VnDoc.com

Lý thuyết Toán 10 bài 2: Định lí cosin và định lí sin CTST

Sách Chân trời sáng tạo

Bài trước

Tải về

Bài sau

Lý thuyết Toán lớp 10 bài 2: Định lí cosin và định lí sin được VnDoc sưu tầm và tổng hợp các câu hỏi lí thuyết và trắc nghiệm có đáp án đi kèm nằm trong chương trình giảng dạy môn Toán lớp 10 sách CTST. Mời quý thầy cô cùng các bạn tham khảo tài liệu dưới đây.

A. Lý thuyết Toán 10 bài 2

1. Định lí cosin trong tam giác

Trong tam giác ABC với BC = a, CA = b, AB = c, ta có:

$\begin{array}{l}{a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos A\\{b^2} = {c^2} + {a^2} - 2ca\cos B\\{c^2} = {a^2} + {b^2} - 2ab\cos C\end{array}$ $\begin{array}{l} a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos A \\ b^{2} = c^{2} + a^{2} - 2 c a \cos B \\ c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos C \end{array}$

Hệ quả

$\cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}};\cos B = \frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}};\cos C = \frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2ab}}$ $\cos A = \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c}; \cos B = \frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{2 a c}; \cos C = \frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2 a b}$

Ví dụ: Cho tam giác ABC có $\widehat C = {115^0},AC = 8$ $\hat{C} = 115^{0}, A C = 8$ và BC = 12. Tính độ dài cạnh AB và các góc A, B của tam giác đó.

Giải

Theo định lí côsin, ta có:

$\begin{array}{l} A{B^2} = B{C^2} + A{C^2} - 2.BC.AC.\cos C\\ = {12^2} + {8^2} - 2.12.8.cos{115^0}\\ \approx 289,14 \end{array}$ $\begin{array}{l} A B^{2} = B C^{2} + A C^{2} - 2. B C . A C . \cos C \\ = 12^{2} + 8^{2} - 2.12 .8 . c o s 115^{0} \\ \approx 289, 14 \end{array}$

Vậy $AB \approx \sqrt {289,14} \approx 7$ $A B \approx \sqrt{289, 14} \approx 7$

2. Định lí sin trong tam giác

Trong tam giác ABC với BC = a, CA = b, AB = c, ta có:

$\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} = 2R.$ $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2 R .$

(R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC)

Hệ quả

$a = 2R.\sin A;\quad b = 2R\sin B;\quad c = 2R\sin C$ $a = 2 R . \sin A; b = 2 R \sin B; c = 2 R \sin C$

$\sin A = \frac{a}{{2R}};\quad \sin B = \frac{b}{{2R}};\quad \sin C = \frac{c}{{2R}}.$ $\sin A = \frac{a}{2 R}; \sin B = \frac{b}{2 R}; \sin C = \frac{c}{2 R} .$

Ví dụ: Cho tam giác ABC có $\widehat A = {72^0},\widehat B = {83^0},BC = 18$ $\hat{A} = 72^{0}, \hat{B} = 83^{0}, B C = 18$ . Tính độ dài các cạnh AC, AB và bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác đỏ.

Giải

Đặt a= BC, b =AC, c =AB

Ta có: $a = 18,\widehat C = {180^0} - \left( {{{72}^0} + {{83}^0}} \right) = {25^0}$ $a = 18, \hat{C} = 180^{0} - (72^{0} + 83^{0}) = 25^{0}$

Áp dụng định lí sin, ta có: $\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} = 2R$ $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2 R$

Suy ra

$\begin{array}{l} AC = b = \frac{{asinB}}{{\sin A}} = \frac{{18.\sin {{83}^0}}}{{\sin {{72}^0}}} \approx 18,8\\ AB = c = \frac{{a\sin C}}{{\sin A}} = \frac{{18.\sin {{25}^0}}}{{\sin {{72}^0}}} \approx 8\\ R = \frac{a}{{2.\sin A}} = \frac{{18}}{{2.\sin {{72}^0}}} \approx 9,5 \end{array}$ $\begin{array}{l} A C = b = \frac{a s i n B}{\sin A} = \frac{18. \sin 83^{0}}{\sin 72^{0}} \approx 18, 8 \\ A B = c = \frac{a \sin C}{\sin A} = \frac{18. \sin 25^{0}}{\sin 72^{0}} \approx 8 \\ R = \frac{a}{2. \sin A} = \frac{18}{2. \sin 72^{0}} \approx 9, 5 \end{array}$

