Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm

VnDoc.com

Lý thuyết Toán 10 bài 2: Tổng và hiệu của hai vectơ CTST

Sách Chân trời sáng tạo

Bài trước

Bài sau

Lý thuyết Toán lớp 10 bài 2: Tổng và hiệu của hai vectơ được VnDoc sưu tầm và tổng hợp các câu hỏi lí thuyết và trắc nghiệm có đáp án đi kèm nằm trong chương trình giảng dạy môn Toán lớp 10 sách CTST. Mời quý thầy cô cùng các bạn tham khảo tài liệu dưới đây.

A. Lý thuyết Toán 10 bài 2

1. Tổng của hai vectơ

Cho hai vectơ $\overrightarrow a$ $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$ $\overrightarrow b$. Từ một điểm A tùy ý, lấy hai điểm B, C sao cho $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow a , \overrightarrow {BC} = \overrightarrow b$ $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow a , \overrightarrow {BC} = \overrightarrow b$ Khi đó $\overrightarrow {AC}$ $\overrightarrow {AC}$ được gọi là tổng của hai vecto $\overrightarrow a, \overrightarrow b$ $\overrightarrow a, \overrightarrow b$ được kí hiệu là $\overrightarrow a + \overrightarrow b$ $\overrightarrow a + \overrightarrow b$

Vậy $\overrightarrow a + \overrightarrow b = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC}$ $\overrightarrow a + \overrightarrow b = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC}$

Quy tắc ba điểm:

Với 3 điểm M, N, P ta có: $\overrightarrow {MN} + \overrightarrow {NP} = \overrightarrow {MP}$ $\overrightarrow {MN} + \overrightarrow {NP} = \overrightarrow {MP}$

Quy tắc hình bình hành:

Nếu OABC là hình bình hành thì ta có $\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OB}$ $\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OB}$

Chú ý:

+ Khi công hai vectơ theo quy tắc ba điểm, điểm cuối của vectơ thứ nhất phải là điểm đầu của vectơ thứ hai.

Ví dụ: Cho các điểm E, F, G, H, K. Thực hiện các phép cộng vecto

$\overrightarrow {EF} + \overrightarrow {FH} ;\overrightarrow {FK} + \overrightarrow {KG} ;\overrightarrow {HF} + \overrightarrow {HE}$ $\overrightarrow {EF} + \overrightarrow {FH} ;\overrightarrow {FK} + \overrightarrow {KG} ;\overrightarrow {HF} + \overrightarrow {HE}$

Giải

Áp dụng quy tắc ba điểm, ta có:

$\begin{array}{l} \overrightarrow {EF} + \overrightarrow {FH} = \overrightarrow {EH} ;\\ \overrightarrow {FK} + \overrightarrow {KG} = \overrightarrow {FG} ;\\ \overrightarrow {HF} + \overrightarrow {HE} = \overrightarrow {EE} = \overrightarrow 0. \end{array}$ $\begin{array}{l} \overrightarrow {EF} + \overrightarrow {FH} = \overrightarrow {EH} ;\\ \overrightarrow {FK} + \overrightarrow {KG} = \overrightarrow {FG} ;\\ \overrightarrow {HF} + \overrightarrow {HE} = \overrightarrow {EE} = \overrightarrow 0. \end{array}$

2. Tính chất của phép cộng các vectơ

Phép cộng vecto có các tính chất sau:

+ Tính chất giao hoán: $\overrightarrow a + \overrightarrow b = \overrightarrow b + \overrightarrow a$ $\overrightarrow a + \overrightarrow b = \overrightarrow b + \overrightarrow a$

+ Tính chất kết hợp: $(\overrightarrow a + \overrightarrow b ) + \overrightarrow c = \overrightarrow a + (\overrightarrow b + \overrightarrow c )$ $(\overrightarrow a + \overrightarrow b ) + \overrightarrow c = \overrightarrow a + (\overrightarrow b + \overrightarrow c )$

+ Với mọi vecto $\overrightarrow a ,$ $\overrightarrow a ,$ta luôn có: $\overrightarrow a + \overrightarrow 0 = \overrightarrow 0 + \overrightarrow a = \overrightarrow a$ $\overrightarrow a + \overrightarrow 0 = \overrightarrow 0 + \overrightarrow a = \overrightarrow a$

Chú ý: $\overrightarrow a + ( - \overrightarrow a ) = \overrightarrow 0$ $\overrightarrow a + ( - \overrightarrow a ) = \overrightarrow 0$(Tổng hai vecto đối luôn bằng vecto-không)

