Lý thuyết Toán 10 bài 4: Các số đặc trưng đo mức độ phân tán của mẫu số liệu CTST

Sách Chân trời sáng tạo

Lý thuyết Toán lớp 10 bài 4: Các số đặc trưng đo mức độ phân tán của mẫu số liệu được VnDoc sưu tầm và tổng hợp các câu hỏi lí thuyết và trắc nghiệm có đáp án đi kèm nằm trong chương trình giảng dạy môn Toán lớp 10 sách CTST. Mời quý thầy cô cùng các bạn tham khảo tài liệu dưới đây.

Bài 4: Các số đặc trưng đo mức độ phân tán của mẫu số liệu

A. Lý thuyết Toán 10 bài 4
- 1. Khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị
- 2. Phương sai và độ lệch chuẩn
B. Bài tập minh họa
C. Trắc nghiệm Toán 10 bài 4

A. Lý thuyết Toán 10 bài 4

1. Khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị

- Khoảng biến thiên (R) = Giá trị lớn nhất – Giá trị nhỏ nhất.

- Khoảng tứ phân vị: ${\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1}$ ${\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1}$

Ý nghĩa:

- Dùng để đo độ phân tán của toàn bộ mẫu số liệu: Khoảng biến thiên càng lớn thì mẫu số liệu càng phân tán.

- Dùng để đo độ phân tán của một nửa các số liệu có giá trị thuộc đoạn từ Q₁ đến Q₃ trong mẫu.

- Không bị ảnh hưởng bởi các giá trị bất thường.

Ví dụ: Hãy tính khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu: 10; 20; 3; 1; 3; 4; 7; 4; 9.

Giải

Xét mẫu số liệu đã sắp xếp là: 1; 3; 3; 4; 4; 7; 9; 10; 20

+ Khoảng biến thiên của mẫu số liệu là: R = 20 - 1 = 19

+ Cỡ mẫu là n = 9 là số lẻ nên giá trị tứ phân vị thứ hai là: Q₂= 4

+ Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: 1; 3; 3; 4. Do đó Q₁ = 3

+ Tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu: 7; 9; 10; 20. Do đó Q₃= 9,5.

+ Khoảng tứ phân vị của mẫu là: A_Q = 9,5 - 3 = 6,5.

Giá trị ngoại lệ: x là giá trị ngoại lệ nếu $\left[ \begin{array}{l}x < {Q_1} - 1,5.{\Delta _Q}\\x > {Q_3} + 1,5.{\Delta _Q}\end{array} \right.$ $\left[ \begin{array}{l}x < {Q_1} - 1,5.{\Delta _Q}\\x > {Q_3} + 1,5.{\Delta _Q}\end{array} \right.$

2. Phương sai và độ lệch chuẩn

Cho mẫu số liệu x₁, x₂, x₃...,x_n, số trung bình là $\overline x$ $\overline x$

+ Phương sai: ${s^2} = \frac{{{{({x_1} - \overline x )}^2} + {{({x_2} - \overline x )}^2} + ... + {{({x_n} - \overline x )}^2}}}{n} = \frac{1}{n}({x_1}^2 + {x_2}^2 + ... + {x_n}^2) - {\overline x ^2}$ ${s^2} = \frac{{{{({x_1} - \overline x )}^2} + {{({x_2} - \overline x )}^2} + ... + {{({x_n} - \overline x )}^2}}}{n} = \frac{1}{n}({x_1}^2 + {x_2}^2 + ... + {x_n}^2) - {\overline x ^2}$

+ Độ lệch chuẩn: $s = \sqrt {{s^2}}$ $s = \sqrt {{s^2}}$

Ý nghĩa: Nếu số liệu càng phân tán thì phương sai và độ lệch chuẩn càng lớn

Chú ý: Phương sai của mẫu số liệu cho dạng bảng tần số:

${s^2} = \frac{{{m_1}{{({x_1} - \overline x )}^2} + {m_2}{{({x_2} - \overline x )}^2} + ... + {m_k}{{({x_k} - \overline x )}^2}}}{n}$ ${s^2} = \frac{{{m_1}{{({x_1} - \overline x )}^2} + {m_2}{{({x_2} - \overline x )}^2} + ... + {m_k}{{({x_k} - \overline x )}^2}}}{n}$

Với m_i là tần số của giá trị x_i và $n = {m_1} + {m_2} + ... + {m_k}$ $n = {m_1} + {m_2} + ... + {m_k}$

* Giả sử mẫu số liệu được cho dưới dạng bảng tần số:

Khi đó, công thức tính phương sai trở thành:

${S^2} = \frac{1}{n}\left[ {{n_1}{{\left( {{x_1} - \overline x } \right)}^2} + {n_2}{{\left( {{x_2} - \overline x } \right)}^2} + ... + {n_k}{{\left( {{x_k} - \overline x } \right)}^2}} \right]$ ${S^2} = \frac{1}{n}\left[ {{n_1}{{\left( {{x_1} - \overline x } \right)}^2} + {n_2}{{\left( {{x_2} - \overline x } \right)}^2} + ... + {n_k}{{\left( {{x_k} - \overline x } \right)}^2}} \right]$

trong đó n = n₁ + n₂ +...+ n_k

Có thể biến đổi công thức tính phương sai trên thành:

${S^2} = \frac{1}{n}\left( {{n_1}.x_1^2 + {n_2}.x_2^2 + ... + {n_k}.x_k^2} \right) - {\overline x ^2}$ ${S^2} = \frac{1}{n}\left( {{n_1}.x_1^2 + {n_2}.x_2^2 + ... + {n_k}.x_k^2} \right) - {\overline x ^2}$

Ví dụ: Điều tra một số học sinh về số cái bánh chưng mà gia đình mỗi bạn tiêu thụ trong dịp Tết Nguyên Đán, kết quả được ghi lại ở bảng sau. Hãy tính số trung bình và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu.

