước. Lúc 7 giờ 38 phút người ta cho nước chảy vào hồ. Vòi thứ nhất mỗi phút chảy được 40 lít, vòi thứ hai mỗi phút chảy hơn vòi thứ nhất 20 lít. Hỏi hồ đầy nước lúc mấy giờ?
Bài 2. Một bể nước hình hộp chữ nhật có chiều dài 4m, rộng 3m, cao 2m. Cùng một lúc người ta mở hai vòi nước vào hồ. Đến 10 giờ thì cùng đóng cả hai vòi và nhận thấy phần hồ trống cao 0,2m. Biết vòi thứ nhất chảy được mỗi phút 70 lít nước, vòi thứ hai chảy mỗi phút được 65 lít nước. Hỏi người ta đã mở nước lúc mấy giờ?
Bài 3. Hai vòi nước cùng chảy vào bể không có nước, sau 10 giờ thì đầy bể. Nếu vòi thứ nhất chảy trong 4 giờ, vòi thứ hai chảy trong 7 giờ thì được 13/20 bể. Hỏi mỗi vòi chảy một mình thì sau bao lâu sẽ đầy bể?
Dạng 2: Bài toán Vòi nước chảy vào bể tương tự với bài toán "Hai động tử chuyển động cùng chiều đuổi nhau"
Ví dụ 1: Một bể nước hình hộp chữ nhật dài 1,2m; rộng 1m; cao 0,8m. Bể không có nước. Lúc 6 giờ người ta mở nước vào bể, mỗi phút chảy được 32 lít. Cùng lúc đó một vòi tháo nước từ trong bể ra, mỗi phút chảy ra 20 lít. Hỏi bể đầy nước lúc mấy giờ?
Phân tích:
+ Nếu ta coi thể tích bể nước là độ dài quãng đường thì hai vòi nước là hai động tử chuyển động trên quãng đường đó.
+ Vì có một vòi nước chảy vào nhưng đồng thời lại có một vòi nước chảy.
ra nên ta có thể coi bài toán đã cho tương tự với bài toán có hai động tử chuyển động cùng chiều, đuổi nhau.
+ Khoảng cách giữa hai động là thể tích bể
+ Lưu lượng nước chảy vào tương tự với vận tốc của động tử chạy nhanh.
+ Lưu lượng nước chảy ra tương tự với đại vận tốc của động tử chạy chậm
Giải:
Thể tích bể nước là:
1,2 x 1 x 0,8 = 0,96 (m3)
0,96 m3 = 960 dm3 = 960 lít.
Trong một phút lượng nước chảy được vào bể là:
32 – 20 = 12 (lít)
(Kết quả này tương tự như đại lượng "Hiệu vận tốc" của hai động tử")
Thời gian để nước chảy đầy bể là:
960 : 12 = 80 (phút) = 1 giờ 20 phút
Bể đầy nước lúc:
6 giờ + 1 giờ 20 phút = 7 giờ 20 phút.
Đáp số: 7 giờ 20 phút.
Ví dụ 2: Một bể nước hình hộp chữ nhật dài 2m; rộng 1,2m; cao 1,5m, hiện đang chứa 600 lít nước. Lúc 6 giờ 45 phút người ta mở vòi nước chảy vào bể, mỗi phút chảy được 15 lít nước. Do có một lỗ hổng ở đáy bể nên đến 10 giờ 55 phút bể mới đầy. Hỏi lỗ hổng chảy ra ngoài bao nhiêu lít nước trong mỗi phút?
Phân tích:
+ Đây là bài toán có dạng Hai động tử chuyển động cùng chiều, đuổi nhau.
+ Khoảng cách giữa hai động tử chính là phần thể tích bể còn trống.
+ Bài toán yêu cầu tìm lưu lượng nước chảy qua lỗ hổng tương tự với đại lượng vận tốc của động tử chạy chậm.)
Giải:
Thể tích bể nước là:
2 x 1,2 x 1,5 = 3, 6 (m3) = 3600 dm3 = 3600 lít.
Phần thể tích bể trống chiếm:
3600- 600 = 3000 (lít)
Thời gian để nước chảy đầy bể là:
10 giờ 55 phút - 6 giờ 45 phút = 4 giờ 10 phút = 250 phút
Trong một phút lượng nước chảy được vào bể là:
3000 : 250 = 12 (lít)
Mỗi phút lỗ hổng chảy mất:
15 – 12 = 3 (lít)
Đáp số: 3 lít
Khi gặp bài toán Vòi nước chảy vào bể mà có cả vòi nước chảy vào bể và vòi nước chảy ra thì các em nên phân tích theo bài toán Hai động tử chuyển động ngược chiều gặp nhau: Có thể coi:
+ Lưu lượng của vòi nước chảy vào là vận tốc động tử chạy nhanh.
