Giải Toán 10 Bài 3: Nhị thức Newton CTST

Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2

Giải Toán 10 Bài 3 CTST

Bài 1 trang 35 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2
Bài 2 trang 35 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2
Bài 3 trang 35 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2
Bài 4 trang 35 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2
Bài 5 trang 35 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2

Giải Toán 10 Bài 3: Nhị thức Newton CTST được VnDoc.com tổng hợp và xin gửi tới bạn đọc. Mời các bạn cùng theo dõi chi tiết bài viết dưới đây nhé.

Bài 1 trang 35 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2

Sử dụng công thức nhị thức Newton, khai triển các biểu thức sau:

$a. {{(3x+y)}^{4}}$ $a. {{(3x+y)}^{4}}$

$b. {{(x-\sqrt{2})}^{5}}$ $b. {{(x-\sqrt{2})}^{5}}$

Gợi ý đáp án

$a. {{(3x+y)}^{4}} =C_{4}^{0}{{(3x)}^{4}}+C_{4}^{1}.{{(3x)}^{3}}.y+C_{4}^{2}.{{(3x)}^{2}}.{{y}^{2}}+C_{4}^{3}.3x.{{y}^{3}}+C_{4}^{4}.{{y}^{4}}$ $a. {{(3x+y)}^{4}} =C_{4}^{0}{{(3x)}^{4}}+C_{4}^{1}.{{(3x)}^{3}}.y+C_{4}^{2}.{{(3x)}^{2}}.{{y}^{2}}+C_{4}^{3}.3x.{{y}^{3}}+C_{4}^{4}.{{y}^{4}}$

$=81{{x}^{4}}+108{{x}^{3}}y+54{{x}^{2}}{{y}^{2}}+12x{{y}^{3}}+{{y}^{4}}$ $=81{{x}^{4}}+108{{x}^{3}}y+54{{x}^{2}}{{y}^{2}}+12x{{y}^{3}}+{{y}^{4}}$

$b. {{(x-\sqrt{2})}^{5}}$ $b. {{(x-\sqrt{2})}^{5}}$

$= C_{5}^{0}{{x}^{5}}+C_{5}^{1}.{{x}^{4}}.{{(-\sqrt{2})}^{5}}+C_{5}^{2}.{{x}^{3}}.{{(-\sqrt{2})}^{4}}+C_{5}^{3}.{{x}^{2}}.{{(-\sqrt{2})}^{5}}+C_{5}^{4}.x.{{(-\sqrt{2})}^{4}}$ $= C_{5}^{0}{{x}^{5}}+C_{5}^{1}.{{x}^{4}}.{{(-\sqrt{2})}^{5}}+C_{5}^{2}.{{x}^{3}}.{{(-\sqrt{2})}^{4}}+C_{5}^{3}.{{x}^{2}}.{{(-\sqrt{2})}^{5}}+C_{5}^{4}.x.{{(-\sqrt{2})}^{4}}$

$+C_{5}^{5}.x.{{(-\sqrt{2})}^{5}} ={{x}^{5}}+{{x}^{4}}-20\sqrt{2}{{x}^{4}}+40{{x}^{3}}-40\sqrt{2}+20x-4\sqrt{2}$ $+C_{5}^{5}.x.{{(-\sqrt{2})}^{5}} ={{x}^{5}}+{{x}^{4}}-20\sqrt{2}{{x}^{4}}+40{{x}^{3}}-40\sqrt{2}+20x-4\sqrt{2}$

Bài 2 trang 35 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2

Khai triển và rút gọn các biểu thức sau:

$a. {{(2+\sqrt{2})}^{4}}$ $a. {{(2+\sqrt{2})}^{4}}$

$b. {{(2+\sqrt{2})}^{4}} + {{(2-\sqrt{2})}^{4}}$ $b. {{(2+\sqrt{2})}^{4}} + {{(2-\sqrt{2})}^{4}}$

$c. {{(1-\sqrt{3})}^{5}}$ $c. {{(1-\sqrt{3})}^{5}}$

Gợi ý đáp án

a. ${{(2+\sqrt{2})}^{4}}=C_{4}^{0}{{2}^{4}}+C_{4}^{1}{{2}^{3}}.(\sqrt{2})+C_{4}^{2}{{2}^{2}}.{{(\sqrt{2})}^{2}}+C_{4}^{3}2.{{(\sqrt{2})}^{3}}+C_{4}^{4}{{(\sqrt{2})}^{4}}$ ${{(2+\sqrt{2})}^{4}}=C_{4}^{0}{{2}^{4}}+C_{4}^{1}{{2}^{3}}.(\sqrt{2})+C_{4}^{2}{{2}^{2}}.{{(\sqrt{2})}^{2}}+C_{4}^{3}2.{{(\sqrt{2})}^{3}}+C_{4}^{4}{{(\sqrt{2})}^{4}}$

$=16+32\sqrt{2}+48+16\sqrt{2}+4 =68+48\sqrt{2}.$ $=16+32\sqrt{2}+48+16\sqrt{2}+4 =68+48\sqrt{2}.$

