VnDoc.com

Lý thuyết Toán 10: Bài tập cuối chương 4 CTST

Sách Chân trời sáng tạo

Bài trước

Bài sau

Lý thuyết Toán lớp 10 bài: Bài tập cuối chương 4 được chúng tôi sưu tầm và tổng hợp các câu hỏi lí thuyết và trắc nghiệm có đáp án đi kèm nằm trong chương trình giảng dạy môn Toán lớp 10 sách CTST. Mời quý thầy cô cùng các bạn tham khảo tài liệu dưới đây.

Bài tập cuối chương 4

A. Lý thuyết Toán 10 Bài tập cuối chương 4
- 1. Giá trị lượng giác của góc từ 0˚ đến 180˚
- 2. Định lí cosin và định lí sin
B. Bài tập minh họa
C. Trắc nghiệm Toán 10 bài tập cuối chương 4

A. Lý thuyết Toán 10 Bài tập cuối chương 4

1. Giá trị lượng giác của góc từ 0˚ đến 180˚

a) Giá trị lượng giác

+) Với mỗi góc $\alpha ({0^o}\le \alpha \le {180^o})$ $\alpha ({0^o}\le \alpha \le {180^o})$ có duy nhất điểm $M({x_0};{y_0})$ $M({x_0};{y_0})$ trên nửa đường tròn đơn vị để $\widehat {xOM} = \alpha .$ $\widehat {xOM} = \alpha .$ Khi đó:

$\sin \alpha = {y_0}$ $\sin \alpha = {y_0}$là tung độ của M

$\cos \alpha = {x_0}$ $\cos \alpha = {x_0}$ là hoành độ của M

$\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \frac{{{y_0}}}{{{x_0}}}(\alpha \ne {90^o})$ $\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \frac{{{y_0}}}{{{x_0}}}(\alpha \ne {90^o})$

$\cot \alpha = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} = \frac{{{x_0}}}{{{y_0}}}(\alpha \ne {0^o},\alpha \ne {180^o})$ $\cot \alpha = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} = \frac{{{x_0}}}{{{y_0}}}(\alpha \ne {0^o},\alpha \ne {180^o})$

Chú ý:

a) Nếu α là góc nhọn thì các giá trị lượng giác của α) đều dương

Nếu α là góc tù thì sinα> 0, cosα < 0, tanα < 0, cotα < 0.

b) tanα chỉ xác định khi $\alpha \ne {90^0}$ $\alpha \ne {90^0}$.

cotα chỉ xác định khi $\alpha \ne {0^0}$ $\alpha \ne {0^0}$ và $\alpha \ne {180^0}$ $\alpha \ne {180^0}$.

b) Quan hệ giữa các giá trị lượng giác của hai góc bù nhau

Hai góc bù nhau, $\alpha và {180^o} - \alpha$ $\alpha và {180^o} - \alpha$:

$\begin{array}{l}\sin \left( {{{180}^o} - \alpha } \right) = \sin \alpha \\\cos \left( {{{180}^o} - \alpha } \right) = - \cos \alpha \\\tan \left( {{{180}^o} - \alpha } \right) = - \tan \alpha (\alpha \ne {90^o})\\\cot \left( {{{180}^o} - \alpha } \right) = - \cot \alpha ({0^o} < \alpha < {180^o})\end{array}$ $\begin{array}{l}\sin \left( {{{180}^o} - \alpha } \right) = \sin \alpha \\\cos \left( {{{180}^o} - \alpha } \right) = - \cos \alpha \\\tan \left( {{{180}^o} - \alpha } \right) = - \tan \alpha (\alpha \ne {90^o})\\\cot \left( {{{180}^o} - \alpha } \right) = - \cot \alpha ({0^o} < \alpha < {180^o})\end{array}$

Hai góc phụ nhau, $\alpha$ $\alpha$ và ${90^o} - \alpha$ ${90^o} - \alpha$:

$\begin{array}{l}\sin \left( {{{90}^o} - \alpha } \right) = \cos \alpha \\\cos \left( {{{90}^o} - \alpha } \right) = \sin \alpha \\\tan \left( {{{90}^o} - \alpha } \right) = \cot \alpha (\alpha \ne {90^o},{0^o} < \alpha < {180^o})\\\cot \left( {{{90}^o} - \alpha } \right) = \tan \alpha (\alpha \ne {90^o},{0^o} < \alpha < {180^o})\end{array}$ $\begin{array}{l}\sin \left( {{{90}^o} - \alpha } \right) = \cos \alpha \\\cos \left( {{{90}^o} - \alpha } \right) = \sin \alpha \\\tan \left( {{{90}^o} - \alpha } \right) = \cot \alpha (\alpha \ne {90^o},{0^o} < \alpha < {180^o})\\\cot \left( {{{90}^o} - \alpha } \right) = \tan \alpha (\alpha \ne {90^o},{0^o} < \alpha < {180^o})\end{array}$

c) Giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt

Chú ý: Trong bảng, kí hiệu "||" để chỉ giá trị lượng giác không xác định.

d) Sử dụng máy tính cầm tay để tính giá trị lượng giác của một góc

+ Tính các giá trị lượng giác của góc

Bước 1: Cài đặt đơn vị đo góc (độ hoặc radian)

Bước 2: Vào chế độ tính toán

Chú ý: Để tính $\cot \alpha$ $\cot \alpha$ ta tính $\frac{1}{{\tan \alpha }}$ $\frac{1}{{\tan \alpha }}$.

