Lý thuyết cấp số nhân Toán 11
Toán lớp 11: Lý thuyết cấp số nhân
VnDoc xin giới thiệu tới các bạn học sinh tài liệu Lý thuyết cấp số nhân, chắc chắn nội dung tài liệu sẽ giúp các bạn học sinh học tập môn Toán được tốt hơn. Mời thầy cô và các bạn học sinh cùng tham khảo.
1. Định nghĩa cấp số nhân
- Định nghĩa: Dãy số 
\(\left( {{U}_{n}} \right)\) được xác định bởi: \(\left( {{U}_{n}} \right)=\left\{ \begin{matrix}
{{u}_{1}}=a \\
{{u}_{n+1}}={{u}_{n}}.q \\
\end{matrix}\left( n\in \mathbb{N}* \right) \right.\) thì dãy số này được gọi là cấp số nhân, q là công bội.
- Như vậy ta có thể hiểu cấp số nhân có dạng: \(a,aq,a{{q}^{2}},a{{q}^{3}},a{{q}^{4}},...\) với a là số hạng đầu tiên và q là công bội.
Ví dụ: Cấp số nhân có số hạng đầu bằng 2 và công sai bằng 2 là 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, ....
2. Số hạng tổng quát của cấp số nhân
- Cấp số nhân bắt đầu là phần tử \({{u}_{1}}\) và công bội q thì số hạng thứ n của cấp số cộng được tính theo công thức:
\({{u}_{n+1}}=a.{{q}^{n}},n\ge 1\)
\(\Rightarrow q=\sqrt[n-1]{\frac{{{a}_{n}}}{a}},n\ge 1\)
3. Tính chất cơ bản của cấp số nhân
- Ba số hạng \({{u}_{n-1}},{{u}_{n}},{{u}_{n+1}}\) là 3 số hạng liên tiếp của cấp số nhân khi
\(u_n^2=u_{n-1}.u_{n+1}\ \left(n\ge1\right)\)4. Công thức tính tổng cấp số nhân
- Tổng số hạng đầu của cấp số nhân:
\(\sum\limits_{k=0}^{n}{a{{q}^{k}}=a{{q}^{0}}+a{{q}^{1}}+a{{q}^{2}}+a{{q}^{3}}+...+a{{q}^{n}}}\)
Nhân cả 2 vế với: \(\left( 1-q \right)\)
\(\Leftrightarrow \left( 1-q \right){{S}_{n+1}}=\left( 1-q \right)\sum\limits_{k=0}^{n}{a{{q}^{k}}=a-a{{q}^{n+1}}}\)
Vì tất cả các số hạng khác đã loại trừ lẫn nhau
\(\Rightarrow {{S}_{n+1}}=\sum\limits_{k=0}^{n}{a{{q}^{k}}=\frac{a\left( 1-{{q}^{n+1}} \right)}{1-q}}\)
Bảng minh họa: Tổng cấp số nhân (công bội ≠ 1)
5. Ví dụ minh họa
a. Dãy số \(\left( {{U}_{n}} \right)\) là một cấp số nhân, công sai d \(\Leftrightarrow \frac{{{u}_{n+1}}}{{{u}_{n}}}=q\) không phụ thuộc vào n
b. Ba số a, b, c lập thành một cấp số nhân \(\Leftrightarrow {{b}^{2}}=a.c\)
Ví dụ: Cho cấp số nhân \(\left( {{U}_{n}} \right)\) thỏa mãn: \({{u}_{n}}={{3}^{\frac{n}{2}+1}}\)
a. Chứng minh dãy số là cấp số nhân
b. Tính \(S={{u}_{2}}+{{u}_{4}}+{{u}_{6}}...+{{u}_{20}}\)
c. Số 19683 là số hạng thứ bao nhiêu của dãy số.
Hướng dẫn giải
a. Ta có: \(\frac{{{u}_{n+1}}}{{{u}_{n}}}=\frac{{{3}^{\frac{n+1}{2}+1}}}{{{3}^{\frac{n}{2}+1}}}=\sqrt{3}=const\) không phụ thuộc vào n. Vậy dãy số \(\left( {{U}_{n}} \right)\) là một cấp số nhân với số hạng đầu \({{u}_{1}}=3\sqrt{3}\) và công bội là \(q=\sqrt{3}\)
b. Ta có: \({{u}_{2}},{{u}_{4}},{{u}_{6}},...,{{u}_{20}}\) lập thành một cấp số nhân với số hạng đầu là \({{u}_{2}}=9,q=3\) và có 10 số hạng nên
\(\Rightarrow S={{u}_{2}}+{{u}_{4}}+{{u}_{6}}+...+{{u}_{20}}={{u}_{2}}\frac{1-{{3}^{10}}}{1-3}=\frac{9}{2}\left( {{3}^{10}}-1 \right)\)
c. Ta có: \({{u}_{n}}=19683\Rightarrow {{3}^{\frac{n}{2}+1}}={{3}^{9}}\Leftrightarrow n=16\)
6. Bảng minh họa
| Số thứ tự (n) | Số hạng Un | Cách tính |
|---|---|---|
| 1 | 2 | Un = 2 |
| 2 | 4 | Un = 2 × 2 = 4 |
| 3 | 8 | Un = 4 × 2 = 8 |
| 4 | 16 | Un = 8 × 2 = 16 |
| 5 | 32 | Un = 16 × 2 = 32 |
| q = 2 (công bội) |
Đây là một cấp số nhân với công bội q = 2, số hạng đầu là U₁ = 2, các số hạng sau nhân dần với 2.
6. Bài tập vận dụng
-----------------------------------
