Lý thuyết Toán 10 bài 3: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu CTST

Sách Chân trời sáng tạo

1 29

Lý thuyết Toán lớp 10 bài 3: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu được chúng tôi sưu tầm và tổng hợp các câu hỏi lí thuyết và trắc nghiệm có đáp án đi kèm nằm trong chương trình giảng dạy môn Toán lớp 10 sách CTST. Mời quý thầy cô cùng các bạn tham khảo tài liệu dưới đây.

Bài 3: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu

A. Lý thuyết Toán 10 bài 3
B. Bài tập minh họa
C. Trắc nghiệm Toán 10 bài 3

A. Lý thuyết Toán 10 bài 3

1. Số trung bình

Cho mẫu số liệu ${x_1},{x_2},{x_3},...,{x_n}$

+) Số trung bình (hay TB cộng) của mẫu số liệu kí hiệu là $\overline x$ , được tính bằng công thức: $\overline x = \frac{{{x_1} + {x_2} + {x_3} + ... + {x_n}}}{n}$

+) Mẫu số liệu cho dưới dạng bảng tần số thì:

$\overline x = \frac{{{n_1}{x_1} + {n_2}{x_2} + {n_3}{x_3} + ... + {n_k}{x_k}}}{n}$

Với ${n_i}$ là tần số của giá trị ${x_i}$ và $n = {n_1} + {n_2} + ... + {n_k}$

+) Ý nghĩa: Số trung bình dùng để đại diện cho các số liệu của mẫu. Nó là một số đo xu thế trung tâm của mẫu đó.

Ví dụ: Một cửa hàng bán xe đạp thống kê số xe bán được hằng tháng trong năm 2021 ở bảng sau:

a) Hãy tính số xe trung bình cửa hàng bán được mỗi tháng trong năm 2021

b) Hãy so sánh hiệu quả kinh doanh trong quý III của cửa hàng với 6 tháng đầu năm 2021

Giải

a) Sô xe trung bình cửa hàng bán được mỗi tháng trong năm 2021 là

$\frac{1}{{12}}\left( {10 + 8 + 7 + 5 + 8 + 22 + 28 + 25 + 20 + 10 + 9 + 7} \right) = 13,25$ (xe).

b) Số xe trung bình bán được trong 6 tháng đầu năm là:

$\frac{1}{6}\left( {10 + 8 + 7 + 5 + 8 + 22} \right) = 10$ (xe)

Số xe trung bình bán được trong quý III của năm là

$\frac{1}{3}\left( {28 + 25 + 20} \right) = \frac{{73}}{3} \approx 24,33$ (xe)

Như vậy hiệu quả kinh doanh của cửa hàng trong quý III cao hơn trong 6 tháng đầu năm.

2. Trung vị và tứ phân vị

a) Trung vị

+) Trong trường hợp mẫu số liệu có giá trị bất thường (rất lớn hoặc rất bé so với đa số các giá trị khác), ta dùng trung vị để đo xu thế trung tâm.

+) Tìm trung vị ${M_e}$ :

Bước 1: Sắp xếp các giá trị theo thứ tự không giảm ${X_1},{X_2},..,{X_n}$

Bước 2: Cỡ mẫu = n.

+ Nếu n lẻ $(n = 2k - 1) thì {M_e} = {X_k}$

+ Nếu n chẵn n = 2k thì ${M_e} = \frac{1}{2}({X_k} + {X_{k + 1}})$

+) Ý nghĩa: Trung vị là giá trị ở vị trí chính giữa của mẫu số liệu đã sắp xếp theo thứ tự không giảm. Trung vị không bị ảnh hưởng bởi giá trị bất thường như số trung bình.

Ví dụ

a) Tính các trung vị của số sách các bạn ở Tổ 1 và số sách các bạn ở Tổ 2 đã đọc trong HĐ2.

b) Sử dụng trung vị, hãy so sánh xem các bạn ở tổ nào đọc nhiều sách ở thư viện hơn.

