Lý thuyết Toán 10 bài 3: Nhị thức Newton CTST

Sách Chân trời sáng tạo

Chúng tôi xin trân trọng giới thiệu bài Lý thuyết Toán lớp 10 bài 3: Nhị thức Newton được VnDoc sưu tầm và tổng hợp các câu hỏi lí thuyết và trắc nghiệm có đáp án đi kèm nằm trong chương trình giảng dạy môn Toán lớp 10 sách CTST. Mời quý thầy cô cùng các bạn tham khảo tài liệu dưới đây.

A. Lý thuyết Toán 10 bài 3

Ta có hai công thức khai triển sau:

$\begin{array}{l} \begin{array}{*{20}{l}} {{{\left( {a + b} \right)}^4} = {C_4}^0{a^4} + {C_4}^1{a^3}b + {C_4}^2{a^2}{b^2} + {C_4}^3a{b^3} + {C_4}^4{b^4}}\\ {\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = {a^4} + 4{a^3}b + 6{a^2}{b^2} + 4a{b^3} + {b^4}.} \end{array}\\ \begin{array}{*{20}{l}} {{{\left( {a + b} \right)}^5} = {C_4}^0{a^5} + {C_5}^1{a^4}b + {C_5}^2{a^3}{b^2} + {C_5}^3{a^2}{b^3} + {C_5}^4a{b^4} + {C_5}^5{b^5}}\\ {\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = {a^5} + 5{a^4}b + 10{a^3}{b^2} + 10{a^2}{b^3} + 5a{b^4} + {b^5}.} \end{array} \end{array}$ $\begin{array}{l} \begin{matrix} {(a + b)}^{4} = {C_{4}}^{0} a^{4} + {C_{4}}^{1} a^{3} b + {C_{4}}^{2} a^{2} b^{2} + {C_{4}}^{3} a b^{3} + {C_{4}}^{4} b^{4} \\ = a^{4} + 4 a^{3} b + 6 a^{2} b^{2} + 4 a b^{3} + b^{4} . \end{matrix} \\ \begin{matrix} {(a + b)}^{5} = {C_{4}}^{0} a^{5} + {C_{5}}^{1} a^{4} b + {C_{5}}^{2} a^{3} b^{2} + {C_{5}}^{3} a^{2} b^{3} + {C_{5}}^{4} a b^{4} + {C_{5}}^{5} b^{5} \\ = a^{5} + 5 a^{4} b + 10 a^{3} b^{2} + 10 a^{2} b^{3} + 5 a b^{4} + b^{5} . \end{matrix} \end{array}$

Hai công thức trên gọi là công thức nhị thức Newton (gọi tắt là nhị thức Newton) ${\left( {a + b} \right)^n}$ ${(a + b)}^{n}$ ứng với n = 4 và n = 5.

Chú ý:

Các hệ số trong khai triển nhị thức Newton ${\left( {a + b} \right)^n}$ ${(a + b)}^{n}$ với n =0; 1; 2; 3;.. được viết thành từng hàng và xếp thành bảng số như bên. Bảng số này có quy luật: số đầu tiên và số cuối cùng của mỗi hàng đều là 1; tổng của hai số liên tiếp cùng hàng bằng số của hàng kế dưới ở vị trí giữa hai số đó (được chỉ bởi mũi tên trên bảng).

Bảng số trên được gọi là tam giác Pasca (đặt theo tên của nhà toán học, vật lí học, triết học người Pháp Blaise Pascal, 1623 — 1662).

Ví dụ

Sử dụng công thức nhị thức Newton, hãy khai

$\begin{array}{l} a){\left( {x + 3} \right)^4}\\ b){\left( {1 - x} \right)^5} \end{array}$ $\begin{array}{l} a) {(x + 3)}^{4} \\ b) {(1 - x)}^{5} \end{array}$

Giải

a) Theo công thức nhị thức Newton, ta có

$\begin{array}{l} {\left( {x + 3} \right)^4} = 1.{x^4} + 4.{x^3}.3 + 6.{x^2}{.3^2} + 4.x{.3^3} + {1.3^4}\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = {x^4} + 4.3.{x^3} + 6.9.{x^2} + 4.27.x + 81\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = {x^4} + 12.{x^3} + 54{x^2} + 108.x + 81 \end{array}$ $\begin{array}{l} {(x + 3)}^{4} = 1. x^{4} + 4. x^{3} .3 + 6. x^{2} {.3}^{2} + 4. x {.3}^{3} + {1.3}^{4} \\ = x^{4} + 4.3 . x^{3} + 6.9 . x^{2} + 4.27 . x + 81 \\ = x^{4} + 12. x^{3} + 54 x^{2} + 108. x + 81 \end{array}$

b) Theo công thức nhị thức Newton, ta có:

$\begin{array}{l} {\left( {1 - x} \right)^5} = 1 + 5.\left( { - x} \right) + 10.{\left( { - x} \right)^2} + 10.{\left( { - x} \right)^3} + 5.{\left( { - x} \right)^4} + 1{\left( { - x} \right)^5}\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = 1 - 5x + 10{x^2} - 10{x^3} + 5{x^4} - {x^5} \end{array}$ $\begin{array}{l} {(1 - x)}^{5} = 1 + 5. (- x) + 10. {(- x)}^{2} + 10. {(- x)}^{3} + 5. {(- x)}^{4} + 1 {(- x)}^{5} \\ = 1 - 5 x + 10 x^{2} - 10 x^{3} + 5 x^{4} - x^{5} \end{array}$

