Lý thuyết cấp số nhân

Cấp số nhân Toán 11

Toán lớp 11: Lý thuyết cấp số nhân

VnDoc xin giới thiệu tới các bạn học sinh tài liệu Lý thuyết cấp số nhân, chắc chắn nội dung tài liệu sẽ giúp các bạn học sinh học tập môn Toán được tốt hơn. Mời thầy cô và các bạn học sinh cùng tham khảo.

Để tiện trao đổi, chia sẻ kinh nghiệm về giảng dạy và học tập các môn học lớp 11, VnDoc mời các thầy cô giáo, các bậc phụ huynh và các bạn học sinh truy cập nhóm riêng dành cho lớp 11 sau: Nhóm Tài liệu học tập lớp 11. Rất mong nhận được sự ủng hộ của các thầy cô và các bạn.

Lý thuyết cấp số nhân - Toán 11

1. Cấp số nhân là gì?

- Định nghĩa: Dãy số _{$\left( {{U}_{n}} \right)$} được xác định bởi: _{$\left( {{U}_{n}} \right)=\left\{ \begin{matrix} {{u}_{1}}=a \\ {{u}_{n+1}}={{u}_{n}}.q \\ \end{matrix}\left( n\in \mathbb{N}* \right) \right.$} thì dãy số này được gọi là cấp số nhân, q là công bội.

- Như vậy ta có thể hiểu cấp số nhân có dạng: _{$a,aq,a{{q}^{2}},a{{q}^{3}},a{{q}^{4}},...$} với a là số hạng đầu tiên và q là công bội.

Ví dụ: Cấp số nhân có số hạng đầu bằng 2 và công sai bằng 2 là 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, ....

2. Số hạng tổng quát của cấp số nhân

- Cấp số nhân bắt đầu là phần tử ${{u}_{1}}$ ${{u}_{1}}$ và công bội q thì số hạng thứ n của cấp số cộng được tính theo công thức:

${{u}_{n+1}}=a.{{q}^{n}},n\ge 1$ ${{u}_{n+1}}=a.{{q}^{n}},n\ge 1$

$\Rightarrow q=\sqrt[n-1]{\frac{{{a}_{n}}}{a}},n\ge 1$ $\Rightarrow q=\sqrt[n-1]{\frac{{{a}_{n}}}{a}},n\ge 1$

3.Tính chất cấp số nhân

- Ba số hạng _{${{u}_{n-1}},{{u}_{n}},{{u}_{n+1}}$} là 3 số hạng liên tiếp của cấp số nhân khi

_{$u_n^2=u_{n-1}.u_{n+1}\ \left(n\ge1\right)$}4. Tổng của một cấp số nhân

- Tổng số hạng đầu của cấp số nhân:

$\sum\limits_{k=0}^{n}{a{{q}^{k}}=a{{q}^{0}}+a{{q}^{1}}+a{{q}^{2}}+a{{q}^{3}}+...+a{{q}^{n}}}$ $\sum\limits_{k=0}^{n}{a{{q}^{k}}=a{{q}^{0}}+a{{q}^{1}}+a{{q}^{2}}+a{{q}^{3}}+...+a{{q}^{n}}}$

Nhân cả 2 vế với: _{$\left( 1-q \right)$}

$\Leftrightarrow \left( 1-q \right){{S}_{n+1}}=\left( 1-q \right)\sum\limits_{k=0}^{n}{a{{q}^{k}}=a-a{{q}^{n+1}}}$ $\Leftrightarrow \left( 1-q \right){{S}_{n+1}}=\left( 1-q \right)\sum\limits_{k=0}^{n}{a{{q}^{k}}=a-a{{q}^{n+1}}}$

Vì tất cả các số hạng khác đã loại trừ lẫn nhau

$\Rightarrow {{S}_{n+1}}=\sum\limits_{k=0}^{n}{a{{q}^{k}}=\frac{a\left( 1-{{q}^{n+1}} \right)}{1-q}}$ $\Rightarrow {{S}_{n+1}}=\sum\limits_{k=0}^{n}{a{{q}^{k}}=\frac{a\left( 1-{{q}^{n+1}} \right)}{1-q}}$

5.Chú ý

a. Dãy số _{$\left( {{U}_{n}} \right)$} là một cấp số nhân, công sai d _{$\Leftrightarrow \frac{{{u}_{n+1}}}{{{u}_{n}}}=q$} không phụ thuộc vào n

b. Ba số a, b, c lập thành một cấp số nhân $\Leftrightarrow {{b}^{2}}=a.c$ $\Leftrightarrow {{b}^{2}}=a.c$

Ví dụ: Cho cấp số nhân _{$\left( {{U}_{n}} \right)$} thỏa mãn: _{${{u}_{n}}={{3}^{\frac{n}{2}+1}}$}

a. Chứng minh dãy số là cấp số nhân

b. Tính _{$S={{u}_{2}}+{{u}_{4}}+{{u}_{6}}...+{{u}_{20}}$}

c. Số 19683 là số hạng thứ bao nhiêu của dãy số.

Hướng dẫn giải

a. Ta có: _{$\frac{{{u}_{n+1}}}{{{u}_{n}}}=\frac{{{3}^{\frac{n+1}{2}+1}}}{{{3}^{\frac{n}{2}+1}}}=\sqrt{3}=const$} không phụ thuộc vào n. Vậy dãy số _{$\left( {{U}_{n}} \right)$} là một cấp số nhân với số hạng đầu _{${{u}_{1}}=3\sqrt{3}$} và công bội là _{$q=\sqrt{3}$}

b. Ta có: _{${{u}_{2}},{{u}_{4}},{{u}_{6}},...,{{u}_{20}}$} lập thành một cấp số nhân với số hạng đầu là _{${{u}_{2}}=9,q=3$} và có 10 số hạng nên

$\Rightarrow S={{u}_{2}}+{{u}_{4}}+{{u}_{6}}+...+{{u}_{20}}={{u}_{2}}\frac{1-{{3}^{10}}}{1-3}=\frac{9}{2}\left( {{3}^{10}}-1 \right)$ $\Rightarrow S={{u}_{2}}+{{u}_{4}}+{{u}_{6}}+...+{{u}_{20}}={{u}_{2}}\frac{1-{{3}^{10}}}{1-3}=\frac{9}{2}\left( {{3}^{10}}-1 \right)$

c. Ta có: ${{u}_{n}}=19683\Rightarrow {{3}^{\frac{n}{2}+1}}={{3}^{9}}\Leftrightarrow n=16$ ${{u}_{n}}=19683\Rightarrow {{3}^{\frac{n}{2}+1}}={{3}^{9}}\Leftrightarrow n=16$

-----------------------------------

Trên đây VnDoc.com đã giới thiệu tới bạn đọc tài liệu: Lý thuyết cấp số nhân. Để có kết quả cao hơn trong học tập, VnDoc xin giới thiệu tới các bạn học sinh tài liệu Sinh học lớp 11, Vật lý lớp 11, Hóa học lớp 11, Giải bài tập Toán 11 mà VnDoc tổng hợp và đăng tải.

Chia sẻ, đánh giá bài viết

1

664