VnDoc.com

Đề thi thử THPT Quốc gia môn Toán năm 2019 trường THPT Triệu Thái - Vĩnh Phúc lần 3

Đề minh họa Toán 2019

Đề ôn thi HSG 9 Tel: 0905.884.951 - 0929.484.951

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

BÌNH ĐINH

Đ ề ch ín h thức •

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

Năm học: 2018 - 2019

Môn: TOÁN 9 - Ngày thi: 18/03/2019

Thời gian làm bài: 150 phút (không k ể thời gian phát đề)

Bài 1. (5.0 điểm)

1) T ính giá trị biểu thức: A = X3 + y 3 — 3 (X + y ), biết rằng:

X = ^3 + 2/2 + ^3 — 2V2 và y = 3/17 + I2V2 + 3/17 — I2V2 .

2) Cho h ai số" thưc m , n khác 0 thỏa mãn: — + 1 = 1 Chứng m inh rằn g phương trình:

m n 2

(X2 + mx + n )( X2 + nx + m ) = 0 luôn có nghiệm .

Bài 2. (5.0 điểm)

1) Giải hệ phương trình:

X2 + Xy + y = 1

yỊX — + 4 X = 5

2) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 2 Xy2 + X + y +1 = X2 + 2 y 2 + Xy.

Bài 3. (3.0 điểm)

1) Trong m ặt phẳng cho 8073 điểm mà diện tích của mọi tam giác với các đỉnh là các điểm đã

cho không lớn hơn 1. C hứng m inh rằng trong số" các điểm đã cho có th ể tìm được 2019 điểm

nằm trong hoặc trê n cạnh của một tam giác có diện tích không lớn hơn 1.

2) Cho a, b, c là các số" thực không âm thỏa m ãn: a + b + c = 3. Chứng m inh rằng:

ayfb +1 + b^iịc +1 + cựa +1 ^ 5.

Bài 4. (7.0 điểm)

1. Cho tam giác nhọn ABC vuông cân tạ i A . Gọi D là tru ng điểm của cạnh B C . Lấy điểm M

bấ t kỳ trên đoạn AD (M không trù n g với A ). Gọi N , P theo th ứ tự là hình chiếu vuông góc

của M trên các cạnh A B, AC và H là hìn h chiếu vuông góc của N lên đường th ẳn g PD.

a) Chứng m inh rằng: AH ± B H .

b) Đường thẳn g qua B song song với AD cắt đường tru ng trực của AB tại I . Chứng m inh

ba điểm H , N , I th ẳng hàng.

2. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), đường cao A H . Gọi M là giao điểm của AO và

BC . Chứng m inh rằng

HB MB > 2 A B

H c + M c > '~ÃC'

D ấu bằng xảy ra khi nào ?

ra HẾT

Trường THCS Đào Duy Từ

GV: Lê Hồng Quốc

” Cần cù bù thông minh ”

Năm học 2018 - 2019

Trang 1

Đề ôn thi HSG 9 Tel: 0905.884.951 - 0929.484.951

ĐÁP ÁN THAM KHẢO 2018 - 2019

Bài 1. (5.0 điểm)

1) Tính giá trị biểu thức: A = X3 + y 3 — 3 (X + y ), biết rằng:

X = 3 3 + 2yfĩ + ^3 — 2V2 và y =

3

/17 + 12V2 + 3 17 — 12V2 .

2) Cho hai số" thưc m , n khác 0 thỏa mãn: — + 1 = 1 Chứng minh rằng phương trình:

m n 2

(X2 + mx + n)( X2 + nx + m) = 0 luôn có nghiệm.

G iải

1) • Ta có X3 = (3 3 + 2V2 + 3I3—Ũ 2) = 3 + 2V2 + 3.X + 3 — 2V2 = 6 + 3x

và y 3 =

(3/

17 + 12

>/

2 +

3/

17 — 22

V

2

)

3 = 17 + 12

V

2 + 3.y +17 — 12

^

2 = 34 + 3y

• Cộng vế” theo vế, ta được: X3 + y 3 = 40 + 3X + 3y X3 + y 3 — 3 (X + y ) = 40.

> Vậy A = 40 khi X = ^ 3+ ^ / 2 + 3^3—2 /2 và y =

3

/17 + 12V2 +

3/

17 — 1 ^ 2 .

2) • Từ — + 1 = 1 ^ 4m + 4n = 2m.n < m2 + n2 ^ m2 + n2 — 4m — 4n > 0 (*).

m n 2

Ta có: (X2 + mX + n)(X2 + nX + m) = 0 (1) ^

X2 + mX + n = 0 (2)

X2 + nX + m = 0 (3)

Giả sử cả hai phương trình (2) và (3) đều vô nghiệm:

|A 2 < 0 ím2 — 4n < 0

| a 3 < 0 |n2 — 4m < 0

>m2 + n2 — 4m — 4n < 0 (**).

Nhận thấy (*) và (**) m âu thuẫn nên giả sử sai. Suy ra trong hai phương trình: (2) và (3) có ít

nhất một phương trình có nghiệm.

> Do đó phương trình (1) luôn có nghiệm.

Bài 2. (5.0 điểm)

X2 + Xy + y = 1 (1)

1) Giải hệ phương trình: - .

X — -ựy + 4X = 5 (2)

2) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 2 Xy2 + X + y +1 = X2 + 2 y 2 + Xy.

