Lý thuyết Toán 10 bài 1: Khái niệm vectơ CTST

Đại lượng vô hướng là đại lượng chỉ có độ lớn. Ví dụ: khối lượng, khoảng cách, nhiệt độ, ...

Đại lượng có hướng là đại lượng bao gồm cả độ lớn và hướng. Ví dụ: độ dịch chuyển, lực, vận tốc, gia tốc,

Khi xác định một đại lượng vô hướng, ta chỉ cần mô tả độ lớn của nó. Ví dụ: Hàng trên tàu có khối lượng 500 tấn.

Khi xác định một đại lượng có hướng, ta phải đề cập đến cả độ lớn và hướng của nó. Ví dụ: Con tàu có độ dịch chuyển dài 500 km theo hướng từ A đến B.

* Wectơ có điểm đầu A, điểm cuối B được kí hiệu là $\overrightarrow{AB}$, đọc là vectơ $\overrightarrow{AB}$ (Hình sau)

* Đường thẳng đi qua hai điểm A và B gọi là giá của vectơ ).

* Độ dài của đoạn thẳng AB gọi là độ dài của vectơ V và được kí hiệu là$\left|\overrightarrow{AB}\right|$Như vậy ta có: $\left|\overrightarrow{AB}\right|=AB$.

Chú ý: Một vectơ khi không cần chỉ rõ điểm đầu và điểm cuối có thể viết là$\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{x},\overrightarrow{y}...$

Ví dụ: Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng 2 (Hình sau). Gọi H là trung điểm của đoạn thẳng BC. Tìm điểm đầu, điểm cuối, giá và độ đài của các vectơ: $\overrightarrow{CA},\overrightarrow{AH},\overrightarrow{BH}$

Giải

Vectơ $\overrightarrow{CA}$có điểm đầu là C, điểm cuối là A và có giá là đường thẳng AC.

Vectơ $\overrightarrow{AH}$có điểm đầu là A, điểm cuối là H và có giá là đường thẳng AH.

Vectơ $\overrightarrow{BH}$có điểm đầu là B, điểm cuối là H và có giá là đường thẳng BH.

Ta có: CA =2, BH = 1, $AH=\sqrt{A{C}^2-C{H}^2}=\sqrt{4-1}=\sqrt{3}$

Suy ra $\left|\overrightarrow{AC}\right|=2,\left|\overrightarrow{BH}\right|=1,\left|\overrightarrow{AH}\right|=\sqrt{3}.$

Ví dụ:

Ba vecto $\overrightarrow{u},\overrightarrow{CD},\overrightarrow{AB}$ cùng phương.

Trong đó 2 vecto $\overrightarrow{u},\overrightarrow{CD}$ cùng hướng, còn 2 vecto $\overrightarrow{CD}$,$\overrightarrow{AB}$ ngược hướng.

+) Ba điểm A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi $\overrightarrow{AB}$và $\overrightarrow{AC}$ cùng phương.

Chú ý: Với mỗi điểm O và vecto $\overrightarrow{a}$ cho trước, có duy nhất điểm A sao cho $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}$

Ví dụ: 

a) Tìm trong hình sau hai cặp vectơ bằng nhau và hai cặp vectơ đối nhau.

b) Cho điểm O là trung điểm của đoạn thẳng AB. Tìm hai vectơ đối nhau.

Giải

Trình hình trên, ta có:

$\begin{array}{l}\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AD},\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{CB}\\ \overrightarrow{AD}=-\overrightarrow{CB},\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{-AD}\end{array}$

b) Ta có: $\overrightarrow{OA}=-\overrightarrow{OB}$(Hình sau)

Vecto không, là vecto có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau. Kí hiệu chung là \$\overrightarrow{0}$

Ví dụ: $\overrightarrow{AA},\overrightarrow{EE},...$

* Chú ý:

- Vecto không có độ dài bằng 0.

- Vecto $\overrightarrow{0}$ cùng phương, cùng hướng với mọi vecto.

- Mọi vecto-không đều bằng nhau: $\overrightarrow{0}=\overrightarrow{AA}=\overrightarrow{BB}=...$

- Vecto đối của vecto-không là chính nó.

Câu 1: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng $\frac{\sqrt{2}}{2}$, hai đường chéo cắt nhau tại O. Tìm độ dài của các vectơ $\overrightarrow{AC}$ ,$\overrightarrow{BD}$,$\overrightarrow{OA},\overrightarrow{AO}$

Hướng dẫn giải

Ta có: $AC=BD=\sqrt{A{D}^2+D{C}^2}=\sqrt{{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^2+{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^2}=1$

$OA=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}$

Suy ra: $\left|\overrightarrow{AC}\right|=1,\left|\overrightarrow{BD}\right|=1,\left|\overrightarrow{OA}\right|=1,\left|\overrightarrow{AO}\right|=1$

Câu 2: Quan sát Hình sau và gọi tên các vectơ:

a) Cùng phương với vectơ $\overrightarrow{x}$;

b) Cùng hướng với vectơ $\overrightarrow{a}$;

Ngược hướng với vectơ  $\overrightarrow{u}$.

Hướng dẫn giải

a) Ta có:

Giá của vectơ $\overrightarrow{\mathrm{w}}$ trùng với giá của$\overrightarrow{x}$

Giá của vectơ $\overrightarrow{y}$, $\overrightarrow{z}$ song song với giá của $\overrightarrow{x}$

Suy ra các vectơ cùng phương với vectơ $\overrightarrow{x}$ là $\overrightarrow{\mathrm{w}}$, $\overrightarrow{y}$ và $\overrightarrow{z}$

b) Ta có:

Vectơ $\overrightarrow{b}$ có giá song song với vectơ $\overrightarrow{a}$ và có cùng hướng từ trên xuống với vectơ $\overrightarrow{a}$nên vectơ $\overrightarrow{b}$ cùng hướng với vectơ $\overrightarrow{a}$

c) Ta có:

Vectơ $\overrightarrow{v}$ có giá song song với vectơ $\overrightarrow{u}$ và ngược hướng từ dưới lên trên so với vectơ $\overrightarrow{u}$nên vectơ $\overrightarrow{v}$ ngược hướng với vectơ $\overrightarrow{u}$

Câu 3: Cho D, E, F lần lượt là trung điểm của cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC (hình 14).

a) Tìm các vectơ bằng vectơ $\overrightarrow{EF}$.

b) Tìm các vectơ đối vectơ $\overrightarrow{EC}$

Hướng dẫn giải

Từ giả thiết ta có:

AF = FB = ED; AE = EC = FD; BD = DC = EF

Từ đó dựa vào hình ta có:

a) Các vectơ bằng vectơ $\overrightarrow{EF}$ là $\overrightarrow{BD}$ và $\overrightarrow{DC}$

b) Các vectơ đối vectơ $\overrightarrow{EC}$ là $\overrightarrow{EA}$ và $\overrightarrow{DF}$

C. Trắc nghiệm Toán 10 bài 1