VnDoc.com

Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 11 môn Toán cấp tỉnh năm 2018 - 2019 Sở GD&ĐT Thanh Hóa

Đề thi HSG Toán 11 có đáp án

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

THANH HÓA

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Số báo danh……………

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

NĂM HỌC 2018 – 2019

Môn thi: TOÁN – Lớp 11 THPT

Thời gian làm bài: 180 phút (Không kể thời gian giao đề)

Ngày thi: 21 tháng 3 năm 2019

(Đề thi có 01 trang, gồm 5 câu)

Câu I (4,0 điểm)

1. Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị (P) của hàm số y = x

2

–2mx + 3, biết rằng (P) có trục đối xứng là x = 2.

2. Giải phương trình:

2

2 7 2 1 8 7 1        x x x x x

.

Câu II (4,0 điểm)

1. Giải phương trình:

2sin2 cos2 7sin 4 3

1

2cos 3

   





x x x

x

.

2. Giải hệ phương trình:

 

3 2 2

2

2 2 2

4 4 1 5 4 1

2 3 3 6 7 1 1 3 2



       







        



y y y x y y x

x x x y x y x

(

, xy

).

Câu III (4,0 điểm)

1. Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn:

 

2

2 2 2

1

4 4 2 2

2

    x y z x y z

. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

  

3 3 3

88

2 2 4 2 2





   

x y z

P

x y z xy yz zx

.

2. Cho dãy số xác định bởi:

1

*

1

2

4 3.4 ,









  



n

nn

u

u u n

. Tìm số hạng tổng quát u

n

và tính giới hạn

2

2 3 1

lim



n

nn

u

.

Câu IV (4,0 điểm)

1. Có bao nhiêu số tự nhiên có 8 chữ số khác nhau mà có mặt hai chữ lẻ và ba chữ số chẵn, trong đó mỗi chữ số

chẵn có mặt đúng hai lần?.

2. Trong hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (C) tâm I, trọng tâm

8

;0

3







G

, các điểm

   

0;1 , 4;1MN

lần lượt đối xứng với I qua AB và AC, điểm

 

2; 1K

thuộc đường thẳng BC. Viết phương

trình đường tròn (C).

Câu V (4,0 điểm)

1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O. Một mặt phẳng không qua S cắt các cạnh SA, SB,

SC, SD lần lượt tại M, N, P, Q thỏa mãn:

2 , 3SA SM SC SP

. Tính tỉ số

SB

SN

khi biểu thức

2

4









SB SD

T

SN SQ

đạt giá trị nhỏ nhất.

2. Cho hình lăng trụ ABCD.A

1

B

1

C

1

D

1

. Một mặt phẳng (



) thay đổi và luôn song song với đáy cắt các đoạn AB

1

,

BC

1

, CD

1

, DA

1

lần lượt tại M, N, P, Q. Hãy xác định vị trí của mp(



) sao cho diện tích MNPQ nhỏ nhất.

…HẾT…

Hướng dẫn giải Đề thi HSG Thanh Hóa ngày 21/3 năm 2019

Câu I.2. Giải PT:

2

x 2 7 x 2 x 1 x 8x 7 1        

.

Đặt

22

7 x u 0; x 1 v 0 u v 6        

ta có pt:

   

2

v 1 2u 2v 1 uv 2 u v v u v        

v2

v u 3













x5

x4













(thỏa mãn). Vậy tập nghiệm

 

S 4;5

.

Câu II. 1. Giải phương trình:

2sin2x cos2x 7sinx 4 3

1

2cosx 3

   





.

ĐK:

2cosx 3 0

Từ pt

 

2

2sin2x cos2x 7sinx 4 2cosx 2cosx 2sinx 1 2sin x 7sinx 3 0          

  

11

sinx sinx

2sinx 1 2cosx sin x 3 0

22

2cosx sinx 3 cosx sin x 1(loai)







     



   



1

sinx x k2

26



     

(loại nghiệm

5

x k2

6



  

). KL: nghiệm của pt là

x k2

6



  

.

