Luyện tập Đường trung bình của tam giác CTST

 Hình vẽ minh họa

Gọi M là trung điểm của CD.

Xét tam giác có là đường trung bình nên do đó (vì ).

Tứ giác có và nên là hình bình hành.

Hình bình hành này có góc nên là hình chữ nhật. Suy ra và

Xét tam giác AKM vuông tại K có KO là đường trung tuyến nên

Xét tam giác KBD có KO là đường trung tuyến mà

Suy ra tam giác KBD vuông tại K

=>

Hình vẽ minh họa

Ta có: M, N là trung điểm của các cạnh AB và AC

=> MN là đường trung bình của tam giác ABC

Do tam giác ABC đều nên ta có:

Chu vi tứ giác MNCB là: 

Hình vẽ minh họa

Ta có: I và K lần lượt là trung điểm của AB và AC 

Suy ra IK là đường trung bình của tam giác ABC

Đáp án đúng: "Đường trung bình của tam giác là đoạn nối trung điểm hai cạnh của tam giác."

Hình vẽ minh họa

Ta có:

=> là đường trung bình tam giác ABC

Hình vẽ minh họa

Gọi M là trung điểm của BC.

Vẽ A và

Xét tam giác AOH vuông tại H có nên

Xét tam giác BCE, dễ thấy MD là đường trung bình nên

Điểm C cách Oy một khoảng là 2cm nên C di động trên đường thẳng song song với Oy và cách Oy một khoảng bằng 2cm.

Hình vẽ minh họa

Gọi E là giao điểm của đường thẳng DM và AB.

Tam giác DBE có BM vừa là đường phân giác vừa là đường cao nên là tam giác cân

Do đó

Gọi N là trung điểm của BE thì MN là đường trung bình của tam giác EBD

=> Tam giác NBM cân

Tứ giác BCMN là hình thang cân

Xét tam giác MBE vuông tại M có MN là đường trung tuyến nên

Hình vẽ minh họa

Chu vi tam giác ABC là:

Ta có: E, F là trung điểm của các cạnh AB và BC

=> EF là đường trung bình của tam giác ABC

Ta có: F, P là trung điểm của BC và AC

=> FP là đường trung bình của tam giác ABC

Lại có: E, P là trung điểm của AB và AC

=> EP là đường trung bình của tam giác ABC

Chu vi tam giác EFP là:

Hình vẽ minh họa:

Xét tam giác ABC, ta có:

(Vì E là trung điểm của A)

(Vi D là trung điểm của AC)

=> ED là đường trung bình của ΔABC

(tính chất đường trung bình của tam giác) (*)

Xét tam giác GBC, ta có:

(Vì I là trung điểm của BG)

(Vì K là trung điểm của CG)

=> IK là đường trung bình của ∆GBC

(tính chất đường trung bình của tam giác) (**)

Từ (*) và (**) suy ra: .

Hình vẽ minh họa

Qua điểm B kẻ đường thẳng BJ // CI cắt ED tại J và BC = BE

Khi đó BJ là đường trung bình tam giác CIE

và J là trung điểm của IE

Ta có AI // BJ và AB = AB

Khi đó AI là đường trung bình tam giác DBJ

=> I là trung điểm của cạnh DJ

Suy ra

Hình vẽ minh họa

Vẽ thì và OH là đường trung bình của tam giác BKD

Xét tam giác ABK vuông tại K có

Từ (*) và (**) suy ra

Ta có:

I, K là trung điểm của AB và AC 

=> IK là đường trung bình tam giác ABC

Hình vẽ minh họa

Gọi E là trung điểm của OB thì ME là đường trung bình của tam giác AOB

=>

Do đó .

Tứ giác MECN là hình bình hành

Ta có: tại F (vì ), (tính chất đường chéo hình vuông).

Xét tam giác có E là trực tâm nên do đó

Xét tam giác và  tam giác có:

(một nửa của hai đoạn thẳng bằng nhau).

Vậy

Từ (1) và (2) suy ra tam giác MNB vuông cân.