Giải

a) Sắp xếp sổ sách mỗi bạn Tổ 1 đã đọc theo thứ tự không giảm, ta được đấy:

1; 1; 1; 2; 2; 2; 3; 3; 25.

Vì cỡ mẫu bằng 9 nên trung vị của Tổ 1 là số liệu thứ 5 của dãy trên, tức là ${M_e} = 2$

Sắp xếp số sách mỗi bạn Tổ 2 đã đọc theo thứ tự không giảm. ta được đấy:

3; 3; 4; 4; 4; 4; 5; 5

Vì cỡ mẫu bằng 8 nên trung vị của Tổ 2 là trung bình cộng của số liệu thứ 4 và thứ 5 của dãy trên, tức là ${M_e} = \frac{1}{2}\left( {4 + 4} \right) = 4$

b) Nếu so sánh theo trung vị thì các bạn Tổ 2 đọc nhiều sách ở thư viện hơn các bạn Tổ 1.

b) Tứ phân vị

Tứ phân vị gồm 3 giá trị ${Q_1},{Q_2},{Q_3}$ , nó chia mẫu số liệu đã sắp xếp theo thứ tự từ nhỏ đến lớn thành 4 phần, mỗi phần đều chứa 25% giá trị.

+) Các bước tìm tứ phân vị:

Bước 1: Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm.

Bước 2: Tìm trung vị, chính là Q₂

Bước 3: Q₁ là trung vị của nửa số liệu bên trái Q₂ (không bao gồm Q₂nếu n lẻ).

Bước 4: Q₃ là trung vị của nửa số liệu bên phải Q₂(không bao gồm Q₂ nếu n lẻ).

Chú ý

Q₁ còn được gọi là tứ phân vị thứ nhất hoặc tứ phân vị dưới, đại diện cho nửa mẫu số liệu phía dưới.

Q₃ còn được gọi là tứ phân vị thứ ba hoặc tứ phân vị trên, đại diện cho nửa mẫu số liệu phía trên.

3. Mốt

Mốt của mẫu số liệu là giá trị xuất hiện nhiều nhất trong mẫu.

Ý nghĩa: Dùng mốt để đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu khi mẫu có nhiều giá trị trùng nhau.

Nhận xét

- Mốt có thể không là duy nhất. Một mẫu có thể có nhiều mốt

- Khi các giá trị trong mẫu xuất hiện với tần số như nhau thì mẫu số liệu đó không có mốt.

Ví dụ: Số vụ va chạm giao thông mỗi ngày tại một ngã tư được ghi lại trong bảng tần số sau:

Tìm mốt của mẫu số liệu trên.

Giải

Số ngày có 1 vụ va chạm là 17, lớn hơn số ngày có 0, 2, 3, 4 vụ va chạm. Do đó mẫu số liệu trên có M₀ = 1.

B. Bài tập minh họa

Câu 1: Cân nặng của 20 vận động viên môn vật của một câu lạc bộ được ghi lại ở bảng sau:

50	56	57	62	58	52	66	61	54	61
64	69	52	65	58	68	67	56	59	54

Để thuận tiện cho việc luyện tập, ban huấn luyện muốn xếp 20 vận động viên trên thành 4 nhóm, mỗi nhóm gồm 25% số vận động viên có cân nặng gần nhau. Bạn hãy giúp ban huấn luyện xác định các ngưỡng cân nặng để phân nhóm mỗi vận động viên.

Hướng dẫn giải

Sắp xếp các cân nặng theo thứ tự không giảm, ta được dãy:

50; 52; 52; 54; 54; 56; 56; 57; 58; 58; 59; 61; 61; 62; 64; 65; 66; 67; 68; 69.

+) Vì cỡ mẫu n = 20, là số chẵn, nên giá trị tứ phân vị thứ hai là ${Q_2} = \frac{1}{2}\left( {58 + 59} \right) = 58,5$