$=C_{4}^{0}{{2}^{4}}+C_{4}^{1}{{2}^{3}}.(\sqrt{2})+C_{4}^{2}{{2}^{2}}.{{(\sqrt{2})}^{2}}+C_{4}^{3}2.{{(\sqrt{2})}^{3}}+C_{4}^{4}{{(\sqrt{2})}^{4}}$ $=C_{4}^{0}{{2}^{4}}+C_{4}^{1}{{2}^{3}}.(\sqrt{2})+C_{4}^{2}{{2}^{2}}.{{(\sqrt{2})}^{2}}+C_{4}^{3}2.{{(\sqrt{2})}^{3}}+C_{4}^{4}{{(\sqrt{2})}^{4}}$

$+C_{4}^{0}{{2}^{4}}+C_{4}^{1}{{2}^{3}}.(-\sqrt{2})+C_{4}^{2}{{2}^{2}}.{{(\sqrt{2})}^{2}}+C_{4}^{3}2.{{(-\sqrt{2})}^{3}}+C_{4}^{4}{{(\sqrt{2})}^{4}}$ $+C_{4}^{0}{{2}^{4}}+C_{4}^{1}{{2}^{3}}.(-\sqrt{2})+C_{4}^{2}{{2}^{2}}.{{(\sqrt{2})}^{2}}+C_{4}^{3}2.{{(-\sqrt{2})}^{3}}+C_{4}^{4}{{(\sqrt{2})}^{4}}$

$=68+48\sqrt{2} + 0$ $=68+48\sqrt{2} + 0$

$=16+32\sqrt{2}+48+16\sqrt{2}+4+16-32\sqrt{2}+48-16\sqrt{2}+4 =32+96+8$ $=16+32\sqrt{2}+48+16\sqrt{2}+4+16-32\sqrt{2}+48-16\sqrt{2}+4 =32+96+8$

=136

$c. {{(1-\sqrt{3})}^{5}}=C_{5}^{0}{{1}^{5}}+C_{5}^{1}{{1}^{4}}.(-\sqrt{3})+C_{5}^{2}{{1}^{3}}.{{(-\sqrt{3})}^{2}}$ $c. {{(1-\sqrt{3})}^{5}}=C_{5}^{0}{{1}^{5}}+C_{5}^{1}{{1}^{4}}.(-\sqrt{3})+C_{5}^{2}{{1}^{3}}.{{(-\sqrt{3})}^{2}}$

$+C_{5}^{3}{{1}^{2}}.{{(-\sqrt{3})}^{3}}+C_{5}^{4}1.{{(-\sqrt{3})}^{4}}+C_{5}^{5}{{(-\sqrt{3})}^{5}}$ $+C_{5}^{3}{{1}^{2}}.{{(-\sqrt{3})}^{3}}+C_{5}^{4}1.{{(-\sqrt{3})}^{4}}+C_{5}^{5}{{(-\sqrt{3})}^{5}}$

$=1-5\sqrt{3}+30-30\sqrt{3}+45-9\sqrt{3}$ $=1-5\sqrt{3}+30-30\sqrt{3}+45-9\sqrt{3}$

$=76-44\sqrt{3}$ $=76-44\sqrt{3}$

Bài 3 trang 35 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2

Tìm hệ số của $x^3$ trong khai triển $(3x-2)^{5}$ $(3x-2)^{5}$

Gợi ý đáp án

${{(3x-2)}^{5}}=C_{5}^{0}{{(3x)}^{5}}+C_{5}^{1}{{(3x)}^{4}}.(-2)+C_{5}^{2}{{(3x)}^{3}}.{{(-2)}^{2}}+C_{5}^{3}{{(3x)}^{2}}.{{(-2)}^{3}}$ ${{(3x-2)}^{5}}=C_{5}^{0}{{(3x)}^{5}}+C_{5}^{1}{{(3x)}^{4}}.(-2)+C_{5}^{2}{{(3x)}^{3}}.{{(-2)}^{2}}+C_{5}^{3}{{(3x)}^{2}}.{{(-2)}^{3}}$

$+C_{5}^{4}(3x).{{(-2)}^{4}}+C_{5}^{5}{{(-2)}^{5}}$ $+C_{5}^{4}(3x).{{(-2)}^{4}}+C_{5}^{5}{{(-2)}^{5}}$

$=243{{x}^{5}}-810{{x}^{4}}+1080{{x}^{3}}-720{{x}^{2}}+240x-32$ $=243{{x}^{5}}-810{{x}^{4}}+1080{{x}^{3}}-720{{x}^{2}}+240x-32$

Hệ số $x^{3}$ $x^{3}$ trong khai triển $(3x-2)^{5}$ $(3x-2)^{5}$ là 1080

Bài 4 trang 35 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2

Chứng minh rằng: $C_{5}^{0}-C_{5}^{1}+C_{5}^{2}-C_{5}^{3}+C_{5}^{4}-C_{5}^{5}=0$ $C_{5}^{0}-C_{5}^{1}+C_{5}^{2}-C_{5}^{3}+C_{5}^{4}-C_{5}^{5}=0$

