VnDoc.com

Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 11 môn Toán cấp tỉnh năm 2018 - 2019 Sở GD&ĐT Bắc Ninh

Đề thi HSG Toán 11 có đáp án

4 3.166

Câu 1. (2,0 điểm) Cho hàm số

 

123ym xm 

có đồ thị là đường thẳng

d

. Tìm

m

để đường

thẳng

d

cắt trục

,Ox Oy

tại hai điểm

A

và

B

sao cho tam giác

OAB

cân.

Câu 2. (4,5 điểm)

1) Giải phương trình

22

3

4 sin 3 cos 2 1 2 cos

24

0

2c 3

1os

x











  



















.

2) Giải hệ phương trình

 

32 3

3 2 32

2

352 5 3 5 25

x xy x y y

x y x xy x y





  







    





.

Câu 3. (4,0 điểm)

1) Tìm

a

để hàm số

 

2

31 3

khi 1

1

2

khi 1

4

xx

x

fx

ax

x





 

























liên tục tại điểm

1x



.

2) Cho dãy số

 

n

u

xác định bởi

1

12 1

2

2019; 2020; , 2,

3

nn

n

uu

u u u nn





   



. Tính

lim

n

u

.

Câu 4. (2,5 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ

Oxy

, cho hình vuông

ABCD

có tâm

I

. Trung điểm

cạnh

AB

là

(0; 3)M

, trung điểm đoạn

CI

là

(1; 0)J

. Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông, biết đỉnh

D

thuộc đường thẳng

: 10xy 

.

Câu 5. (4,0 điểm)

1) Cho hình chóp

.S ABCD

, có đáy

ABCD

là hình chữ nhật với

3, AB a BC a

và

2SA SB SC SD a

. Gọi

K

là hình chiếu vuông góc của

B

trên

AC

và

H

là hình chiếu vuông

góc của

K

trên SA.

a) Tính độ dài đoạn

HK

theo

.a

b) Gọi

I

là giao điểm của hai đường thẳng

,HK SO

. Mặt phẳng

 



di động, luôn đi qua

I

và cắt

các đoạn thẳng

,,,SA SB SC SD

lần lượt tại

,,,

ABC D



. Tìm giá trị nhỏ nhất của

...P SA SB SC SD





.

2) Cho tứ diện đều

ABCD

có đường cao

AH

. Mặt phẳng

 

P

chứa

AH

cắt ba cạnh

,,BC CD

BD

lần lượt tại

,,MNP

; gọi

;;

là góc hợp bởi

;;AM AN AP

với mặt phẳng

 

BCD

. Chứng minh

rằng

222

tan tan tan 12



.

Câu 6. (3,0 điểm)

1) Cho tam thức

 

2

f x x bx c

. Chứng minh rằng nếu phương trình

 

fx x

có hai nghiệm

phân biệt và

2

2 34bb c 

thì phương trình

 

ffx x









có bốn nghiệm phân biệt.

2) Cho

,,abc

là các số thực dương thay đổi thỏa mãn

2

()a b c ab 

. Tìm giá trị nhỏ nhất của

biểu thức

2

22

ab c c

P

ab abc

ab









 











 





.

3) Lớp

11

Toán có

34

học sinh tham gia kiểm tra môn Toán để chọn đội tuyển dự thi học sinh giỏi

cấp tỉnh. Đề kiểm tra gồm

5

bài toán. Biết rằng mỗi bài toán thì có ít nhất

19

học sinh giải quyết được.

Chứng minh rằng có

2

học sinh sao cho mỗi bài toán đều được một trong hai học sinh này giải quyết được.

-----------------Hết-----------------

Họ và tên thí sinh :....................................................... Số báo danh .............................

UBND TỈNH BẮC NINH

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

(Đề thi có 01 trang)

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

NĂM HỌC 2018 – 2019

Môn thi: Toán – Lớp 11

Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

ĐỀ CHÍNH THỨC

UBND TỈNH BẮC NINH

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HƯỚNG DẪN CHẤM

THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

NĂM HỌC 2018 - 2019

Môn: Toán – Lớp 11

Câu

Lời giải sơ lược

Điểm

1. (2,0 điểm)

Ta có

d

cắt trục

Ox

tại điểm

23

;0

1

m

A

m

























(điều kiện

1m



)

d

cắt trục

Oy

tại điểm





0; 2 3Bm



0,5

Khi đó

OAB

vuông tại

O

nên

OAB

cân tại

O

23

1

m

OA OB m

m



 



0,5

3

2

2 30

2

11

0

m















 















.

