Lý thuyết Toán 10 bài 2: Giải bất phương trình bậc hai một ẩn CTST

Ví dụ: Các bất phương trình nào sau đây là bắt phương trình bậc hai một ẩn? Nếu là bất phương trình bậc hai một ẩn. x = 1 và x= 2 có là nghiệm của bất phương trình đó hay không?

$\begin{array}{l}a)x^2+x-3\ge 0;\\ b)3x^3+x^2-1\le 0.\end{array}$

Giải

a) $x^2+x-3\ge 0$ là một bất phương trình bậc hai một ẩn.

Vì $1^2+1-3=-1<0$ nên x = 1 không là nghiệm của bất phương trình trên.

Vì $2^2+2-3=3>0$ nên x = 2 là một nghiệm của bất phương trình trên.

b) $3x^3+x^2-1\le 0$ không phải là một bất phương trình bậc hai một ẩn.

Ta có thể giải bất phương trình bậc hai bằng cách xét dấu của tam thức bậc hai tương ứng.

Ví dụ: Giải bất phương trình bậc hai 6x² + 7x - 5 > 0

Giải

Tam thức bậc hai f(x) = 6x² + 7x - 5 có hai nghiệm phân biệt là $x_1=-\frac{5}{3}$ và x₂ = $\frac{1}{2}$. 

a = 6 > 0 nên f(x) đương với mọi x thuộc hai khoảng$\left(-\mathrm{\infty };-\frac{5}{3}\right),\left(\frac{1}{2};+\mathrm{\infty }\right)$

Vậy bất phương trình 6x² + 7x - 5 > 0 có tập nghiệm là $\left(-\mathrm{\infty };-\frac{5}{3}\right)\cup \left(\frac{1}{2};+\mathrm{\infty }\right)$

Lưu ý: Có thể sử dụng đồ thị hàm số f(x) = 6x² + 7x - 5 (Hình trên) để giải bất phương trình ƒ(x) > 0.

Câu 1: Các bất phương trình nào sau đây là bất phương trình bậc hai một ẩn? Nếu là bất phương trình bậc hai một ẩn, x = 2 có là nghiệm của bất phương trình đó hay không?

a) $x^2+x-6\le 0$

b) x + 2 > 0

c) - 6x² - 7x + 5 > 0

Hướng dẫn giải

a) $x^2+x-6\le 0$ là một bất phương trình bậc hai một ẩn

Vì $2^2+2-6=0$ nên x = 2 là nghiệm của bất phương trình trên

b) x + 2 > 0 không là bất phương trình bậc hai một ẩn

c) - 6x²- 7x + 5 > 0 là một bất phương trình bậc hai một ẩn

Vì $-{6.2}^2-7.2+5=-33<0$ nên x = 2 không là nghiệm của bất phương trình trên

Câu 2: Giải các bất phương trình bậc hai sau:

a) $15x^2+7x-2\le 0$

b) - 2x² + x - 3 < 0

Hướng dẫn giải

a) Tam thức bậc hai $f\left(x\right)=15x^2+7x-2$ có hai nghiệm phân biệt là $x_1=-\frac{2}{3};x_2=\frac{1}{5}$

và có a = 15 > 0 nên $f\left(x\right)\le 0$ khi x thuộc đoạn $\left[-\frac{2}{3};\frac{1}{5}\right]$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình $15x^2+7x-2\le 0$ là $\left[-\frac{2}{3};\frac{1}{5}\right]$

b) Tam thức bậc hai $f\left(x\right)=-2x^2+x-3$có $\mathrm{\Delta }=-23<0$ và a =  - 2 < 0

nên f(x) âm với mọi x ∈ R

Vậy bất phương trình - 2x² + x - 3 < 0 có tập nghiệm là R

C. Trắc nghiệm Toán 10 bài 2