Lý thuyết Toán 10 bài 1: Khái niệm vectơ CTST

Sách Chân trời sáng tạo

Chúng tôi xin trân trọng giới thiệu bài Lý thuyết Toán lớp 10 bài 1: Khái niệm vectơ được VnDoc sưu tầm và tổng hợp các câu hỏi lí thuyết và trắc nghiệm có đáp án đi kèm nằm trong chương trình giảng dạy môn Toán lớp 10 sách CTST. Mời quý thầy cô cùng các bạn tham khảo tài liệu dưới đây.

A. Lý thuyết Toán 10 bài 1

1. Định nghĩa vectơ

Đại lượng vô hướng là đại lượng chỉ có độ lớn. Ví dụ: khối lượng, khoảng cách, nhiệt độ, ...

Đại lượng có hướng là đại lượng bao gồm cả độ lớn và hướng. Ví dụ: độ dịch chuyển, lực, vận tốc, gia tốc,

Khi xác định một đại lượng vô hướng, ta chỉ cần mô tả độ lớn của nó. Ví dụ: Hàng trên tàu có khối lượng 500 tấn.

Khi xác định một đại lượng có hướng, ta phải đề cập đến cả độ lớn và hướng của nó. Ví dụ: Con tàu có độ dịch chuyển dài 500 km theo hướng từ A đến B.

Vecto là một đoạn thẳng có hướng, nghĩa là đã chỉ ra điểm đầu và điểm cuối.

* Wectơ có điểm đầu A, điểm cuối B được kí hiệu là $\overrightarrow {AB}$ $\overrightarrow {AB}$, đọc là vectơ $\overrightarrow {AB}$ $\overrightarrow {AB}$ (Hình sau)

* Đường thẳng đi qua hai điểm A và B gọi là giá của vectơ ).

* Độ dài của đoạn thẳng AB gọi là độ dài của vectơ V và được kí hiệu là $\left| {\overrightarrow {AB} {\rm{ }}} \right|$ $\left| {\overrightarrow {AB} {\rm{ }}} \right|$Như vậy ta có: $\left| {\overrightarrow {AB} {\rm{ }}} \right| = AB$ $\left| {\overrightarrow {AB} {\rm{ }}} \right| = AB$.

Chú ý: Một vectơ khi không cần chỉ rõ điểm đầu và điểm cuối có thể viết là $\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow x ,\overrightarrow y ...$ $\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow x ,\overrightarrow y ...$

Ví dụ: Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng 2 (Hình sau). Gọi H là trung điểm của đoạn thẳng BC. Tìm điểm đầu, điểm cuối, giá và độ đài của các vectơ: $\overrightarrow {CA} ,\overrightarrow {AH} ,\overrightarrow {BH}$ $\overrightarrow {CA} ,\overrightarrow {AH} ,\overrightarrow {BH}$

Giải

Vectơ $\overrightarrow {CA}$ $\overrightarrow {CA}$có điểm đầu là C, điểm cuối là A và có giá là đường thẳng AC.

Vectơ $\overrightarrow {AH}$ $\overrightarrow {AH}$có điểm đầu là A, điểm cuối là H và có giá là đường thẳng AH.

Vectơ $\overrightarrow {BH}$ $\overrightarrow {BH}$có điểm đầu là B, điểm cuối là H và có giá là đường thẳng BH.

Ta có: CA =2, BH = 1, $AH = \sqrt {A{C^2} -C{H^2}} = \sqrt {4 - 1} = \sqrt 3$ $AH = \sqrt {A{C^2} -C{H^2}} = \sqrt {4 - 1} = \sqrt 3$

Suy ra $\left| {\overrightarrow {AC} } \right| = 2,\left| {\overrightarrow {BH} } \right| = 1,\left| {\overrightarrow {AH} } \right| = \sqrt 3 .$ $\left| {\overrightarrow {AC} } \right| = 2,\left| {\overrightarrow {BH} } \right| = 1,\left| {\overrightarrow {AH} } \right| = \sqrt 3 .$

2. Hai vectơ cùng phương, cùng hướng

+) Hai vecto được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau.

