Lý thuyết Toán 10 bài 3: Phương trình quy về bậc hai CTST

Sách Chân trời sáng tạo

Lý thuyết Toán lớp 10 bài 3: Phương trình quy về bậc hai được chúng tôi sưu tầm và tổng hợp các câu hỏi lí thuyết và trắc nghiệm có đáp án đi kèm nằm trong chương trình giảng dạy môn Toán lớp 10 sách CTST. Mời quý thầy cô cùng các bạn tham khảo tài liệu dưới đây.

Bài 3: Phương trình quy về bậc hai

A. Lý thuyết Toán 10 bài 3
- 1. Phương trình dạng
- 2. Phương trình dạng
B. Bài tập minh họa
C. Trắc nghiệm Toán 10 bài 3

A. Lý thuyết Toán 10 bài 3

1. Phương trình dạng $\sqrt{ax^{2}+bx+c}=\sqrt{dx^{2}+ex+f}$ $\sqrt{ax^{2}+bx+c}=\sqrt{dx^{2}+ex+f}$

Để giải phương trình $\sqrt{ax^{2}+bx+c}=\sqrt{dx^{2}+ex+f}$ $\sqrt{ax^{2}+bx+c}=\sqrt{dx^{2}+ex+f}$ ta làm như sau:

Bước 1: Bình phương hai vế của phương trình để được phương trình $a{x^2} + bx + c = d{x^2} + ex + f$ $a{x^2} + bx + c = d{x^2} + ex + f$

Bước 2: Giải phương trình nhận được ở Bước 1

Bước 3: Thử lại xem các giá trị x tìm được ở Bước 2 có thỏa mãn phương trình đã cho hay không và kết luận nghiệm

Ví dụ: Giải phương trình $\sqrt {2{x^2} - 6x - 8} = \sqrt {{x^2} - 5x - 2}$ $\sqrt {2{x^2} - 6x - 8} = \sqrt {{x^2} - 5x - 2}$

Giải

Bình phương hai về của phương trình đã cho, ta được:

$\begin{array}{l} 2{x^2} - 6x - 8 = {x^2} - 5x - 2\\ \Rightarrow {x^2} - x - 6 = 0 \end{array}$ $\begin{array}{l} 2{x^2} - 6x - 8 = {x^2} - 5x - 2\\ \Rightarrow {x^2} - x - 6 = 0 \end{array}$

⇒ x = -2 hoặc x = 3.

Thay lần lượt các giá trị trên vào phương trình đã cho, ta thấy chỉ có x = -2 thỏa mãn.

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x= -2.

2. Phương trình dạng $\sqrt{ax^{2}+bx+c}= dx+e$ $\sqrt{ax^{2}+bx+c}= dx+e$

Để giải phương trình $\sqrt{ax^{2}+bx+c}= dx+e$ $\sqrt{ax^{2}+bx+c}= dx+e$, ta làm như sau:

Bước 1: Bình phương hai vế của phương trình để được phương trình $a{x^2} + bx + c = {\left( {dx + e} \right)^2}$ $a{x^2} + bx + c = {\left( {dx + e} \right)^2}$

Bước 2: Giải phương trình nhận được ở Bước 1

Bước 3: Thử lại xem các giá trị x tìm được ở Bước 2 có thỏa mãn phương trình đã cho hay không và kết luận nghiệm.

Ví dụ: Giải phương trình $\sqrt {3{x^2} + 5x - 13} = x + 1$ $\sqrt {3{x^2} + 5x - 13} = x + 1$

Giải

Bình phương hai vế của phương trình đã cho, ta được:

$\begin{array}{l} 3{x^2} + 5x - 13 = {\left( {x + 1} \right)^2}\\ \Rightarrow 3{x^2} + 5x - 13 = {x^2} + 2{\rm{x}} + 1\\ \Rightarrow 2{x^2} + 3{\rm{x}} - 14 = 0 \end{array}$ $\begin{array}{l} 3{x^2} + 5x - 13 = {\left( {x + 1} \right)^2}\\ \Rightarrow 3{x^2} + 5x - 13 = {x^2} + 2{\rm{x}} + 1\\ \Rightarrow 2{x^2} + 3{\rm{x}} - 14 = 0 \end{array}$

$x = - \frac{7}{2}$ $x = - \frac{7}{2}$ hoặc x = 2.

Thay lần lượt các giá trị trên vào phương trình đã cho, ta thấy chỉ có x = 2 thỏa mãn.

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x= 2.

B. Bài tập minh họa

Câu 1: Giải phương trình $\sqrt {31{x^2} - 58x + 1} = \sqrt {10{x^2} - 11x - 19}$ $\sqrt {31{x^2} - 58x + 1} = \sqrt {10{x^2} - 11x - 19}$

Hướng dẫn giải

Bình phương hai vế của phương trình đã cho, ta được:

$\begin{array}{l}\sqrt {31{x^2} - 58x + 1} = \sqrt {10{x^2} - 11x - 19} \\ \Rightarrow 31{x^2} - 58x + 1 = 10{x^2} - 11x - 19\\ \Rightarrow 21{x^2} - 47x + 20 = 0\end{array}$ $\begin{array}{l}\sqrt {31{x^2} - 58x + 1} = \sqrt {10{x^2} - 11x - 19} \\ \Rightarrow 31{x^2} - 58x + 1 = 10{x^2} - 11x - 19\\ \Rightarrow 21{x^2} - 47x + 20 = 0\end{array}$

$\Rightarrow x = \frac{5}{3}$ $\Rightarrow x = \frac{5}{3}$hoặc $x = \frac{4}{7}$ $x = \frac{4}{7}$

Thay lần lượt các nghiệm trên vào phương trình đã cho, ta thấy không có nghiệm nào thỏa mãn

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm

Câu 2: Giải phương trình $\sqrt {3{x^2} + 27x - 41} = 2x + 3$ $\sqrt {3{x^2} + 27x - 41} = 2x + 3$

Hướng dẫn giải

Bình phương hai vế của phương trình đã cho, ta được:

$3{x^2} + 27x - 41 = {\left( {2x + 3} \right)^2}$ $3{x^2} + 27x - 41 = {\left( {2x + 3} \right)^2}$

$\Rightarrow 3{x^2} + 27x - 41 = 4{x^2} + 12x + 9$ $\Rightarrow 3{x^2} + 27x - 41 = 4{x^2} + 12x + 9$

$\Rightarrow {x^2} - 15x + 50 = 0$ $\Rightarrow {x^2} - 15x + 50 = 0$

=>x = 5 và x = 10

Thay hai nghiệm vừa tìm được vào phương trình $\sqrt {3{x^2} + 27x - 41} = 2x + 3$ $\sqrt {3{x^2} + 27x - 41} = 2x + 3$ ta thấy cả hai nghiệm đều thỏa mãn phương trình

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x = 5 và x = 10