Gợi ý đáp án

$C_{5}^{0}-C_{5}^{1}+C_{5}^{2}-C_{5}^{3}+C_{5}^{4}-C_{5}^{5}=0(*)$ $C_{5}^{0}-C_{5}^{1}+C_{5}^{2}-C_{5}^{3}+C_{5}^{4}-C_{5}^{5}=0(*)$

$VT(*)=\left( C_{5}^{0}-C_{5}^{5} \right)+\left( C_{5}^{4}-C_{5}^{1} \right)+\left( C_{5}^{2}-C_{5}^{3} \right)$ $VT(*)=\left( C_{5}^{0}-C_{5}^{5} \right)+\left( C_{5}^{4}-C_{5}^{1} \right)+\left( C_{5}^{2}-C_{5}^{3} \right)$

$=\left( C_{5}^{0}-C_{5}^{0} \right)+\left( C_{5}^{1}-C_{5}^{1} \right)+\left( C_{5}^{2}-C_{5}^{2} \right)$ $=\left( C_{5}^{0}-C_{5}^{0} \right)+\left( C_{5}^{1}-C_{5}^{1} \right)+\left( C_{5}^{2}-C_{5}^{2} \right)$

= 0 + 0 + 0

= 0 = VP(*)

$\Rightarrow$ $\Rightarrow$ đpcm

Bài 5 trang 35 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2

Cho $A=\{{{a}_{1}};{{a}_{2}};{{a}_{3}};{{a}_{4}};{{a}_{5}}\text{ }\!\!\}\!\!\text{ }$ $A=\{{{a}_{1}};{{a}_{2}};{{a}_{3}};{{a}_{4}};{{a}_{5}}\text{ }\!\!\}\!\!\text{ }$ là một tập hợp có 5 phần tử. Chứng minh rằng số tập hợp con có số lẻ (1;3;5) phần tử của A bằng số tập hợp con có số chẵn (0;2;4) phần tử của A.

Gợi ý đáp án

Tập hợp A có 5 phần tử. Mỗi tập con của A có k phần tử ( $1\le k\le 5$ $1\le k\le 5$) là một tổ hợp chập k của A.

Tập con số lẻ 1 phần tử của A là một tổ hợp chập 1 của 5

$\Rightarrow$ $\Rightarrow$Có: $C_{5}^{1}$ $C_{5}^{1}$

Tập con số lẻ 3 phần tử của A là một tổ hợp chập 3 của 5

$\Rightarrow$ $\Rightarrow$ Có: $C_{5}^{3}$ $C_{5}^{3}$

Tập con số lẻ 5 phần tử của A là một tổ hợp chập 5 của 5

$\Rightarrow$ $\Rightarrow$ Có: $C_{5}^{5}$ $C_{5}^{5}$

$\Rightarrow$ $\Rightarrow$ Số tập con có số lẻ (1;3;5) phần tử của A bằng: $C_{5}^{1} + C_{5}^{3} + C_{5}^{5} (1)$ $C_{5}^{1} + C_{5}^{3} + C_{5}^{5} (1)$

Tập con số chẵn 0 phần tử của A là một tổ hợp chập 1 của 5

$\Rightarrow$ $\Rightarrow$ Có: $C_{5}^{0}$ $C_{5}^{0}$

Tập con số chẵn 2 phần tử của A là một tổ hợp chập 3 của 5

' $\Rightarrow$ $\Rightarrow$ Có: $C_{5}^{2}$ $C_{5}^{2}$

Tập con số chẵn 4 phần tử của A là một tổ hợp chập 5 của 5

' $\Rightarrow$ $\Rightarrow$ Có: $C_{5}^{4}$ $C_{5}^{4}$

$\Rightarrow$ $\Rightarrow$Số tập con có số chẵn (0;2;4) phần tử của A bằng: $C_{5}^{0} + C_{5}^{2} + C_{5}^{4} (2)$ $C_{5}^{0} + C_{5}^{2} + C_{5}^{4} (2)$

Có: $C_{5}^{1} = C_{5}^{4} ; C_{5}^{3} = C_{5}^{2} ; C_{5}^{5} = C_{5}^{0} (3)$ $C_{5}^{1} = C_{5}^{4} ; C_{5}^{3} = C_{5}^{2} ; C_{5}^{5} = C_{5}^{0} (3)$

Từ (1); (2) và (3) $\Rightarrow$ $\Rightarrow$ số tập hợp con có số lẻ (1;3;5) phần tử của A bằng số tập hợp con có số chẵn (0;2;4) phần tử của A (đpcm)

Trên đây VnDoc.com vừa gửi tới bạn đọc bài viết Giải Toán 10 Bài 3: Nhị thức Newton CTST. Bài viết đã hướng dẫn bạn đọc trả lời các câu hỏi trong SGK Toán 10 CTST. Mời các bạn cùng tham khảo thêm tài liệu học tập môn Ngữ văn 10 CTST...