3. Các công thức tính diện tích tam giác

1) $S = \frac{1}{2}a{h_a} = \frac{1}{2}b{h_b} = \frac{1}{2}c{h_c}$ $S = \frac{1}{2} a h_{a} = \frac{1}{2} b h_{b} = \frac{1}{2} c h_{c}$

2) $S = \frac{1}{2}bc\sin A = \frac{1}{2}ca\sin B = \frac{1}{2}ab\sin C$ $S = \frac{1}{2} b c \sin A = \frac{1}{2} c a \sin B = \frac{1}{2} a b \sin C$

3) $S = \frac{{abc}}{{4R}}$ $S = \frac{a b c}{4 R}$

4) $S = pr = \frac{{(a + b + c).r}}{2}$ $S = p r = \frac{(a + b + c) . r}{2}$

5) $S = \sqrt {p(p - a)(p - b)(p - c)}$ $S = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}$ (Công thức Heron)

Ví dụ: Cho tam giác 48C có các cạnh a = 30, b =26, e =28.

a) Tính diện tích tam giác 48C.

b) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp và bản kinh đường tròn nội tiếp tam giác ⁄48C.

Giải

a) Ta có: $p = \frac{1}{2}.\left( {30 + 26 + 28} \right) = 42$ $p = \frac{1}{2} . (30 + 26 + 28) = 42$

Áp dụng công thức Heron, ta có:

$S = \sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)} = \sqrt {42\left( {42 - 30} \right)\left( {42 - 26} \right)\left( {42 - 28} \right)} = 336$ $S = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)} = \sqrt{42 (42 - 30) (42 - 26) (42 - 28)} = 336$

b) Ta có: $S = \frac{{abc}}{{4R}}, suy ra R = \frac{{abc}}{{4S}} = \frac{{30.26.28}}{{4.336}} = 16,25$ $S = \frac{a b c}{4 R}, s u y r a R = \frac{a b c}{4 S} = \frac{30.26 .28}{4.336} = 16, 25$

Ta lại có S = pr, Suy ra $r = \frac{S}{p} = \frac{{336}}{{42}} = 8$ $r = \frac{S}{p} = \frac{336}{42} = 8$

B. Bài tập minh họa

Câu 1: Tính các cạnh và các góc chưa biết của tam giác ABC trong hình sau.

Hướng dẫn giải

Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC, ta có:

$B{C^2} = A{C^2} + A{B^2} - 2AC.AB\cos A$ $B C^{2} = A C^{2} + A B^{2} - 2 A C . A B \cos A$

Mà $AB = 14,AC = 18,\widehat A = {62^o}$ $A B = 14, A C = 18, \hat{A} = 62^{o}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow B{C^2} = {18^2} + {14^2} - 2.18.14\cos {62^o} \approx 283,3863\\ \Leftrightarrow BC \approx 16,834\end{array}$ $\begin{array}{l} \Rightarrow B C^{2} = 18^{2} + 14^{2} - 2.18 .14 \cos 62^{o} \approx 283, 3863 \\ \Leftrightarrow B C \approx 16, 834 \end{array}$

Lại có: Từ định lí cosin ta suy ra:

$\cos B = \frac{{A{B^2} + B{C^2} - A{C^2}}}{{2.AB.BC}};\cos C = \frac{{A{C^2} + B{C^2} - A{B^2}}}{{2.AC.BC}}$ $\cos B = \frac{A B^{2} + B C^{2} - A C^{2}}{2. A B . B C}; \cos C = \frac{A C^{2} + B C^{2} - A B^{2}}{2. A C . B C}$

$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\cos B = \frac{{{{14}^2} + 16,{{834}^2} - {{18}^2}}}{{2.14.16,834}} \approx 0,3297\\\cos C = \frac{{{{18}^2} + 16,{{834}^2} - {{14}^2}}}{{2.18.16,834}} \approx 0,6788\end{array} \right.$ $\Rightarrow {\begin{cases} \cos B = \frac{14^{2} + 16, 834^{2} - 18^{2}}{2.14 .16, 834} \approx 0, 3297 \\ \cos C = \frac{18^{2} + 16, 834^{2} - 14^{2}}{2.18 .16, 834} \approx 0, 6788 \end{cases}$

$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\widehat B \approx {70^o}45$ $\Rightarrow {\begin{cases} \hat{B} \approx 70^{o} 45^{'} \\ \hat{C} \approx 47^{o} 15^{'} \end{cases}$

Vậy $BC \approx 16,834;\widehat B \approx {70^o}45$ $B C \approx 16, 834; \hat{B} \approx 70^{o} 45^{'}; \hat{C} \approx 47^{o} 15^{'} .$

Câu 2: Tính các cạnh và các góc chưa biết của tam giác MNP trong Hình sau.