0,5

Với

3

2

m 

ta có ba điểm

,,ABO

trùng nhau (Loại). Hai trường hợp còn lại thỏa mãn.

Vậy

0; 2mm

là các giá trị cần tìm.

0,5

Chú ý:

+ Học sinh thiếu điều kiện

1m 

trừ 0,25 điểm.

+ Nếu học sinh thiếu dấu trị tuyệt đối ở bước 2, mà làm đúng các bước trên và tìm ra được

2

m 

cho 1,25 điểm.

+ Nếu học sinh thiếu dấu trị tuyệt đối ở bước 2, mà làm đúng các bước trên và tìm ra được

3

2;

2

mm 

cho 1,0 điểm.

CÁCH 2: Học sinh có thể giải theo cách ngắn hơn như sau (vẫn cho điểm tối đa)

Vì

d

cắt trục

,Ox Oy

lần lượt tại

,AB

sao cho

OAB

vuông cân tại

O

nên

d

có hệ số góc

k

, với

tan 45 1

1

tan135

kk

k





















Mặt khác theo giả thiết

d

có hệ số góc

1km

.

Do đó

11 0

10 2

mm



 







 





.

2.1 (2,25 điểm)

Điều kiện:

1

cos 3

2

x



0,25

Ta có: phương trình đã cho tương đương với

22

3

4 sin 3 cos2 1 2 cos

24

x

xx











  













2 2 3 cos 2 2 sin 2cos co2 3 cos 2 si 2s nxxx x xx       

0,75

 

cos 2 cos

6

xx











  













 

52

18 3

7

2

6

k

x















 









0,75

Với

 

7

2

6

x kk



  

, ta có

1

cos 3 0

2

x  

(thỏa mãn điều kiện

 

*

)

Với

 

52

18 3

kxk



  

, ta có

31

cos 3

22

x

 

(không thỏa mãn điều kiện





*

)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm

 

7

2

6

x kk



  

0,5

2.2 (2,25 điểm)

 

32 3

3 2 32

21

352 5 3 5 252

x xy x y y

x y x xy x y





  







    





Điều kiện:

2

5

2 50

2

0

x

xx

x









 









Ta có phương trình

 

1





 

33 23

0x y xy y x y

 

 

22

2 10

2 1 0*

xy

x y x xy y

x xy y







    



  





0,5

Mà

2

22

7

2 1 1 0, ,

24

yy

x xy y x x y









       















nên phương trình





*

vô

nghiệm.

0,25

Thay

yx

vào phương trình





2

ta có

 

3 2 32

352 5 3 5 25x x x xx x x

    

 





 

3 2 32 3

352 513 5 25 35

xx xx xxx xx     

 





2

32

2

2 51

35 2 51

2 51

xx

x x xx x

xx



      



 





2

3

2

32

2

25

4

10

35

2 51 0

35 2 51

25

3

1

xx

xx x

x x xx x

xx



 















    













   













5 33 5 33

(3)

44

xx













, thỏa mãn.

1,0

 

2

3 23 2

(4) 25 2 5 (25) 2 5x xxxx x xxxx



        









 

2

3 3 23

2 (2 5) (2 5) (2 5)

x xx x xx     

 

2

33 2

(2 5) (2 5) 0x xx x    

2

3

32

2 2 50

25 3

(2 5) 0

2 50

24

xx

x

xx

x







 













    





















, không thỏa mãn.

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm

 

5 33 5 33 5 33 5 33

; ; ;;

44 44

xy

  

    





















  

.

0,5

3.1 (2,0 điểm)

Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán lớp 11

VnDoc xin giới thiệu tới bạn đọc Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 11 môn Toán cấp tỉnh năm 2018 - 2019 Sở GD&ĐT Bắc Ninh. Nội dung tài liệu gồm 5 câu hỏi bài tập, thời gian làm bài 180 phút. Mời các bạn tham khảo.

---------------------------

Trên đây VnDoc đã giới thiệu tới các bạn Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 11 môn Toán cấp tỉnh năm 2018 - 2019 Sở GD&ĐT Bắc Ninh. Để có kết quả cao hơn trong học tập, VnDoc mời các bạn học sinh tham khảo Giải bài tập Sinh học lớp 11, Giải bài tập Vật lý lớp 11, Giải bài tập Hóa học lớp 11, Giải bài tập Toán lớp 11, Tài liệu học tập lớp 11 mà VnDoc tổng hợp và đăng tải.