VnDoc.com

Lý thuyết Toán 10 bài 2: Định lí cosin và định lí sin CTST

Sách Chân trời sáng tạo

Bài trước

Bài sau

Lý thuyết Toán lớp 10 bài 2: Định lí cosin và định lí sin được VnDoc sưu tầm và tổng hợp các câu hỏi lí thuyết và trắc nghiệm có đáp án đi kèm nằm trong chương trình giảng dạy môn Toán lớp 10 sách CTST. Mời quý thầy cô cùng các bạn tham khảo tài liệu dưới đây.

A. Lý thuyết Toán 10 bài 2

1. Định lí cosin trong tam giác

Trong tam giác ABC với BC = a, CA = b, AB = c, ta có:

$\begin{array}{l}{a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos A\\{b^2} = {c^2} + {a^2} - 2ca\cos B\\{c^2} = {a^2} + {b^2} - 2ab\cos C\end{array}$ $\begin{array}{l}{a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos A\\{b^2} = {c^2} + {a^2} - 2ca\cos B\\{c^2} = {a^2} + {b^2} - 2ab\cos C\end{array}$

Hệ quả

$\cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}};\cos B = \frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}};\cos C = \frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2ab}}$ $\cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}};\cos B = \frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}};\cos C = \frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2ab}}$

Ví dụ: Cho tam giác ABC có $\widehat C = {115^0},AC = 8$ $\widehat C = {115^0},AC = 8$và BC = 12. Tính độ dài cạnh AB và các góc A, B của tam giác đó.

Giải

Theo định lí côsin, ta có:

$\begin{array}{l} A{B^2} = B{C^2} + A{C^2} - 2.BC.AC.\cos C\\ = {12^2} + {8^2} - 2.12.8.cos{115^0}\\ \approx 289,14 \end{array}$ $\begin{array}{l} A{B^2} = B{C^2} + A{C^2} - 2.BC.AC.\cos C\\ = {12^2} + {8^2} - 2.12.8.cos{115^0}\\ \approx 289,14 \end{array}$

Vậy $AB \approx \sqrt {289,14} \approx 7$ $AB \approx \sqrt {289,14} \approx 7$

2. Định lí sin trong tam giác

Trong tam giác ABC với BC = a, CA = b, AB = c, ta có:

$\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} = 2R.$ $\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} = 2R.$

(R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC)

Hệ quả

$a = 2R.\sin A;\quad b = 2R\sin B;\quad c = 2R\sin C$ $a = 2R.\sin A;\quad b = 2R\sin B;\quad c = 2R\sin C$

$\sin A = \frac{a}{{2R}};\quad \sin B = \frac{b}{{2R}};\quad \sin C = \frac{c}{{2R}}.$ $\sin A = \frac{a}{{2R}};\quad \sin B = \frac{b}{{2R}};\quad \sin C = \frac{c}{{2R}}.$

Ví dụ: Cho tam giác ABC có $\widehat A = {72^0},\widehat B = {83^0},BC = 18$ $\widehat A = {72^0},\widehat B = {83^0},BC = 18$. Tính độ dài các cạnh AC, AB và bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác đỏ.

Giải

Đặt a= BC, b =AC, c =AB

Ta có: $a = 18,\widehat C = {180^0} - \left( {{{72}^0} + {{83}^0}} \right) = {25^0}$ $a = 18,\widehat C = {180^0} - \left( {{{72}^0} + {{83}^0}} \right) = {25^0}$

Áp dụng định lí sin, ta có: $\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} = 2R$ $\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} = 2R$

