Giải Toán 10 Bài 1: Tọa độ của vecto CTST

Giải Toán 10 Tập 2 sách CTST

1 201

Toán 10 Chân trời sáng tạo bài Tọa độ của vecto

Bài 1 trang 44 SGK Toán 10 Tập 2 CTST
Bài 2 trang 45 SGK Toán 10 Tập 2 CTST
Bài 3 trang 45 SGK Toán 10 Tập 2 CTST
Bài 4 trang 45 SGK Toán 10 Tập 2 CTST
Bài 5 trang 45 SGK Toán 10 Tập 2 CTST
Bài 6 trang 45 SGK Toán 10 Tập 2 CTST
Bài 7 trang 45 SGK Toán 10 Tập 2 CTST
Bài 8 trang 45 SGK Toán 10 Tập 2 CTST
Bài 9 trang 45 SGK Toán 10 Tập 2 CTST
Bài 10 trang 45 SGK Toán 10 Tập 2 CTST
Bài 11 trang 45 SGK Toán 10 Tập 2 CTST

Giải Toán 10 Bài 1: Tọa độ của vecto CTST được VnDoc.com tổng hợp và xin gửi tới bạn đọc. Bài viết sẽ hướng dẫn bạn đọc trả lời các câu hỏi trong SGK Toán 10 CTST. Mời các bạn cùng theo dõi bài viết dưới đây nhé.

Bài 1 trang 44 SGK Toán 10 Tập 2 CTST

Bài tập 1. Trên trục (O; $\vec{e})$ cho các điểm A, B, C, D có tọa độ lần lượt là 4; -1; -5; 0.

a. Vẽ trục và biểu diễn các điểm đã cho lên trên trục đó.

b. Hai vectơ $\vec{AB}$ và $\vec{CD}$ cùng hướng hay ngược hướng.

Gợi ý đáp án

a.

b. Hai vectơ $\vec{AB}$ và $\vec{CD}$ ngược hướng nhau.

Bài 2 trang 45 SGK Toán 10 Tập 2 CTST

Chứng minh rằng:

a. $\vec{a}$ = (4; -6) và $\vec{b}$ = (-2; 3) là hai vectơ ngược hướng.

b. $\vec{a}$ = (-2; 3) và $\vec{b}$ = (-8; 12) là hai vectơ cùng hướng.

c. $\vec{a}$ = (0; 4) và $\vec{b}$ = (0; -4) là hai vectơ đối nhau.

Gợi ý đáp án

a. Nhận thấy: $\vec{a} = -2\vec{b} \Rightarrow \vec{a} và \vec{b}$ ngược hướng.

b. Nhận thấy: $\vec{a} = 4\vec{b} \Rightarrow \vec{a} và \vec{b}$ cùng hướng.

c. Ta có: $|\vec{a}| = \sqrt{0^{2} + 4^{2}} = 4; |\vec{b}| = \sqrt{0^{2} + (-4)^{2}} = 4$

Nhận thấy: $\vec{a} = -\vec{b} mà |\vec{a}| = |\vec{b}| = 4$

$\Rightarrow \vec{a}$ và $\vec{b}$ là hai vectơ đối nhau.

Bài 3 trang 45 SGK Toán 10 Tập 2 CTST

Tìm tọa độ các vectơ sau:

$a. \vec{a} = 2\vec{i} + 7\vec{j};$

$b.\vec{b}=-\vec{i}+3\vec{j};$

$c. \vec{c} = 4\vec{i};$

$d. \vec{d} = -9\vec{j}.$

Gợi ý đáp án

$a. \vec{a} = (2; 7);$

$b. \vec{b} = (-1; 3);$

$c. \vec{c} = (4; 0);$

$d. \vec{d} = (0; -9)$

Bài 4 trang 45 SGK Toán 10 Tập 2 CTST

Cho bốn điểm A(3; 5), B(4; 0), C(0; -3), D(2; 2). Trong các điểm đã cho, hãy tìm điểm:

a. Thuộc trục hoành;

b. Thuộc trục tung;

c. Thuộc đường phân giác của góc phần tư thứ nhất

Gợi ý đáp án

a. Điểm B(4; 0) thuộc trục hoành.

b. Điểm C(0; -3) thuộc trục tung.

c. Điểm D(2; 2) thuộc đường phân giác của góc phần tư thứ nhất.