Giải

Số trung bình của mẫu số liệu trên là:

$\overline x = \frac{1}{{40}}\left( {5.6 + 7.7 + 10.8 + 8.9 + 5.10 + 4.11 + 15} \right) = 8,5$ $\overline x = \frac{1}{{40}}\left( {5.6 + 7.7 + 10.8 + 8.9 + 5.10 + 4.11 + 15} \right) = 8,5$.

Phương sai của mẫu số liệu trên là

${S^2} = \frac{1}{{40}}\left( {{{5.6}^2} + {{7.7}^2} + {{10.8}^2} + {{8.9}^2} + {{5.10}^2} + {{4.11}^2} + {{15}^2}} \right) - 8,{5^2} = 3,25$ ${S^2} = \frac{1}{{40}}\left( {{{5.6}^2} + {{7.7}^2} + {{10.8}^2} + {{8.9}^2} + {{5.10}^2} + {{4.11}^2} + {{15}^2}} \right) - 8,{5^2} = 3,25$

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu là:

$S = \sqrt {{S^2}} = \sqrt {3,25} \approx 1,80.$ $S = \sqrt {{S^2}} = \sqrt {3,25} \approx 1,80.$

B. Bài tập minh họa

Câu 1: Hãy tìm khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị của các mẫu số liệu sau:

a) 10; 13; 15; 2; 10; 19; 2; 5; 7

b) 15; 19; 10; 5; 9; 10; 1; 2; 5; 15

Hướng dẫn giải

a) Xét mẫu số liệu đã sắp xếp là: 2; 2; 5; 7; 10; 10; 13; 15; 19

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu là: R = 19 - 2 = 17.

Cỡ mẫu là n = 9 là số lẻ nên giá trị tứ phân vị thứ hai là: Q₂ = 10.

Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: 2; 2 ;5; 7. Do đó Q₁ = 3,5

Tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu: 10; 13; 15; 19. Do đó Q₃ = 14

Khoảng tứ phân vị của mẫu là: ${\Delta _Q}$ ${\Delta _Q}$= 14 - 3,5 = 10,5

b) Xét mẫu số liệu đã sắp xếp là: 1; 2; 5; 5; 9; 10; 10; 15; 15; 19

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu là: R = 19 - 1 = 18.

Cỡ mẫu là n = 10 là số chẵn nên giá trị tứ phân vị thứ hai là: Q₂ = 9,5.

Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: 1; 2; 5; 5; 9. Do đó Q₁ = 5.

Tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu: 10; 10; 15; 15; 19. Do đó Q₃ = 15

Khoảng tứ phân vị của mẫu là: ${\Delta _Q}$ ${\Delta _Q}$= 15 - 5 = 10

Câu 2: Bảng dưới đây thống kê tổng số giờ nắng trong năm 2019 theo từng tháng được đo bởi hai trạm quan sát khí tượng đặt ở Tuyên Quang và Cà Mau.

Tháng	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Tuyên Quang	25	89	72	117	106	177	156	203	227	146	117	145
Cà Mau	180	223	257	245	191	111	141	134	130	122	157	173

a) Hãy tính phương sai và độ lệch chuẩn của dữ liệu từng tỉnh.

b) Nêu nhận xét về sự thay đổi tổng số giờ nắng theo từng tháng ở mỗi tỉnh.

Hướng dẫn giải

+) Tuyên Quang:

Số giờ nắng trung bình

$\overline x = \frac{{25 + 89 + 72 + 117 + 106 + 177 + 156 + 203 + 227 + 146 + 117 + 145}}{{12}} = 131,67$ $\overline x = \frac{{25 + 89 + 72 + 117 + 106 + 177 + 156 + 203 + 227 + 146 + 117 + 145}}{{12}} = 131,67$

Phương sai: ${S^2} = \frac{1}{{12}}\left( {{{25}^2} + {{89}^2} + ... + {{145}^2}} \right) - 131,{67^2} \approx 2921,2$ ${S^2} = \frac{1}{{12}}\left( {{{25}^2} + {{89}^2} + ... + {{145}^2}} \right) - 131,{67^2} \approx 2921,2$

Độ lệch chuẩn $S = \sqrt {2921,2} \approx 54$ $S = \sqrt {2921,2} \approx 54$

+) Cà Mau:

Số giờ nắng trung bình

$\overline x = \frac{{180 + 223 + 257 + 245 + 191 + 111 + 141 + 134 + 130 + 122 + 157 + 173}}{{12}} = 172$ $\overline x = \frac{{180 + 223 + 257 + 245 + 191 + 111 + 141 + 134 + 130 + 122 + 157 + 173}}{{12}} = 172$

Phương sai: ${S^2} = \frac{1}{{12}}\left[ {\left( {{{180}^2} + {{223}^2} + ... + {{173}^2}} \right) - {{172}^2}} \right] = 2183$ ${S^2} = \frac{1}{{12}}\left[ {\left( {{{180}^2} + {{223}^2} + ... + {{173}^2}} \right) - {{172}^2}} \right] = 2183$

Độ lệch chuẩn $S = \sqrt {2183} = 46,7$ $S = \sqrt {2183} = 46,7$

=> Nhận xét: Ở Tuyên Quang tổng số giờ nắng theo từng tháng thay đổi nhiều hơn so với ở Cà Mau.