+ Xác định số đo của góc khi biết giá trị lượng giác của góc đó

Để tìm $\alpha$ $\alpha$ khi biết $\cot \alpha$ $\cot \alpha$ ta tính $\tan \alpha = \frac{1}{{\cot \alpha }}$ $\tan \alpha = \frac{1}{{\cot \alpha }}$ rồi tính $\alpha$ $\alpha$ sau.

2. Định lí cosin và định lí sin

a) Định lí cosin trong tam giác

Trong tam giác ABC với BC = a, CA = b, AB = c, ta có:

$\begin{array}{l}{a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos A\\{b^2} = {c^2} + {a^2} - 2ca\cos B\\{c^2} = {a^2} + {b^2} - 2ab\cos C\end{array}$ $\begin{array}{l}{a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos A\\{b^2} = {c^2} + {a^2} - 2ca\cos B\\{c^2} = {a^2} + {b^2} - 2ab\cos C\end{array}$

Hệ quả

$\cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}};\cos B = \frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}};\cos C = \frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2ab}}$ $\cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}};\cos B = \frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}};\cos C = \frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2ab}}$

b) Định lí sin trong tam giác

Trong tam giác ABC với BC = a, CA = b, AB = c, ta có:

$\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} = 2R.$ $\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} = 2R.$

(R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC)

Hệ quả

$a = 2R.\sin A;\quad b = 2R\sin B;\quad c = 2R\sin C$ $a = 2R.\sin A;\quad b = 2R\sin B;\quad c = 2R\sin C$

$\sin A = \frac{a}{{2R}};\quad \sin B = \frac{b}{{2R}};\quad \sin C = \frac{c}{{2R}}.$ $\sin A = \frac{a}{{2R}};\quad \sin B = \frac{b}{{2R}};\quad \sin C = \frac{c}{{2R}}.$

c) Các công thức tính diện tích tam giác

1) $S = \frac{1}{2}a{h_a} = \frac{1}{2}b{h_b} = \frac{1}{2}c{h_c}$ $S = \frac{1}{2}a{h_a} = \frac{1}{2}b{h_b} = \frac{1}{2}c{h_c}$

2) $S = \frac{1}{2}bc\sin A = \frac{1}{2}ca\sin B = \frac{1}{2}ab\sin C$ $S = \frac{1}{2}bc\sin A = \frac{1}{2}ca\sin B = \frac{1}{2}ab\sin C$

3) $S = \frac{{abc}}{{4R}}$ $S = \frac{{abc}}{{4R}}$

4) $S = pr = \frac{{(a + b + c).r}}{2}$ $S = pr = \frac{{(a + b + c).r}}{2}$

5) $S = \sqrt {p(p - a)(p - b)(p - c)}$ $S = \sqrt {p(p - a)(p - b)(p - c)}$(Công thức Heron)

B. Bài tập minh họa

Câu 1: Tính:

$A = \sin {150^o} + \tan {135^o} + \cot {45^o}$ $A = \sin {150^o} + \tan {135^o} + \cot {45^o}$

$B = 2\cos {30^o} - 3\tan 150 + \cot {135^o}$ $B = 2\cos {30^o} - 3\tan 150 + \cot {135^o}$

Hướng dẫn giải

$A = \sin {150^o} + \tan {135^o} + \cot {45^o}$ $A = \sin {150^o} + \tan {135^o} + \cot {45^o}$

Sử dụng bảng giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt, ta có:

$\sin {150^o} = \frac{1}{2};\tan {135^o} = - 1;\cot {45^o} = 1.$ $\sin {150^o} = \frac{1}{2};\tan {135^o} = - 1;\cot {45^o} = 1.$

$\Rightarrow A = \frac{1}{2} - 1 + 1 = \frac{1}{2}.$ $\Rightarrow A = \frac{1}{2} - 1 + 1 = \frac{1}{2}.$

$B = 2\cos {30^o} - 3\tan 150 + \cot {135^o}$ $B = 2\cos {30^o} - 3\tan 150 + \cot {135^o}$

Sử dụng bảng giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt, ta có:

$\cos {30^o} = \frac{{\sqrt 3 }}{2};\tan {150^o} = - \frac{{\sqrt 3 }}{3};\cot {135^o} = - 1.$ $\cos {30^o} = \frac{{\sqrt 3 }}{2};\tan {150^o} = - \frac{{\sqrt 3 }}{3};\cot {135^o} = - 1.$