Bài 5 trang 45 SGK Toán 10 Tập 2 CTST

Cho điểm $M(x_{0}; y_{0})$ . Tìm tọa độ:

a. Điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm M trên trục Ox;

b. Điểm M' đối xứng với M qua trục Ox;

c. Điểm K là hình chiếu vuông góc của điểm M trên trục Oy;

d. Điểm M'' đối xứng với M qua trục Oy.

e. Điểm C đối xứng với điểm M qua gốc tọa độ.

Gợi ý đáp án

a. $H(x_{0}; 0)$

b. M' đối xứng với M qua trục $Ox \Rightarrow H$ là trung điểm của MM'

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix}x_{M'} = 2x_{H} - x_{M}\\ y_{M'} = 2y_{H} - y_{M}\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x_{M'} = 2x_{0} - x_{0}\\ y_{M'} = 2.0 - y_{0}\end{matrix}\right. \left\{\begin{matrix}x_{M'} = x_{0}\\ y_{M'} = - y_{0}\end{matrix}\right.$

Vậy $M'(x_{0}; -y_{0}).$

c. $K(0; y_{0})$

d. M'' đối xứng với M qua trục Oy $\Rightarrow K$ là trung điểm của MM''

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix}x_{M''} = 2x_{K} - x_{M}\\ y_{M''} = 2y_{K} - y_{M}\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x_{M''} = 2.0 - x_{0}\\ y_{M''} = 2.y_{0} - y_{0}\end{matrix}\right. \left\{\begin{matrix}x_{M''} = -x_{0}\\ y_{M'} = y_{0}\end{matrix}\right.$

Vậy $M''(-x_{0}; y_{0})$ .

e. C đối xứng với M qua gốc tọa độ O nên O là trung điểm của CM.

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix}x_{C} = 2x_{O} - x_{M}\\ y_{C} = 2y_{O} - y_{M}\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x_{C} = 2.0 - x_{0}\\ y_{C} = 2.0 - y_{0}\end{matrix}\right. \left\{\begin{matrix}x_{C} = -x_{0}\\ y_{M'} = -y_{0}\end{matrix}\right.$

Vậy $C(-x_{0}; -y_{0}).$

Bài 6 trang 45 SGK Toán 10 Tập 2 CTST

Cho ba điểm A(2; 2); B(3; 5), C(5; 5).

a. Tìm tọa độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành.

b. Tìm tọa độ giao điểm hai đường chéo của hình bình hành.

c. Giải tam giác ABC.

Gợi ý đáp án

a. Xét D(x; y). Ta có: $\vec{AB} = (1; 3); \vec{DC} = (5 - x; 5 - y)$

Để ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi $\vec{AB} = \vec{DC}$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}5 - x = 1\\ 5 - y = 3\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x = 4\\ y = 2\end{matrix}\right.$

Vậy D(4; 2)

b. Gọi M là giao điểm hai đường chéo của hình bình hành ABCD.

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix}x_{M}= \frac{x_{A} + x_{C}}{2}\\ y_{M} = \frac{y_{A}+y_{C}}{2}\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x_{M}= \frac{2 + 5}{2}\\ y_{M} = \frac{2+5}{2}\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x_{M}= \frac{7}{2}\\ y_{M} = \frac{7}{2}\end{matrix}\right.$