Hướng dẫn giải

Ta có: $NP = 22,\;\widehat P = {180^o} - ({112^o} + {34^o}) = {34^o}$ $N P = 22, \hat{P} = 180^{o} - (112^{o} + 34^{o}) = 34^{o}$

Áp dụng định lí sin, ta có:

$\frac{{MN}}{{\sin P}} = \frac{{MP}}{{\sin N}} = \frac{{NP}}{{\sin M}}$ $\frac{M N}{\sin P} = \frac{M P}{\sin N} = \frac{N P}{\sin M}$

Suy ra:

$MP = \frac{{NP.\sin N}}{{\sin M}} = \frac{{22.\sin {{112}^o}}}{{\sin {{34}^o}}} \approx 36,48$ $M P = \frac{N P . \sin N}{\sin M} = \frac{22. \sin 112^{o}}{\sin 34^{o}} \approx 36, 48$

$MN = \frac{{NP.\sin P}}{{\sin M}} = \frac{{22.\sin {{34}^o}}}{{\sin {{34}^o}}} = 22.$ $M N = \frac{N P . \sin P}{\sin M} = \frac{22. \sin 34^{o}}{\sin 34^{o}} = 22.$

Câu 3: Tính diện tích tam giác ABC và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC trong các trường hợp sau:

a) Các cạnh $b = 14,c = 35 và \widehat A = {60^o}$ $b = 14, c = 35 v à \hat{A} = 60^{o}$

b) Các cạnh $a = 4, b = 5, c = 3$

Hướng dẫn giải

a) Áp dụng công thức: $S = \frac{1}{2}bc\sin A$ $S = \frac{1}{2} b c \sin A$ , ta có:

$S = \frac{1}{2}.14.35.\sin {60^o} = \frac{1}{2}.14.35.\frac{{\sqrt 3 }}{2} \approx 212,2$ $S = \frac{1}{2} .14 .35 . \sin 60^{o} = \frac{1}{2} .14 .35 . \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 212, 2$

b) Ta có: $p = \frac{1}{2}.(4 + 5 + 3) = 6$ $p = \frac{1}{2} . (4 + 5 + 3) = 6$

Áp dụng công thức Heron, ta có:

$S = \sqrt {p(p - a)(p - b)(p - c)} = \sqrt {6(6 - 4)(6 - 5)(6 - 3)} = 6.$ $S = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)} = \sqrt{6 (6 - 4) (6 - 5) (6 - 3)} = 6.$

C. Trắc nghiệm Toán 10 bài 2

-----------------------------------------

Như vậy VnDoc đã giới thiệu các bạn tài liệu Lý thuyết Toán lớp 10 bài 2: Định lí cosin và định lí sin. Mời các bạn tham khảo thêm tài liệu: Giải bài tập Toán lớp 10, Chuyên đề Toán 10, Giải Vở BT Toán 10 , Toán 10 Cánh Diều, Toán 10 Kết nối tri thức, Tài liệu học tập lớp 10.

Xem thêm các bài Tìm bài trong mục này khác:

Chia sẻ, đánh giá bài viết

1

144

Bài trước

Bài sau

Chia sẻ bởi:
Tiểu Báo

Đóng Chỉ thành viên VnDoc PRO/PROPLUS tải được nội dung này!

Đóng

79.000 / tháng

Mua ngay

Đặc quyền các gói Thành viên

PRO

Phổ biến nhất

PRO+

Tải tài liệu Cao cấp 1 Lớp

Tải tài liệu Trả phí + Miễn phí

Xem nội dung bài viết

Trải nghiệm Không quảng cáo

Làm bài trắc nghiệm không giới hạn

Tìm hiểu thêm

Mua cả năm Tiết kiệm tới 48%

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!