+ Lưu lượng nước chảy ra là vận tốc của động tử chạy chậm.
+ Thể tích bể còn trống là khoảng cách giữa hai động tử.
+ Thời gian để nước chảy đầy bể là thời gian hai động tử đuổi kịp nhau.
3. Bài tập vận dụng
Bài 1. Một bể nước có hai vòi chảy vào và một lỗ thủng ở đáy bể. Biết rằng:
- Vòi thứ nhất chảy đầy bể cạn trong 6 giờ.
- Vòi thứ hai chảy đầy bể cạn trong 4 giờ.
- Lỗ thủng làm thoát hết nước của bể đầy trong 8 giờ?
Bể đang cạn, hỏi nếu mở cả hai vòi cùng một lúc thì sau bao lâu bể sẽ đầy?
Hướng dẫn giải
Một giờ vòi 11 chảy được là:
\(1: 6=\frac{1}{6}\) (bể)
Một giờ vòi 22 chảy được là:
\(1: 4=\frac{1}{4}\) (bể)
Một giờ lỗ thủng chảy được là:
\(1: 8=\frac{1}{8}\) (bể)
Một giờ cả 2 vòi chảy thì được là:
\(\left(\frac{1}{6}+\frac{1}{4}\right)-\frac{1}{8}=\frac{7}{24}\) (bể)
Bể đầy sau số thời gian là:
\(1: \frac{7}{24}=\frac{24}{7}\)(giờ)
Đáp số: \(\frac{24}{7}\)giờ
Bài 2. Vòi thứ nhất chảy trong 2 giờ thì đầy hồ. Vòi thứ 2 có sức chảy bằng 1/3 vòi thứ nhất. Vòi thứ 3 tháo hết hồ đầy nước trong 4 giờ. Nếu 2/5 hồ đã có nước, ta mở cả 3 vòi cùng một lúc thì trong bao lâu hồ sẽ đầy.
Hướng dẫn giải
Trong 1 giờ, vòi thứ nhất chảy được là 1 : 2 = \(\frac{1}{2}\)( hồ)
Trong 1 giờ, vòi thứ hai chảy được là: \(\frac{1}{3} \times \frac{1}{2}=\frac{1}{6}\)(hồ)
Trong 1 giờ, vòi thứ ba tháo hết là: 1 : 4 = \(\frac{1}{4}\) (hồ)
Phân số chỉ số phần hồ nước cần chảy thêm là: \(1-\frac{2}{5}=\frac{3}{5}\) (hồ)
Nếu cả 3 vòi cùng mở, trong 1 giờ, lượng nước vào bể là: \(\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{6}\right)-\frac{1}{4}=\frac{5}{12}\) (hồ)
Thời gian để hồ đầy là: \(\frac{3}{5}: \frac{5}{12}=\frac{36}{25}\) (giờ) = 1,44 giờ
Bài 3. Cùng một lúc người ta vặn hai cái vòi cho chảy vào hai cái bể có thể tích ngang nhau. Mỗi phút vòi thứ nhất chảy được 50 lít, còn vòi thứ hai chảy được 30 lít. Biết rằng bể thứ nhất đầy trước bể thứ hai 10 phút. Tính dung tích của mỗi bể.
Bài 4. Một vòi nước chảy 5 giờ thì đầy một cái hồ. Một vòi nước khác có sức chảy bằng 1/2 vòi thứ nhất. Vòi thứ ba có thể tháo hết hồ đầy nước trong 14 giờ. 2/7 hồ đã có nước. Người ta mở cùng một lúc cả ba vòi. Hỏi sau bao lâu hồ sẽ đầy nước.
Bài 5: Nếu 2 vòi nước cùng chảy vào một cái bể không có nước thì sau 7giờ 12phút bể đầy. Nếu chỉ mở vòi thứ nhất chảy 6 giờ và sau đó chỉ mở vòi thứ hai chảy tiếp trong 8 giờ nữa thì đầy bể. Hỏi nếu bể không có nước chỉ mở vòi thứ hai thì sau bao lâu bể đầy?
Đáp án:
7 giờ 12 phút = 7,2 giờ
Nếu cả 2 vòi cùng chảy sau 6 giờ thì thì được:
6 : 7,2 = 5/6 (bể)
Lượng nước còn lại để đầy bể:
1 – 5/6 = 1/6 (bể)
Thời gian còn lại để vòi thứ hai chảy được 1/6 bể là:
8 – 6 = 2 (giờ)
Thời gian để chỉ mỗi vòi thứ hai chảy đầy bể:
2 : 1/6 = 12 (giờ)
Đáp số: 12 giờ
Tham khảo thêm các dạng Toán nâng cao lớp 5