Ví dụ: Cho tứ giác ABCD. Thực hiện các phép cộng vecto sau: $\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CA} } \right) + \overrightarrow {BC}$ $\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CA} } \right) + \overrightarrow {BC}$

Giải

Áp dụng tính chất giao hoán và kết hợp của phép cộng vecto, ta có:

$\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CA} } \right) + \overrightarrow {BC} = \left( {\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {AB} } \right) + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {CB} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {CC} = \overrightarrow 0$ $\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CA} } \right) + \overrightarrow {BC} = \left( {\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {AB} } \right) + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {CB} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {CC} = \overrightarrow 0$

3. Hiệu của hai vectơ

Hiệu của hai vecto $\overrightarrow a - \overrightarrow b = \overrightarrow a + \left( { - \overrightarrow b } \right)$ $\overrightarrow a - \overrightarrow b = \overrightarrow a + \left( { - \overrightarrow b } \right)$

Chú ý: Cho ba điểm O, A, B ta có: $\overrightarrow {OB} - \overrightarrow {OA} = \overrightarrow {AB}$ $\overrightarrow {OB} - \overrightarrow {OA} = \overrightarrow {AB}$

Ví dụ: Cho các điểm M, N, P, Q. Thực hiện các phép trừ vecto sau: $\overrightarrow {MN} - \overrightarrow {PN} ;\overrightarrow {PM} - \overrightarrow {PQ}$ $\overrightarrow {MN} - \overrightarrow {PN} ;\overrightarrow {PM} - \overrightarrow {PQ}$

Giải

Ta có:

$\begin{array}{l} \overrightarrow {MN} - \overrightarrow {PN} = \overrightarrow {MN} + \overrightarrow {NP} = \overrightarrow {MP} ;\\ \overrightarrow {PM} - \overrightarrow {PQ} = \overrightarrow {PM} + \overrightarrow {QP} = \overrightarrow {QP} + \overrightarrow {PM} = \overrightarrow {QM} . \end{array}$ $\begin{array}{l} \overrightarrow {MN} - \overrightarrow {PN} = \overrightarrow {MN} + \overrightarrow {NP} = \overrightarrow {MP} ;\\ \overrightarrow {PM} - \overrightarrow {PQ} = \overrightarrow {PM} + \overrightarrow {QP} = \overrightarrow {QP} + \overrightarrow {PM} = \overrightarrow {QM} . \end{array}$

4. Tính chất vectơ của trung điểm đoạn thẳng và trọng tâm tam giác

+) M là trung điểm AB $\Leftrightarrow \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} = \overrightarrow 0$ $\Leftrightarrow \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} = \overrightarrow 0$

+) G là trọng tâm của $\Delta ABC \Leftrightarrow \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0$ $\Delta ABC \Leftrightarrow \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0$

Ví dụ: Cho tứ giác ABCD có I, J lần lượt là trung điểm của AB, CD và O là trung điểm của IJ. Chứng minh $\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} = \overrightarrow 0$ $\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} = \overrightarrow 0$

Giải

Do I, J, O lần lượt là trung điểm của AB, CD và Ị nên:

$\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} = \overrightarrow 0 ;\overrightarrow {JC} + \overrightarrow {JD} = \overrightarrow 0 ;\overrightarrow {OI} + \overrightarrow {OJ} = \overrightarrow 0$ $\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} = \overrightarrow 0 ;\overrightarrow {JC} + \overrightarrow {JD} = \overrightarrow 0 ;\overrightarrow {OI} + \overrightarrow {OJ} = \overrightarrow 0$

Ta có:

$\begin{array}{l} \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} = \left( {\overrightarrow {OI} + \overrightarrow {IA} } \right) + \left( {\overrightarrow {OI} + \overrightarrow {IB} } \right) + \left( {\overrightarrow {OJ} + \overrightarrow {JC} } \right) + \left( {\overrightarrow {OJ} + \overrightarrow {JD} } \right)\\ = \left( {\overrightarrow {OI} + \overrightarrow {OJ} } \right) + \left( {\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} } \right) + \left( {\overrightarrow {OI} + \overrightarrow {OJ} } \right) + \left( {\overrightarrow {JC} + \overrightarrow {JD} } \right)\\ = \overrightarrow 0 \end{array}$ $\begin{array}{l} \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} = \left( {\overrightarrow {OI} + \overrightarrow {IA} } \right) + \left( {\overrightarrow {OI} + \overrightarrow {IB} } \right) + \left( {\overrightarrow {OJ} + \overrightarrow {JC} } \right) + \left( {\overrightarrow {OJ} + \overrightarrow {JD} } \right)\\ = \left( {\overrightarrow {OI} + \overrightarrow {OJ} } \right) + \left( {\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} } \right) + \left( {\overrightarrow {OI} + \overrightarrow {OJ} } \right) + \left( {\overrightarrow {JC} + \overrightarrow {JD} } \right)\\ = \overrightarrow 0 \end{array}$