+) Hai vecto cùng phương thì chúng cùng hướng hoặc ngược hướng.

Ví dụ:

Ba vecto $\overrightarrow u ,\;\overrightarrow {CD} ,\;\overrightarrow {AB}$ $\overrightarrow u ,\;\overrightarrow {CD} ,\;\overrightarrow {AB}$ cùng phương.

Trong đó 2 vecto $\overrightarrow u ,\;\overrightarrow {CD}$ $\overrightarrow u ,\;\overrightarrow {CD}$ cùng hướng, còn 2 vecto $\overrightarrow {CD}$ $\overrightarrow {CD}$, $\;\overrightarrow {AB}$ $\;\overrightarrow {AB}$ ngược hướng.

+) Ba điểm A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi $\overrightarrow {AB}$ $\overrightarrow {AB}$và $\overrightarrow {AC}$ $\overrightarrow {AC}$ cùng phương.

3. Vectơ bằng nhau - Vectơ đối nhau

+) Hai vecto được gọi là bằng nhau nếu chúng có cùng độ dài và cùng hướng.

+) Hai vecto được gọi là đối nhau nếu chúng có cùng độ dài và ngược hướng.

Kí hiệu: $\overrightarrow a = - \overrightarrow b , vecto \overrightarrow b$ $\overrightarrow a = - \overrightarrow b , vecto \overrightarrow b$là vecto đối của vecto $\overrightarrow a$ $\overrightarrow a$

Chú ý: Với mỗi điểm O và vecto $\overrightarrow a$ $\overrightarrow a$ cho trước, có duy nhất điểm A sao cho $\overrightarrow {OA} = \overrightarrow a$ $\overrightarrow {OA} = \overrightarrow a$

Ví dụ:

a) Tìm trong hình sau hai cặp vectơ bằng nhau và hai cặp vectơ đối nhau.

b) Cho điểm O là trung điểm của đoạn thẳng AB. Tìm hai vectơ đối nhau.

Giải

Trình hình trên, ta có:

$\begin{array}{l} \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AD} ,\overrightarrow {DA} = \overrightarrow {CB} \\ \overrightarrow {AD} = - \overrightarrow {CB} ,\overrightarrow {DA} = \overrightarrow { - AD} \end{array}$ $\begin{array}{l} \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AD} ,\overrightarrow {DA} = \overrightarrow {CB} \\ \overrightarrow {AD} = - \overrightarrow {CB} ,\overrightarrow {DA} = \overrightarrow { - AD} \end{array}$

b) Ta có: $\overrightarrow {OA} = - \overrightarrow {OB}$ $\overrightarrow {OA} = - \overrightarrow {OB}$(Hình sau)

4. Vectơ không

Vecto không, là vecto có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau. Kí hiệu chung là \ $\overrightarrow 0$ $\overrightarrow 0$

Ví dụ: $\overrightarrow {AA} ,\;\overrightarrow {EE} ,...$ $\overrightarrow {AA} ,\;\overrightarrow {EE} ,...$

* Chú ý:

- Vecto không có độ dài bằng 0.

- Vecto $\overrightarrow 0$ $\overrightarrow 0$ cùng phương, cùng hướng với mọi vecto.

- Mọi vecto-không đều bằng nhau: $\overrightarrow 0 = \overrightarrow {AA} = \;\overrightarrow {BB} = ...$ $\overrightarrow 0 = \overrightarrow {AA} = \;\overrightarrow {BB} = ...$

- Vecto đối của vecto-không là chính nó.

