Chứng minh tứ giác nội tiếp một đường tròn

1 106

Chứng minh tứ giác nội tiếp một đường tròn – Góc

Chứng minh tứ giác nội tiếp một đường tròn được VnDoc sưu tầm và đăng tải. Hướng dẫn các bạn học sinh chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn, với nhiều bài tập mẫu kèm đáp án giúp các bạn nắm chắc kiến thức cũng như ôn thi vào lớp 10 THPT sắp tới. Mời các bạn cùng tham khảo

Bài toán chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn. Hướng dẫn giải

– Phương pháp 1: Chứng minh tứ giác có hai góc vuông cùng nhìn một cạnh hoặc một đường chéo (tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác được xác định là trung điểm của cạnh hoặc đường chéo đó).

– Phương pháp 2: Chứng minh tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180o.

– Phương pháp 3: Chứng minh tứ giác có hai góc bằng nhau cùng nhìn một cạnh

– Phương pháp 4: Chứng minh bốn đỉnh của tứ giác cùng cách đều một điểm.

– Phương pháp 5: Chứng minh nếu tứ giác ABCD có AB cắt CD tại M mà

MA.MB = MC.MD thì tứ giác ABCD nội tiếp.

II. Bài tập mẫu

Bài 1. Cho đường tròn tâm O. Từ điểm A ở bên ngoài đường tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến AB và AC với đường tròn (B, C là hai tiếp điểm). Trên BC lấy điểm M, vẽ đường thẳng vuông góc với OM tại M, cắt AB và AC lần lượt tại E và D. Chứng minh các tứ giác EBMO và DCOM nội tiếp được trong đường tròn. Xác định tâm các đường tròn đó.

Giải

– Chứng minh tứ giác EBMO nội tiếp

Có OM ⊥ ME (gt) nên góc OME bằng 90o

OB ⊥ BE (BE là tiếp tuyến của (O)) nên góc OBE bằng 90o

Vậy, tứ giác EBMO có hai góc vuông cùng nhìn cạnh OE nên tứ giác EBMO nội tiếp trong đường tròn đường kính OE.

Chứng minh tứ giác nội tiếp một đường tròn

– Chứng minh tứ giác DCOM nội tiếp

Có OM ⊥ OD (gt) nên góc OMD bằng 90o

CD ⊥ OC (CĐ là tiếp tuyến của (O)) nên góc OCD bằng 90o

Vậy, tứ giác DCOM có hai góc vuông cùng nhìn cạnh OD nên tứ giác DCOM nội tiếp trong đường tròn đường kính OD.

Bài 2. Cho đường tròn tâm O đường kính AB = 2R. CD là đường kính di động. Gọi d là tiếp tuyến tại B của đường tròn (O), các đường thẳng AC, AD cắt d lần lượt tại P và Q.Chứng minh tứ giác CPQD nội tiếp được đường tròn.

Giải

Ta có:

Chứng minh tứ giác nội tiếp một đường tròn

Có: góc ADB bằng 90o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Chứng minh tứ giác nội tiếp một đường tròn

Từ (1) và (2) suy ra:

Chứng minh tứ giác nội tiếp một đường tròn

Chứng minh tứ giác nội tiếp một đường tròn

⇒ Tứ giác CPQD nội tiếp được đường tròn.

Bài 3. Qua điểm B nằm ở bên ngoài đường tròn (O), vẽ hai tiếp tuyến BC và BD với đường tròn (O), (C, D là các tiếp điểm). Từ B vẽ cát tuyến BMN (M nằm giữa B và N, tia BN nằm giữa hai tia BC và BO), gọi H là giao điểm của BO và CD.

a. Chứng minh BM.BN = BH.BO.

b. Chứng minh tứ giác OHMN nội tiếp.

Giải

a. Ta có: BC = BD (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

OC = OD (bán kính đường tròn (O))

⇒ BO là đường trung trực của CD ⇒ BO ⊥ CD          (1)

△BMC và △BCN có:

Chứng minh tứ giác nội tiếp một đường tròn

Nên △BMC đồng dạng △BCN (g.g)

Chứng minh tứ giác nội tiếp một đường tròn

Do (1) ta có △BCO vuông tại C, đường cao CH:

Chứng minh tứ giác nội tiếp một đường tròn            (3)

Từ (2) và (3) ⇒ BM.BN = BH.BO.

b. Ta có: BM.BN = BH.BO (chứng minh trên)

△BMO và △BHN có:

Chứng minh tứ giác nội tiếp một đường tròn

⇒ △BMO đồng dạng △BHN (c.g.c)

Chứng minh tứ giác nội tiếp một đường tròn

⇒ Tứ giác OHMN nội tiếp (hai góc bằng nhau cùng nhìn một cạnh).