Giải

1) Điều kiện X > 0 . Ta có: (1) ^ (X + 1)(X + y — 1) = 0 ^ y = 1 — X. (Do X + 1 > 0)

Thay y = 1 — X vào (2), ta được: ■\Jx — 1 + 3 X — 1 + 4(X — 1) = 0 ^ X= 1 + 3 X — 1 + 4 (X — 1) = 0

X +1

^ 3 X — 1.

(3 X — 1)

y[x +

Với X = 1

-----

> y = 0.

^ +1 + 4 (VX—1)

(3 X — 1) , 2

= 0 ^ X = 1 (Vì +1 + 4 (ự x —1) > 0, Vx > 0).

X + 1

> Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là:

Trường THCS Đào Duy Từ

GV: Lê Hồng Quốc

ịx = 1

y = 0

' Cần cù bù thông minh "

Năm học 2018 - 2019

Trang 2

2

Đề ôn thi HSG 9 Tel: 0905.884.951 - 0929.484.951

2) Ta có: (1) ^ x (x — 1) + y (x — 1) — 2y 2 (x — 1) = 1 ^ (x —1)(x + y — 2y 2 ) = 1.

\x — 1 = 1 \x — 1 = —1

(I) hoặc (I I) .

Vì x , y E z suy ra

x + y — 2y = 1 x + y — 2y = —1

x = 2

• (I)«

y = 1

1

y = —

2

Ịx = 2

I y = 1

x = 0

• (11 ) *

y = 1

1

y = —

2

Ịx = 0

1 y = 1

> Vậy phương trìn h đã cho có các nghiệm nguyên là: (0;1) và (2;1).

Bài 3. (3.0 điểm)

1) Trong m ặt phẳng cho 8073 điểm m à diện tích của mọi tam giác với các đỉnh là các điểm đã

cho không lớn hơn 1. Chứng m inh rằng trong số" các điểm đã cho có th ể tìm được 2019 điểm

nằm trong hoặc trên cạnh của một tam giác có diện tích không lớn hơn 1.

2) Cho a, b, c là các số" thực không âm thỏa mãn: a + b + c = 3. Chứng m inh rằng:

ayịb +1 + byjc +1 + cy[ã +1 < 5.

Giải

1) Gọi A .A. là hai điểm xa nh au n h ất trong các điểm thuộc tập hợp 8073 điểm đã cho.

• Giả sử A là điểm cách xa đoạn thẳn g A¡Aj nhất. Khi đó:

Tam giác AiAJAm là tam giác lớn n h ất và có diện tích không lớn hơn 1.

• Ta vẽ các đường th ẳng đi qua các điểm A¡, A. , Am lần lượt song song với các cạnh của AAiAJAm.

Ta được 4 tam giác nhỏ bằng nhau và một tam giác lớn chứa cả 4 tam giác nhỏ. Và tam giác lớn

này có diện tích không quá 4 đơn vị. Do đó, tam giác lớn này chứa tấ t cả 8073 điểm đã cho.

N hận th ấy 8073: 4 được 2018 dư 1. N ên theo nguyên lí Đ irichlet, suy ra có ít n h ất 1 trong 4 tam

giác có 1 tam giác chứa 2019 trong 8073 điểm đã cho.

2) • Ta có: 2P = 2ajb3 +1 + 2 bjc3 +1 + 2cyja3 +1

— 2a\

C O SI

<

2a b +1 + 2b c +1 + 2c a +1

■^(b + 1)(b2 — b + 1) + 2byj (c + 1)(c2 — c + 1) + 2c^l (a + 1)(a2 — a + 1)

a (b + 2) + b (c + 2) + c (a + 2) = ab + bc + ca + 6 = M^ + 6

• K hông m ất tín h tổng quát, giả sử b < c < a thì:

b (a — c)(c — b) > 0 ^ abc + b2c > ab2 + bc2 ^ ab2 + bc2 + ca2 < abc + b2c + ca2.

2 2 22 2 a b a b

Suy ra M < abc + b c + ca < 2abc + b c + ca = c (a + b) = 4.c. -

2 2

<

4

27

a + b

+ 2 H

h 2 J

4 (a + b + c )3

27

4 .

• Do đó 2P < 10 ^ P < 5. D ấu ” = ” xảy ra khi và chỉ khi

a + b + c — 3

b < c< a

2c = a + b

abc = 2abc

> Vậy với a, b, c là các số" thực không âm thỏa m ãn: a + b + c = 3 th ì

a\Ịb + 1 + b\jc + 1 + cựa + 1 < 5.

D ấu ” = ” xảy ra khi và chỉ khi (a;b;c) = (0;1;2), (1;2;0), (2;0 ;1).

b = 0

c =1 .

a= 2

3

Trường THCS Đào Duy Từ

GV: Lê Hồng Quốc

” Cần cù bù thông minh ”

Năm học 2018 - 2019

Trang 3

Đề thi thử 2019 môn Toán

VnDoc xin giới thiệu tới bạn đọc Đề thi trắc nghiệm Toán 12, Đề thi thử THPT Quốc gia môn Toán năm 2019 trường THPT Triệu Thái - Vĩnh Phúc lần 3. Nội dung tài liệu gồm 50 câu hỏi trắc nghiệm, thời gian làm bài 90 phút sẽ giúp các bạn giải Toán 12 hiệu quả hơn. Mời các bạn học sinh tham khảo.