Câu II. 2. Giải hệ phương trình:

 

3 2 2

2

2 2 2

y 4y 4y x 1 y 5y 4 x 1

2 x 3x 3 6x 7 y x 1 y 1 3x 2



       







        



.

ĐK:

2

x

3



. Từ pt đầu tương đương:

   

 

22

y y 2 y 2 x 1 x 1 x 1 y       

 

2

y x 1

y x 1 y 2 x 1 0 y x 1

y 2 x 1 0







          





   



(loại nghiệm x = -1, y = 2)

Thế

2

y x 1

(y > 0) vào pt thứ hai thì được:

      

2

2 x 3x 3 2 3x 2 x 3x 2 x 1 x 1 3x 3           

 

    

2

x 3x 2

2 3x 2 3x 2 x x 1 x 1 3 x 1

x 3x 3 2



         

  

 

22

2

x 3x 2 x 3x 2

2 3x 2 x 3x 2 x 2

3x 2 x

x 3x 3 2

   

      



  

+ TH1:

2

x 3x 2 0 x 1 x 2      



hệ có nghiệm

 

   

x;y 1; 2 2; 3

.

+ TH2:

22

2 3x 2 2 3x 2

x 2 x 2

3x 2 x 3x 2 x

x 3x 3 2 x 3x 3 2



      

   

     

(*)

Dễ thấy (*) vô nghiệm vì

2

x

3



thì VT(*) < 1 < VP(*).

KL: hệ có nghiệm

 

   

x;y 1; 2 2; 3

.

Câu III.1. Cho x, y, z > 0 thỏa mãn:

 

2

2 2 2

1

4x 4y z 2x 2y z

2

    

. Tìm GTLN của biểu thức:

  

3 3 3

8x 8y z

P

2x 2y z 4xy 2yz 2zx





   

Đặt

2 2 2

2x 2y z 1

a, b, c S a b c 1;a b c

2x 2y z 2x 2y z 2x 2y z 2

          

     

và biểu thức P

trở thành:

3 3 3

a b c

P

ab bc ca







.

Ta có

     

3

3 3 3

a b c a b c 3 a b b c c a        

hay là:

    

3

3 3 3

a b c a b c 3 a b c ab bc ca 3abc          

 

3 3 3 3

a b c S 3S ab bc ca 3abc      

thế vào P thì:

 

1 3 ab bc ca 3abc

1 3abc

P P 3

ab bc ca ab bc ca

   



   

   

. Mặt khác từ giả thiết ta có:

 

2

11

1 S 2 ab bc ca ab bc ca

24

        

thế vào P thì ta được:

P 3 4 12abc P 1 12abc     

. Ta chứng minh

11

P 1 12abc

9

  

. Thật vậy khi đó bđt

1

6abc

9



.

Ta có:

 

2 2 2

1 1 a b 1 1 1 2

a b c 1 c c 0;

36 36 3 3 2 18 3 3

     

           

    



     

Xét

 

22

2 2 2

11

Q 6abc 2ab.3c 4ab 2 a b a b 2 1 c c

29







           











Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán lớp 11

VnDoc xin giới thiệu tới bạn đọc Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 11 môn Toán cấp tỉnh năm 2018 - 2019 Sở GD&ĐT Thanh Hóa. Nội dung tài liệu gồm 5 câu hỏi bài tập, thời gian làm bài 180 phút, đề thi có đáp án. Mời các bạn tham khảo.

---------------------------

Trên đây VnDoc đã giới thiệu tới các bạn Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 11 môn Toán cấp tỉnh năm 2018 - 2019 Sở GD&ĐT Thanh Hóa. Để có kết quả cao hơn trong học tập, VnDoc mời các bạn học sinh tham khảo Giải bài tập Sinh học lớp 11, Giải bài tập Vật lý lớp 11, Giải bài tập Hóa học lớp 11, Giải bài tập Toán lớp 11, Tài liệu học tập lớp 11 mà VnDoc tổng hợp và đăng tải.