Suy ra

$\begin{array}{l} AC = b = \frac{{asinB}}{{\sin A}} = \frac{{18.\sin {{83}^0}}}{{\sin {{72}^0}}} \approx 18,8\\ AB = c = \frac{{a\sin C}}{{\sin A}} = \frac{{18.\sin {{25}^0}}}{{\sin {{72}^0}}} \approx 8\\ R = \frac{a}{{2.\sin A}} = \frac{{18}}{{2.\sin {{72}^0}}} \approx 9,5 \end{array}$ $\begin{array}{l} AC = b = \frac{{asinB}}{{\sin A}} = \frac{{18.\sin {{83}^0}}}{{\sin {{72}^0}}} \approx 18,8\\ AB = c = \frac{{a\sin C}}{{\sin A}} = \frac{{18.\sin {{25}^0}}}{{\sin {{72}^0}}} \approx 8\\ R = \frac{a}{{2.\sin A}} = \frac{{18}}{{2.\sin {{72}^0}}} \approx 9,5 \end{array}$

3. Các công thức tính diện tích tam giác

1) $S = \frac{1}{2}a{h_a} = \frac{1}{2}b{h_b} = \frac{1}{2}c{h_c}$ $S = \frac{1}{2}a{h_a} = \frac{1}{2}b{h_b} = \frac{1}{2}c{h_c}$

2) $S = \frac{1}{2}bc\sin A = \frac{1}{2}ca\sin B = \frac{1}{2}ab\sin C$ $S = \frac{1}{2}bc\sin A = \frac{1}{2}ca\sin B = \frac{1}{2}ab\sin C$

3) $S = \frac{{abc}}{{4R}}$ $S = \frac{{abc}}{{4R}}$

4) $S = pr = \frac{{(a + b + c).r}}{2}$ $S = pr = \frac{{(a + b + c).r}}{2}$

5) $S = \sqrt {p(p - a)(p - b)(p - c)}$ $S = \sqrt {p(p - a)(p - b)(p - c)}$ (Công thức Heron)

Ví dụ: Cho tam giác 48C có các cạnh a = 30, b =26, e =28.

a) Tính diện tích tam giác 48C.

b) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp và bản kinh đường tròn nội tiếp tam giác ⁄48C.

Giải

a) Ta có: $p = \frac{1}{2}.\left( {30 + 26 + 28} \right) = 42$ $p = \frac{1}{2}.\left( {30 + 26 + 28} \right) = 42$

Áp dụng công thức Heron, ta có:

$S = \sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)} = \sqrt {42\left( {42 - 30} \right)\left( {42 - 26} \right)\left( {42 - 28} \right)} = 336$ $S = \sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)} = \sqrt {42\left( {42 - 30} \right)\left( {42 - 26} \right)\left( {42 - 28} \right)} = 336$

b) Ta có: $S = \frac{{abc}}{{4R}}, suy ra R = \frac{{abc}}{{4S}} = \frac{{30.26.28}}{{4.336}} = 16,25$ $S = \frac{{abc}}{{4R}}, suy ra R = \frac{{abc}}{{4S}} = \frac{{30.26.28}}{{4.336}} = 16,25$

Ta lại có S = pr, Suy ra $r = \frac{S}{p} = \frac{{336}}{{42}} = 8$ $r = \frac{S}{p} = \frac{{336}}{{42}} = 8$

B. Bài tập minh họa

Câu 1: Tính các cạnh và các góc chưa biết của tam giác ABC trong hình sau.

Hướng dẫn giải

Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC, ta có:

$B{C^2} = A{C^2} + A{B^2} - 2AC.AB\cos A$ $B{C^2} = A{C^2} + A{B^2} - 2AC.AB\cos A$

Mà $AB = 14,AC = 18,\widehat A = {62^o}$ $AB = 14,AC = 18,\widehat A = {62^o}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow B{C^2} = {18^2} + {14^2} - 2.18.14\cos {62^o} \approx 283,3863\\ \Leftrightarrow BC \approx 16,834\end{array}$ $\begin{array}{l} \Rightarrow B{C^2} = {18^2} + {14^2} - 2.18.14\cos {62^o} \approx 283,3863\\ \Leftrightarrow BC \approx 16,834\end{array}$

Lại có: Từ định lí cosin ta suy ra:

$\cos B = \frac{{A{B^2} + B{C^2} - A{C^2}}}{{2.AB.BC}};\cos C = \frac{{A{C^2} + B{C^2} - A{B^2}}}{{2.AC.BC}}$ $\cos B = \frac{{A{B^2} + B{C^2} - A{C^2}}}{{2.AB.BC}};\cos C = \frac{{A{C^2} + B{C^2} - A{B^2}}}{{2.AC.BC}}$

$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\cos B = \frac{{{{14}^2} + 16,{{834}^2} - {{18}^2}}}{{2.14.16,834}} \approx 0,3297\\\cos C = \frac{{{{18}^2} + 16,{{834}^2} - {{14}^2}}}{{2.18.16,834}} \approx 0,6788\end{array} \right.$ $\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\cos B = \frac{{{{14}^2} + 16,{{834}^2} - {{18}^2}}}{{2.14.16,834}} \approx 0,3297\\\cos C = \frac{{{{18}^2} + 16,{{834}^2} - {{14}^2}}}{{2.18.16,834}} \approx 0,6788\end{array} \right.$

$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\widehat B \approx {70^o}45$ $\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\widehat B \approx {70^o}45'\\\widehat C \approx {47^o}15'\end{array} \right.$

Vậy $BC \approx 16,834;\widehat B \approx {70^o}45$ $BC \approx 16,834;\widehat B \approx {70^o}45';\widehat C \approx {47^o}15'.$

Câu 2: Tính các cạnh và các góc chưa biết của tam giác MNP trong Hình sau.

Hướng dẫn giải

Ta có: $NP = 22,\;\widehat P = {180^o} - ({112^o} + {34^o}) = {34^o}$ $NP = 22,\;\widehat P = {180^o} - ({112^o} + {34^o}) = {34^o}$

Áp dụng định lí sin, ta có:

$\frac{{MN}}{{\sin P}} = \frac{{MP}}{{\sin N}} = \frac{{NP}}{{\sin M}}$ $\frac{{MN}}{{\sin P}} = \frac{{MP}}{{\sin N}} = \frac{{NP}}{{\sin M}}$

Suy ra:

$MP = \frac{{NP.\sin N}}{{\sin M}} = \frac{{22.\sin {{112}^o}}}{{\sin {{34}^o}}} \approx 36,48$ $MP = \frac{{NP.\sin N}}{{\sin M}} = \frac{{22.\sin {{112}^o}}}{{\sin {{34}^o}}} \approx 36,48$

$MN = \frac{{NP.\sin P}}{{\sin M}} = \frac{{22.\sin {{34}^o}}}{{\sin {{34}^o}}} = 22.$ $MN = \frac{{NP.\sin P}}{{\sin M}} = \frac{{22.\sin {{34}^o}}}{{\sin {{34}^o}}} = 22.$

Câu 3: Tính diện tích tam giác ABC và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC trong các trường hợp sau:

a) Các cạnh $b = 14,c = 35 và \widehat A = {60^o}$ $b = 14,c = 35 và \widehat A = {60^o}$

b) Các cạnh $a = 4,b = 5,c = 3$

Hướng dẫn giải

a) Áp dụng công thức: $S = \frac{1}{2}bc\sin A$ $S = \frac{1}{2}bc\sin A$, ta có:

$S = \frac{1}{2}.14.35.\sin {60^o} = \frac{1}{2}.14.35.\frac{{\sqrt 3 }}{2} \approx 212,2$ $S = \frac{1}{2}.14.35.\sin {60^o} = \frac{1}{2}.14.35.\frac{{\sqrt 3 }}{2} \approx 212,2$

b) Ta có: $p = \frac{1}{2}.(4 + 5 + 3) = 6$ $p = \frac{1}{2}.(4 + 5 + 3) = 6$

Áp dụng công thức Heron, ta có:

$S = \sqrt {p(p - a)(p - b)(p - c)} = \sqrt {6(6 - 4)(6 - 5)(6 - 3)} = 6.$ $S = \sqrt {p(p - a)(p - b)(p - c)} = \sqrt {6(6 - 4)(6 - 5)(6 - 3)} = 6.$