B. Bài tập minh họa

Câu 1: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng $\frac{{\sqrt 2 }}{2}$ $\frac{{\sqrt 2 }}{2}$, hai đường chéo cắt nhau tại O. Tìm độ dài của các vectơ $\overrightarrow {AC}$ $\overrightarrow {AC}$ , $\overrightarrow {BD}$ $\overrightarrow {BD}$, $\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {AO}$ $\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {AO}$

Hướng dẫn giải

Ta có: $AC = BD = \sqrt {A{D^2} + D{C^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}} = 1$ $AC = BD = \sqrt {A{D^2} + D{C^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}} = 1$

$OA = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}$ $OA = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}$

Suy ra: $\left| {\overrightarrow {AC} } \right| = 1, \left| {\overrightarrow {BD} } \right| = 1, \left| {\overrightarrow {OA} } \right| = 1, \left| {\overrightarrow {AO} } \right| = 1$ $\left| {\overrightarrow {AC} } \right| = 1, \left| {\overrightarrow {BD} } \right| = 1, \left| {\overrightarrow {OA} } \right| = 1, \left| {\overrightarrow {AO} } \right| = 1$

Câu 2: Quan sát Hình sau và gọi tên các vectơ:

a) Cùng phương với vectơ $\overrightarrow x$ $\overrightarrow x$;

b) Cùng hướng với vectơ $\overrightarrow a$ $\overrightarrow a$;

Ngược hướng với vectơ $\overrightarrow u$ $\overrightarrow u$.

Hướng dẫn giải

a) Ta có:

Giá của vectơ $\overrightarrow {\rm{w}}$ $\overrightarrow {\rm{w}}$ trùng với giá của $\overrightarrow x$ $\overrightarrow x$

Giá của vectơ $\overrightarrow y$ $\overrightarrow y$, $\overrightarrow z$ $\overrightarrow z$ song song với giá của $\overrightarrow x$ $\overrightarrow x$

Suy ra các vectơ cùng phương với vectơ $\overrightarrow x$ $\overrightarrow x$ là $\overrightarrow {\rm{w}}$ $\overrightarrow {\rm{w}}$, $\overrightarrow y$ $\overrightarrow y$ và $\overrightarrow z$ $\overrightarrow z$

b) Ta có:

Vectơ $\overrightarrow b$ $\overrightarrow b$ có giá song song với vectơ $\overrightarrow a$ $\overrightarrow a$ và có cùng hướng từ trên xuống với vectơ $\overrightarrow a$ $\overrightarrow a$nên vectơ $\overrightarrow b$ $\overrightarrow b$ cùng hướng với vectơ $\overrightarrow a$ $\overrightarrow a$

c) Ta có:

Vectơ $\overrightarrow v$ $\overrightarrow v$ có giá song song với vectơ $\overrightarrow u$ $\overrightarrow u$ và ngược hướng từ dưới lên trên so với vectơ $\overrightarrow u$ $\overrightarrow u$nên vectơ $\overrightarrow v$ $\overrightarrow v$ ngược hướng với vectơ $\overrightarrow u$ $\overrightarrow u$

Câu 3: Cho D, E, F lần lượt là trung điểm của cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC (hình 14).

a) Tìm các vectơ bằng vectơ $\overrightarrow {EF}$ $\overrightarrow {EF}$.

b) Tìm các vectơ đối vectơ $\overrightarrow {EC}$ $\overrightarrow {EC}$

Hướng dẫn giải

Từ giả thiết ta có:

AF = FB = ED; AE = EC = FD; BD = DC = EF

Từ đó dựa vào hình ta có:

a) Các vectơ bằng vectơ $\overrightarrow {EF}$ $\overrightarrow {EF}$ là $\overrightarrow {BD}$ $\overrightarrow {BD}$ và $\overrightarrow {DC}$ $\overrightarrow {DC}$

b) Các vectơ đối vectơ $\overrightarrow {EC}$ $\overrightarrow {EC}$ là $\overrightarrow {EA}$ $\overrightarrow {EA}$ và $\overrightarrow {DF}$ $\overrightarrow {DF}$