Lý thuyết Toán 10 bài 2: Giải bất phương trình bậc hai một ẩn CTST

Sách Chân trời sáng tạo

Lý thuyết Toán lớp 10 bài 2: Giải bất phương trình bậc hai một ẩn được VnDoc sưu tầm và tổng hợp các câu hỏi lí thuyết và trắc nghiệm có đáp án đi kèm nằm trong chương trình giảng dạy môn Toán lớp 10 sách CTST. Mời quý thầy cô cùng các bạn tham khảo tài liệu dưới đây.

Bài 2: Giải bất phương trình bậc hai một ẩn

A. Lý thuyết Toán 10 bài 2
B. Bài tập minh họa
C. Trắc nghiệm Toán 10 bài 2

A. Lý thuyết Toán 10 bài 2

Bất phương trình bậc hai một ẩn x là bất phương trình có một trong các dạng $a{x^2} + b{\rm{x}} + c \le 0,a{x^2} + b{\rm{x}} + c < 0,a{x^2} + b{\rm{x}} + c \ge 0,a{x^2} + b{\rm{x}} + c > 0, với (a \ne 0)$ $a{x^2} + b{\rm{x}} + c \le 0,a{x^2} + b{\rm{x}} + c < 0,a{x^2} + b{\rm{x}} + c \ge 0,a{x^2} + b{\rm{x}} + c > 0, với (a \ne 0)$

Nghiệm của bất phương trình bậc hai là các giá trị của biến x mà khi thay vào bất phương trình ta được bất đẳng thức đúng.

Ví dụ: Các bất phương trình nào sau đây là bắt phương trình bậc hai một ẩn? Nếu là bất phương trình bậc hai một ẩn. x = 1 và x= 2 có là nghiệm của bất phương trình đó hay không?

$\begin{array}{l} a){x^2} + x - 3 \ge 0;\\ b)3{x^3} + {x^2} - 1 \le 0. \end{array}$ $\begin{array}{l} a){x^2} + x - 3 \ge 0;\\ b)3{x^3} + {x^2} - 1 \le 0. \end{array}$

Giải

a) ${x^2} + x - 3 \ge 0$ ${x^2} + x - 3 \ge 0$ là một bất phương trình bậc hai một ẩn.

Vì ${1^2} + 1 - 3 = - 1 < 0$ ${1^2} + 1 - 3 = - 1 < 0$ nên x = 1 không là nghiệm của bất phương trình trên.

Vì ${2^2} + 2 - 3 = 3 > 0$ ${2^2} + 2 - 3 = 3 > 0$ nên x = 2 là một nghiệm của bất phương trình trên.

b) $3{x^3} + {x^2} - 1 \le 0$ $3{x^3} + {x^2} - 1 \le 0$ không phải là một bất phương trình bậc hai một ẩn.

Giải bất phương trình bậc hai là tìm tập hợp các nghiệm của bất phương trình đó.

Ta có thể giải bất phương trình bậc hai bằng cách xét dấu của tam thức bậc hai tương ứng.

Ví dụ: Giải bất phương trình bậc hai 6x² + 7x - 5 > 0

Giải

Tam thức bậc hai f(x) = 6x² + 7x - 5 có hai nghiệm phân biệt là ${x_1} = - \frac{5}{3}$ ${x_1} = - \frac{5}{3}$ và x₂ = $\frac{1}{2}$ $\frac{1}{2}$.

a = 6 > 0 nên f(x) đương với mọi x thuộc hai khoảng $\left( { - \infty ; - \frac{5}{3}} \right),\left( {\frac{1}{2}; + \infty } \right)$ $\left( { - \infty ; - \frac{5}{3}} \right),\left( {\frac{1}{2}; + \infty } \right)$

Vậy bất phương trình 6x² + 7x - 5 > 0 có tập nghiệm là $\left( { - \infty ; - \frac{5}{3}} \right) \cup \left( {\frac{1}{2}; + \infty } \right)$ $\left( { - \infty ; - \frac{5}{3}} \right) \cup \left( {\frac{1}{2}; + \infty } \right)$

Lưu ý: Có thể sử dụng đồ thị hàm số f(x) = 6x² + 7x - 5 (Hình trên) để giải bất phương trình ƒ(x) > 0.

B. Bài tập minh họa

Câu 1: Các bất phương trình nào sau đây là bất phương trình bậc hai một ẩn? Nếu là bất phương trình bậc hai một ẩn, x = 2 có là nghiệm của bất phương trình đó hay không?

a) ${x^2} + x - 6 \le 0$ ${x^2} + x - 6 \le 0$

b) x + 2 > 0

c) - 6x² - 7x + 5 > 0

Hướng dẫn giải

a) ${x^2} + x - 6 \le 0$ ${x^2} + x - 6 \le 0$ là một bất phương trình bậc hai một ẩn

Vì ${2^2} + 2 - 6 = 0$ ${2^2} + 2 - 6 = 0$ nên x = 2 là nghiệm của bất phương trình trên

b) x + 2 > 0 không là bất phương trình bậc hai một ẩn

c) - 6x²- 7x + 5 > 0 là một bất phương trình bậc hai một ẩn

Vì $- {6.2^2} - 7.2 + 5 = - 33 < 0$ $- {6.2^2} - 7.2 + 5 = - 33 < 0$ nên x = 2 không là nghiệm của bất phương trình trên

Câu 2: Giải các bất phương trình bậc hai sau:

a) $15{x^2} + 7x - 2 \le 0$ $15{x^2} + 7x - 2 \le 0$

b) - 2x²+ x - 3 < 0

Hướng dẫn giải

a) Tam thức bậc hai $f\left( x \right) = 15{x^2} + 7x - 2$ $f\left( x \right) = 15{x^2} + 7x - 2$ có hai nghiệm phân biệt là ${x_1} = - \frac{2}{3};{x_2} = \frac{1}{5}$ ${x_1} = - \frac{2}{3};{x_2} = \frac{1}{5}$

và có a = 15 > 0 nên $f\left( x \right) \le 0$ $f\left( x \right) \le 0$ khi x thuộc đoạn $\left[ { - \frac{2}{3};\frac{1}{5}} \right]$ $\left[ { - \frac{2}{3};\frac{1}{5}} \right]$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình $15{x^2} + 7x - 2 \le 0$ $15{x^2} + 7x - 2 \le 0$ là $\left[ { - \frac{2}{3};\frac{1}{5}} \right]$ $\left[ { - \frac{2}{3};\frac{1}{5}} \right]$

b) Tam thức bậc hai $f\left( x \right) = - 2{x^2} + x - 3$ $f\left( x \right) = - 2{x^2} + x - 3$có $\Delta = - 23 < 0$ $\Delta = - 23 < 0$ và a = - 2 < 0

nên f(x) âm với mọi x ∈ R

Vậy bất phương trình - 2x² + x - 3 < 0 có tập nghiệm là R