B. Bài tập minh họa

Câu 1: Khai triển các biểu thức sau

a) ${\left( {x - 2} \right)^4}$ ${(x - 2)}^{4}$

b) ${\left( {x + 2y} \right)^5}$ ${(x + 2 y)}^{5}$

Hướng dẫn giải

a) ${\left( {x -2} \right)^4}$ ${(x - 2)}^{4}$

$\begin{array}{l} = {x^4} + 4{x^3}.\left( { - 2} \right) + 6{x^2}.{\left( { - 2} \right)^2} + 4x{\left( { - 2} \right)^3} + {\left( { - 2} \right)^4}\\ = {x^4} - 8{x^3} + 24{x^2} - 32x + 16\end{array}$ $\begin{array}{l} = x^{4} + 4 x^{3} . (- 2) + 6 x^{2} . {(- 2)}^{2} + 4 x {(- 2)}^{3} + {(- 2)}^{4} \\ = x^{4} - 8 x^{3} + 24 x^{2} - 32 x + 16 \end{array}$

b) ${\left( {x + 2y} \right)^5}$ ${(x + 2 y)}^{5}$

$\begin{array}{l} = {x^5} + 5.{x^4}.\left( {2y} \right) + 10.{x^3}.{\left( {2y} \right)^2} + 10.{x^2}.{\left( {2y} \right)^3} + 5.x.{\left( {2y} \right)^4} + 1.{\left( {2y} \right)^5}\\ = {x^5} + 10{x^4}y + 40{x^3}{y^3} + 80{x^2}{y^3} + 80x{y^4} + 32{y^5}\end{array}$ $\begin{array}{l} = x^{5} + 5. x^{4} . (2 y) + 10. x^{3} . {(2 y)}^{2} + 10. x^{2} . {(2 y)}^{3} + 5. x . {(2 y)}^{4} + 1. {(2 y)}^{5} \\ = x^{5} + 10 x^{4} y + 40 x^{3} y^{3} + 80 x^{2} y^{3} + 80 x y^{4} + 32 y^{5} \end{array}$

Câu 2: Sử dụng công thức nhị thức Newton, chứng tỏ rằng

a) $C_4^0 + 2C_4^1 + {2^2}C_4^2 + {2^3}C_4^3 + {2^4}C_4^4 = 81$ $C_{4}^{0} + 2 C_{4}^{1} + 2^{2} C_{4}^{2} + 2^{3} C_{4}^{3} + 2^{4} C_{4}^{4} = 81$

b) $C_4^0 - 2C_4^1 + {2^2}C_4^2 - {2^3}C_4^3 + {2^4}C_4^4 = 1$ $C_{4}^{0} - 2 C_{4}^{1} + 2^{2} C_{4}^{2} - 2^{3} C_{4}^{3} + 2^{4} C_{4}^{4} = 1$

Hướng dẫn giải

a)

$\begin{array}{l}C_4^0 + 2C_4^1 + {2^2}C_4^2 + {2^3}C_4^3 + {2^4}C_4^4\\ = {1^4}.C_4^0 + {1^3}.2C_4^1 + {1^2}{.2^2}C_4^2 + {1.2^3}C_4^3 + {2^4}C_4^4\\ = {\left( {1 + 2} \right)^4} = {3^4}\end{array}$ $\begin{array}{l} C_{4}^{0} + 2 C_{4}^{1} + 2^{2} C_{4}^{2} + 2^{3} C_{4}^{3} + 2^{4} C_{4}^{4} \\ = 1^{4} . C_{4}^{0} + 1^{3} .2 C_{4}^{1} + 1^{2} {.2}^{2} C_{4}^{2} + {1.2}^{3} C_{4}^{3} + 2^{4} C_{4}^{4} \\ = {(1 + 2)}^{4} = 3^{4} \end{array}$

= 81 (đpcm)

b)

$\begin{array}{l}C_4^0 - 2C_4^1 + {2^2}C_4^2 - {2^3}C_4^3 + {2^4}C_4^4\\ = {1^4}.C_4^0 - {1^3}.2C_4^1 + {1^2}{.2^2}C_4^2 - {1.2^3}C_4^3 + {2^4}C_4^4\\ = {\left( {1 - 2} \right)^4} = {\left( { - 1} \right)^4}\end{array}$ $\begin{array}{l} C_{4}^{0} - 2 C_{4}^{1} + 2^{2} C_{4}^{2} - 2^{3} C_{4}^{3} + 2^{4} C_{4}^{4} \\ = 1^{4} . C_{4}^{0} - 1^{3} .2 C_{4}^{1} + 1^{2} {.2}^{2} C_{4}^{2} - {1.2}^{3} C_{4}^{3} + 2^{4} C_{4}^{4} \\ = {(1 - 2)}^{4} = {(- 1)}^{4} \end{array}$

= 1 (đpcm)

C. Trắc nghiệm Toán 10 bài 3

-----------------------------------------

Như vậy VnDoc đã giới thiệu các bạn tài liệu Lý thuyết Toán lớp 10 bài 3: Nhị thức Newton CTST. Mời các bạn tham khảo thêm tài liệu: Giải bài tập Toán lớp 10, Chuyên đề Toán 10, Giải Vở BT Toán 10 , Toán 10 Cánh Diều, Toán 10 Kết nối tri thức, Tài liệu học tập lớp 10.

Chia sẻ, đánh giá bài viết

1

93

Bài trước

Bài sau

Chia sẻ bởi:
Heo Ú

Đóng Chỉ thành viên VnDoc PRO/PROPLUS tải được nội dung này!

Đóng

79.000 / tháng

Mua ngay

Đặc quyền các gói Thành viên

PRO

Phổ biến nhất

PRO+

Tải tài liệu Cao cấp 1 Lớp

Tải tài liệu Trả phí + Miễn phí

Xem nội dung bài viết

Trải nghiệm Không quảng cáo

Làm bài trắc nghiệm không giới hạn

Tìm hiểu thêm

Mua cả năm Tiết kiệm tới 48%

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!