$\Rightarrow B = 2.\frac{{\sqrt 3 }}{2} - 3.\left( { - \frac{{\sqrt 3 }}{3}} \right) + 1 = 5\sqrt 3 + 1.$ $\Rightarrow B = 2.\frac{{\sqrt 3 }}{2} - 3.\left( { - \frac{{\sqrt 3 }}{3}} \right) + 1 = 5\sqrt 3 + 1.$

Câu 2: Tìm góc $\alpha ({0^o} \le \alpha \le {180^o})$ $\alpha ({0^o} \le \alpha \le {180^o})$ trong mỗi trường hợp sau:

a) $\sin \alpha = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$ $\sin \alpha = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$

b) $\cos \alpha = \frac{{ - \sqrt 2 }}{2}$ $\cos \alpha = \frac{{ - \sqrt 2 }}{2}$

Hướng dẫn giải

a) Sử dụng bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt, hàng sinα ta có:

$\sin \alpha = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$ $\sin \alpha = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$ với $\alpha = {60^o}$ $\alpha = {60^o}$ và $\alpha = {120^o}$ $\alpha = {120^o}$

b) Sử dụng bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt, hàng cos α ta có:

$\cos \alpha = \frac{{ - \sqrt 2 }}{2} với \alpha = {135^o}$ $\cos \alpha = \frac{{ - \sqrt 2 }}{2} với \alpha = {135^o}$

Câu 3: Tính diện tích tam giác ABC và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC trong các trường hợp sau:

a) Các cạnh b = 14, c = 35 và $\widehat A = {60^o}$ $\widehat A = {60^o}$

b) Các cạnh a = 4, b = 5, c = 3

Hướng dẫn giải

a) Áp dụng công thức: $S = \frac{1}{2}bc\sin A$ $S = \frac{1}{2}bc\sin A$, ta có:

$S = \frac{1}{2}.14.35.\sin {60^o} = \frac{1}{2}.14.35.\frac{{\sqrt 3 }}{2} \approx 212,2$ $S = \frac{1}{2}.14.35.\sin {60^o} = \frac{1}{2}.14.35.\frac{{\sqrt 3 }}{2} \approx 212,2$

b) Ta có: $p = \frac{1}{2}.(4 + 5 + 3) = 6$ $p = \frac{1}{2}.(4 + 5 + 3) = 6$

Áp dụng công thức Heron, ta có:

$S = \sqrt {p(p - a)(p - b)(p - c)} = \sqrt {6(6 - 4)(6 - 5)(6 - 3)} = 6.$ $S = \sqrt {p(p - a)(p - b)(p - c)} = \sqrt {6(6 - 4)(6 - 5)(6 - 3)} = 6.$

Câu 4: Giải tam giác ABC trong các trường hợp sau:

a) $a = 17,4;\widehat B = {44^o}30$ $a = 17,4;\widehat B = {44^o}30';\widehat C = {64^o}.$

b) a = 10; b = 6; c = 8.

Hướng dẫn giải

a) Ta cần tính góc $\widehat A$ $\widehat A$ và hai cạnh b, c.

Ta có: $\widehat A = {180^o} - \widehat B - \widehat C = {180^o} - {44^o}30$ $\widehat A = {180^o} - \widehat B - \widehat C = {180^o} - {44^o}30' - {64^o} = {71^o}30'.$

Áp dụng định lí sin, ta có:

$\begin{array}{l}\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} \Rightarrow \frac{{17,4}}{{\sin {{71}^o}30$ $\begin{array}{l}\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} \Rightarrow \frac{{17,4}}{{\sin {{71}^o}30'}} = \frac{b}{{\sin {{44}^o}30'}} = \frac{c}{{\sin {{64}^o}}}\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = \sin {44^o}30'.\frac{{17,4}}{{\sin {{71}^o}30'}} \approx 12,86\\c = \sin {64^o}.\frac{{17,4}}{{\sin {{71}^o}30'}} \approx 16,5\end{array} \right.\end{array}$

b) Ta cần tính số đo ba góc $\widehat A,\widehat B,\widehat C$ $\widehat A,\widehat B,\widehat C$

Áp dụng hệ quả của định lí cosin, ta có:

$\begin{array}{l}\cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}};\cos B = \frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}}\\ \Rightarrow \cos A = \frac{{{6^2} + {8^2} - {{10}^2}}}{{2.6.8}} = 0;\cos B = \frac{{{{10}^2} + {8^2} - {6^2}}}{{2.10.8}} = \frac{4}{5}\\ \Rightarrow \widehat A = {90^o},\widehat B = {36^o}52$ $\begin{array}{l}\cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}};\cos B = \frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}}\\ \Rightarrow \cos A = \frac{{{6^2} + {8^2} - {{10}^2}}}{{2.6.8}} = 0;\cos B = \frac{{{{10}^2} + {8^2} - {6^2}}}{{2.10.8}} = \frac{4}{5}\\ \Rightarrow \widehat A = {90^o},\widehat B = {36^o}52'11,63''\\ \Rightarrow \widehat C = {53^o}7'48,37''\end{array}$