Bài 4. Cho đường tròn tâm O và điểm M nằm ngoài đường tròn (O). Đường thẳng MO cắt (O) tại E và F (ME < MF). Vẽ cát tuyến MAB và tiếp tuyến MC của (O) (C là tiếp điểm, A nằm giữa hai điểm M và B, A và C nằm khác phía đối với đường thẳng MO).

a. Chứng minh MA.MB = ME.MF.

b. Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm C lên đường thẳng MO. Chứng minh tứ giác AHOB nội tiếp.

Giải

a. Hai tam giác MAE và MBF có:

Chứng minh tứ giác nội tiếp một đường tròn

⇒ △MAE đồng dạng với △MBF (g.g)

Nên:

Chứng minh tứ giác nội tiếp một đường tròn

Chứng minh tứ giác nội tiếp một đường tròn

b. Do hệ thức lượng trong đường tròn ta có:

MA.MB = Chứng minh tứ giác nội tiếp một đường tròn

Mặt khác, hệ thức lượng trong tam giác vuông MCO cho ta:

MH.MO = Chứng minh tứ giác nội tiếp một đường tròn ⇒ MA.MB = MH.MO

⇒ Tứ giác AHOB nội tiếp trong đường tròn.

III. Bài tập vận dụng

Bài 1. Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R. Gọi C, D là hai điểm trên nửa đường tròn đó sao cho C thuộc dây AD và góc COD bằng 120o. Gọi giao điểm của hai dây AD và BC và E, giao điểm của các đường thẳng AC và BD là F.

a. Chứng minh bốn điểm C, D, E, F cùng nẳm trên một đường tròn.

b. Tính bán kính của đường tròn đi qua C, E, D, F nói trên theo R.

Bài 2. Cho nửa đường tròn (O) đường kính BC. Lấy điểm A trên tia đối của tia CB. Kẻ tiếp tuyến AF với nửa đường tròn (O) (F là tiếp điểm), tia AF cắt tia tiếp tuyến Bx của nửa đường tròn (O) tại D (tia tiếp tuyến Bx nằm trong nửa mặt phẳng bờ BC chứa nửa đường tròn (O)). Gọi H là giao điểm của BF với DO, K là giao điểm thứ hai của DC với nửa đường tròn (O).

a. Chứng minhh: AO.AB = AF.AD.

b. Chứng minh tứ giác KHOC nội tiếp.

Bài 3. Cho hình thang cân ABCD (AB > CD, AB // CD) nội tiếp trong đường tròn (O). Kẻ các tiếp tuyến với đường tròn (O) tại A và D chúng cắt nhau ở E. Gọi M là giao điểm của hai đường chéo AC và BD.

Chứng minh tứ giác AEDM nội tiếp được trong một đường tròn.

Bài 4. Cho hai điểm A, B cố định và góc xAy bằng 60o (B thuộc miền trong góc xAy, B không thuộc Ax, Ay. Đường thẳng BN cắt Ax tại H và đường thẳng BM cắt Ay tại K. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB, HK.

a. Chứng minh HK = 2MN

b. Chứng minh tứ giác MINJ nội tiếp được đường tròn.

Bài 5. Cho góc vuông xOy và 2 điểm A, B trên Ox (OB > OA > 0), điểm M bất kì trên cạnh Oy (M≠O). Đường tròn (T) đường kính AB cắt tia MA, MB lần lượt tại điểm thứ hai: C, E. Tia OE cắt đường tròn (T) tại điểm thứ hai F.

a. Chứng minh bốn điểm: O, A, E, M nằm trên 1 đường tròn.

b. Tứ giác OCFM là hình gì? Tại sao?

Bài 6. Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Trên tia đối của tia AB lấy điểm C (AB>BC). Vẽ đường tròn tâm O’ đường kính BC. Gọi I là trung điểm của AC. Vẽ dây cung MN vuông góc với AC tại I, MC cắt đường tròn tâm O’ tại D.

a. Tứ giác AMCN là hình gì? Tại sao?

b. Chứng minh tứ giác NIDC nội tiếp.

Xem thêm đáp án bài tập vận dụng tại đây.

.............................................

Các bạn tham khảo thêm:

Ngoài Chứng minh tứ giác nội tiếp một đường tròn. Mời các bạn học sinh còn có thể tham khảo các đề thi học kì 2 lớp 9 các môn Toán, Văn, Anh, Lý, Địa, Sinh mà chúng tôi đã sưu tầm và chọn lọc. Với đề Thi vào lớp 10 năm 2019 này giúp các bạn rèn luyện thêm kỹ năng giải đề và làm bài tốt hơn. Chúc các bạn ôn thi tốt

Đánh giá bài viết
1 106
Thi vào lớp 10 môn Toán Xem thêm