Luyện tập Hình chữ nhật Hình vuông

Trong tam giác , NK là đường trung bình, do đó

Dễ thấy tứ giác là hình chữ nhật, do đó N là trung điểm của AE và BD và .

Tam giác IAE vuông tại I, có IN là đường trung tuyến, do đó: .

Tam giác IBD có IN là trung tuyến thỏa mãn , do đó BID là tam giác vuông tại I.

Hình vẽ minh họa:

Bốn tam giác bằng nhau

=> Tứ giác là hình thoi.

Ta có:

Mặt khác

Vậy hình thoi có một góc vuông nên tứ giác là hình vuông.

Hình vuông vừa là hình chữ nhật, vừa là hình thoi.

Nhóm tứ giác có tổng số đo hai góc đối bằng 180⁰ là: “Hình thang cân, hình chữ nhật, hình vuông.”

Hình vẽ minh họa

Vẽ tam giác đều vào trong hình vuông

Suy ra

Chứng minh tương tự

Vậy tam giác đều.

Hình vẽ minh họa

Ta có ABCD là hình chữ nhật nên

Đặt

Xét ba điểm ta có:

Do đó hay

Mặt khác hay

Từ (*) và (**) suy ra

Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi M nằm giữa A và C và  

=> M là trung điểm của AC

Chứng minh tương tự ta được:

Dấu “=” xảy ra khi M là trung điểm của BD

Hay

Do đó giá trị nhỏ nhất của tổng S là 100 khi M là giao điểm của hai đường chéo AC và BD.

Trong hình thoi hai đường chéo vuông góc với nhau.

Hình vẽ minh họa

Xét tứ giác có

Nên tứ giác là hình chữ nhật.

Mà AD là đường chéo đồng thời là đường phân giác nên tứ giác là hình vuông.

Hình vuông vừa là hình chữ nhật và hình thoi nên nó có đầy đủ tính chất của hình chữ nhật và hình thoi.

Vậy khẳng định sai là: “Hình vuông là hình chữ nhật nhưng không là hình thoi”

Hình vuông là tứ giác có bốn góc vuông và bốn cạnh bằng nhau.

Hình vẽ minh họa:

Kẻ , ta có là hình chữ nhật nên

Xét tam giác vuông tại H có

Hình vẽ minh họa

Gọi E là giao điểm của BP và CD, F là giao điểm của DQ và AB. Ta có:

(so le trong)

(hai góc đồng vị bằng nhau)

Chứng minh tương tự

Suy ra tam giác AFD cân tại A.

AQ là đường phân giác cũng là đường cao nên .

Vì theo trên nên suy ra .

Chứng minh tương tự như trên, ta có .

Tứ giác MNPQ có bốn góc vuông nên MNPQ là hình chữ nhật.

Hình vẽ minh họa

Theo giả thiết, và , suy ra tứ giác là hình bình hành.

Mặt khác

Vậy là hình chữ nhât.

Ta có:

Xét tai tam giác và  có:

Mặt khác