Lý thuyết Toán 10 bài 1: Dấu của tam thức bậc hai CTST

Đa thức bậc hai \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\) với a, b, c là hệ số, \(a \ne 0\) và x là biến số được gọi là tam thức bậc hai.

* Cho tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c, a \ne 0\). Khi thay x bằng giá trị x₀ vào ƒ(x), ta được \(f\left( {{x_0}} \right) = a{x_0}^2 + b{x_0} + c\), gọi là giá trị của tam thức bậc lai tại x₀.

+ Nếu \(f\left( {{x_0}} \right) > 0\) thì ta nói f(x) đương tại x₀;

+ Nếu \(f\left( {{x_0}} \right) < 0\) thì ta nói f(x) âm tại x_0;

+ Nếu f(x) đương (âm) tại mọi điểm x thuộc một khoảng hoặc một đoạn thì ta nói f{x) dương (âm) trên khoảng hoặc đoạn đó.

* Cho tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c, a \ne 0\). Khi đó

+ Nghiệm của phương trình bậc hai ax² + bx + c là nghiệm của f(x).

+ Biểu thức \(\Delta  = {b^2} - 4{\rm{a}}c\) và \(\Delta ' = {\left( {\frac{b}{2}} \right)^2} - ac\) lần lượt là biệt thức và biệt thức thu gọn của f(x).

Ví dụ: Biểu thức nào sau đây là tam thức bậc hai? Nếu là tam thức bậc hai, hãy xét dấu của nó tại x=2

\(\begin{array}{l} a)f(x) =  - {x^2} + x + 3\\ b)g(x) =  - 3x + \frac{{13}}{2} \end{array}\)

Giải

a) Biểu thức f(x) =  - x² + x + 3 là một tam thức bậc hai.

f(2) =  - 2² + 2 + 3 = 1 > 0 nên f(x) đương tại x= 2.

b) Biểu thức \(g(x) =  - 3x + \frac{{13}}{2}\) không phải là một tam thức bậc hai

Cho tam thức bậc hai \(f(x) = a{x^2} + bx + c\left( {a \ne 0} \right)\)

+ Nếu Δ < 0 thì ƒ(x) cùng dấu với a với mọi giá trị x

+ Nếu Δ = 0 và \({x_0} = - \frac{b}{{2{\rm{a}}}}\) là nghiệm kép của ƒ(x) thì ƒ(x) cùng dấu với a với mọi x khác x₀ .

+ Nến Δ > 0 và x₁, x₂ là hai nghiệm của \(f(x)\left( {{x_1} < {x_2}} \right)\) thì ƒ(x) trái dấu với a với mọi x trong.

khoảng (x₁; x₂); f(x) cùng dấu với a với mọi x thuộc hai khoảng \(\left( { - \infty ;{x_1}} \right),\left( {{x_2}; + \infty } \right)\)

Chú ý

a) Để xét dâu tam thức bậc hai \(f(x) = a{x^2} + bx + c\left( {a \ne 0} \right)\), ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Tính và xác định đâu của biệt thức Δ;

Bước 2: Xác định nghiệm của ƒ(x) (nếu có);

Bước 3: Xác định dấu của hệ số a,

Bước 4: Xác định dấu của ƒ(x)

b) Khi xét dấu của tam thức bậc hai, ta có thể dùng biệt thức thu gọn Δ' thay cho biệt thức Δ.

Ví dụ

Xét dấu của tam thức bậc hai sau: \(f(x) =  - {x^2} + 3{\rm{x}} + 10\)

Giải

\(f(x) =  - {x^2} + 3{\rm{x}} + 10, \Delta\) = 49 > 0, hai nghiệm phân biệt là x₁ = -2, x₂ = 5 và a = - 1 < 0

Ta có bảng xét dấu f(x) như sau:

Vậy f(x) dương trong khoảng (-2; 5) và âm trong hai khoảng \(\left( { - \infty ; - 2} \right) và \left( {5; + \infty } \right)\)

Câu 1: Biểu thức nào sau đây là tam thức bậc hai? Nếu là tam thức bậc hai, hãy xét dấu của nó tại x = 1

a) \(f\left( x \right) = 2{x^2} + x - 1\);

b) \(g\left( x \right) =  - {x^4} + 2{x^2} + 1\)

c) \(h\left( x \right) =  - {x^2} + \sqrt 2 .x - 3\)

Hướng dẫn giải

a) Biểu thức \(f\left( x \right) = 2{x^2} + x - 1\) là một tam thức bậc hai

\(f\left( 1 \right) = {2.1^2} + 1 - 1 = 2 > 0\) nên \(f\left( x \right)\)) dương tại x = 1

b) Biểu thức g_x=  - x⁴ + 2x² + 1 không phải là một tam thức bậc hai

c) Biểu thức h_(x)=  - x² + \(\sqrt 2 .x - 3\) là một tam thức bậc hai

\(h\left( 1 \right) =  - {1^2} + \sqrt 2 .1 - 3 = \sqrt 2  - 4 < 0\) nên \(h\left( x \right)\)âm tại x = 1

Câu 2: Xét dấu của các tam thức bậc hai sau:

a) \(f\left( x \right) = 2{x^2} - 3x - 2\)     

b) \(g\left( x \right) =  - {x^2} + 2x - 3\)

Hướng dẫn giải

a) \(f\left( x \right) = 2{x^2} - 3x - 2\) có \(\Delta  = 25 > 0\), hai nghiệm phân biệt là \({x_1} =  - \frac{1}{2};{x_2} = 2\)

và a = 2 > 0

Ta có bảng xét dấu như sau:

Vậy f(x) âm trong khoảng \(\left( { - \frac{1}{2},2} \right)\) và dương trong hai khoảng

\(\left( { - \infty , - \frac{1}{2}} \right) và \left( {2, + \infty } \right)\)

b) \(g\left( x \right) =  - {x^2} + 2x - 3\)có \(\Delta  = {2^2} - 4.\left( { - 1} \right).\left( { - 3} \right) =  - 8 < 0, a =  - 1 < 0\)

Vậy g(x) âm với mọi x ∈R

C. Trắc nghiệm Toán 10 bài 1