B. Bài tập minh họa

Câu 1: Cho hình thang ABCD có đáy là AB và CD. Cho biết $\overrightarrow a = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CB} ;\overrightarrow b = \overrightarrow {DB} + \overrightarrow {BC}$ $\overrightarrow a = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CB} ;\overrightarrow b = \overrightarrow {DB} + \overrightarrow {BC}$. Chứng minh rằng hai vectơ $\overrightarrow a và \overrightarrow b$ $\overrightarrow a và \overrightarrow b$cùng hướng.

Hướng dẫn giải

Áp dụng quy tắc ba điểm ta có:

$\overrightarrow a = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CB} = \overrightarrow {AB} ; \overrightarrow b = \overrightarrow {DB} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {DC}$ $\overrightarrow a = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CB} = \overrightarrow {AB} ; \overrightarrow b = \overrightarrow {DB} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {DC}$

Mà ABCD là hình thang nên AB//DC. Mặt khác vectơ $\overrightarrow {AB}$ $\overrightarrow {AB}$ và vectơ $\overrightarrow {DC}$ $\overrightarrow {DC}$đều có hướng từ trái sang phải, suy ra vectơ $\overrightarrow {AB}$ $\overrightarrow {AB}$ và vectơ $\overrightarrow {DC}$ $\overrightarrow {DC}$ cùng hướng

Vậy hai vectơ $\overrightarrow a và \overrightarrow b$ $\overrightarrow a và \overrightarrow b$ cùng hướng.

Câu 2: Cho tam giác đều ABC cạnh có độ dài là a. Tính độ dài vectơ $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC}$ $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC}$

Hướng dẫn giải

Áp dụng quy tắc hình bình hành vào ABDC ta có:

$\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AD} \Rightarrow \left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right| = \left| {\overrightarrow {AD} } \right| = AD$ $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AD} \Rightarrow \left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right| = \left| {\overrightarrow {AD} } \right| = AD$

Gọi O là giao điểm của AD và BC, ta có:

$AO = \sqrt {A{B^2} - B{O^2}} = \sqrt {A{B^2} - {{\left( {\frac{1}{2}BC} \right)}^2}} = \sqrt {{a^2} - {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$ $AO = \sqrt {A{B^2} - B{O^2}} = \sqrt {A{B^2} - {{\left( {\frac{1}{2}BC} \right)}^2}} = \sqrt {{a^2} - {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$

$AD = 2AO = a\sqrt 3 \Rightarrow \left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right| = a\sqrt 3$ $AD = 2AO = a\sqrt 3 \Rightarrow \left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right| = a\sqrt 3$

Vậy độ dài vectơ $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} là a\sqrt 3$ $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} là a\sqrt 3$

Câu 3: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 1. Tính độ dài các vectơ sau:

a) $\overrightarrow a = \left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} } \right) + \overrightarrow {CB} ;$ $\overrightarrow a = \left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} } \right) + \overrightarrow {CB} ;$

b) $\overrightarrow a = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {DA} .$ $\overrightarrow a = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {DA} .$

Hướng dẫn giải

a) $\begin{array}{l}\overrightarrow a = \left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} } \right) + \overrightarrow {CB} = \left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CB} } \right) + \overrightarrow {BD} \\ = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {AD} \Rightarrow \left| {\overrightarrow {AD} } \right| = AD = 1\end{array}$ $\begin{array}{l}\overrightarrow a = \left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} } \right) + \overrightarrow {CB} = \left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CB} } \right) + \overrightarrow {BD} \\ = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {AD} \Rightarrow \left| {\overrightarrow {AD} } \right| = AD = 1\end{array}$

b) $\begin{array}{l}\overrightarrow a = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {DA} = \left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} } \right) + \left( {\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DA} } \right)\\ = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AA} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow 0 = \overrightarrow {AC} \end{array}$ $\begin{array}{l}\overrightarrow a = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {DA} = \left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} } \right) + \left( {\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DA} } \right)\\ = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AA} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow 0 = \overrightarrow {AC} \end{array}$

$AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = \sqrt {{1^2} + {1^2}} = \sqrt 2$ $AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = \sqrt {{1^2} + {1^2}} = \sqrt 2$

$\Rightarrow \left| {\overrightarrow {AC} } \right| = \sqrt 2$ $\Rightarrow \left| {\overrightarrow {AC} } \right| = \sqrt 2$