Vậy $M(\frac{7}{2}; \frac{7}{2})$

c. Ta có: $\vec{AC} = (3; 3), \vec{BC} = (2; 0)$

Suy ra: $AB = |\vec{AB}| = \sqrt{1^{2} + 3^{2}} = \sqrt{10}$

$AC = |\vec{AC}| = \sqrt{3^{2} + 3^{2}} = 3\sqrt{2}$

$BC = |\vec{BC}| = \sqrt{2^{2} + 0^{2}} = 2$

$cosA = cos(\vec{AB},\vec{AC}) = \frac{\vec{AB}.\vec{AC}}{AB.AC} = \frac{1.3+3.3}{\sqrt{10}.3\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{5}}{5} \Rightarrow \widehat{A} \approx 26^{\circ}34'$

$cosB = cos(\vec{BA},\vec{BC}) = \frac{\vec{BA}.\vec{BC}}{BA.BC} = \frac{(-1).2+(-3).0}{\sqrt{10}.2} = \frac{-\sqrt{10}}{10} \Rightarrow \widehat{B} \approx 108^{\circ}26'$

$cosC = cos(\vec{CA},\vec{CB}) = \frac{\vec{CA}.\vec{CB}}{CA.CB} = \frac{(-3).(-2)+(-3).0}{3\sqrt{2}.2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Bài 7 trang 45 SGK Toán 10 Tập 2 CTST

Cho tam giác ABC có các điểm M(2; 2), N(3; 4), P(5; 3) lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC và CA.

a. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC.

b. Chứng minh rằng trọng tâm của tam giác ABC và MNP trùng nhau.

c. Giải tam giác ABC

Gợi ý đáp án

$a. \vec{MP} = (3; 1) \vec{BN} = (3 - x_{B}; 4 - y_{B})$

Có M là trung điểm cạnh AB, P là trung điểm cạnh AC nên MP là đường trung bình của tam giác ABC

$\Rightarrow MP // BC và MP = \frac{1}{2}BC = BN \Rightarrow MPNB$ là hình bình hành

$\Rightarrow \vec{MP} = \vec{BN}$

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix}3 = 3 - x_{B}\\ 1 = 4 - y_{B}\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x_{B}= 0\\ y_{B} = 3\end{matrix}\right. \Rightarrow B(0; 3)$

Ta có: N là trung điểm của BC nên $\left\{\begin{matrix}x_{C}= 2x_{N} - x_{B}\\ y_{C} = 2y_{N} - y_{B}\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x_{C} = 2.3 - 0\\ y_{C} = 2.4-3 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x_{C}= 6\\ y_{C} = 5 \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow C(6; 5)$

Ta có: M là trung điểm của AB nên $\left\{\begin{matrix}x_{A}= 2x_{M} - x_{B}\\ y_{A} = 2y_{M} - y_{B}\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x_{A} = 2.2 - 0\\ y_{A} = 2.2-3 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x_{A}= 4\\ y_{A} = 1 \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow A(4; 1)$

Vậy A(4;1), B(0; 3), C(6; 5)

b. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, ta có:

$\left\{\begin{matrix}x_{G}= \frac{x_{A} + x_{B} + x_{C}}{3}\\ y_{G} = \frac{y_{A} + y_{B} + y_{C}}{3}\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x_{G}= \frac{4+0+6}{3}\\ y_{G} = \frac{1+3+5}{3}\end{matrix}\right. \left\{\begin{matrix}x_{G}= \frac{10}{3}\\ y_{G} =3\end{matrix}\right. \Rightarrow G(\frac{10}{3}; 3) (1)$

Gọi G' là trọng tâm tam giác MNP, ta có:

$\left\{\begin{matrix}x_{G'}= \frac{x_{M} + x_{N} + x_{P}}{3}\\ y_{G'} = \frac{y_{M} + y_{N} + y_{P}}{3}\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x_{G'}= \frac{2+3+5}{3}\\ y_{G'} = \frac{2+4+3}{3}\end{matrix}\right. \left\{\begin{matrix}x_{G'}= \frac{10}{3}\\ y_{G'} =3\end{matrix}\right. \Rightarrow G'(\frac{10}{3}; 3) (2)$

Từ (1) và (2) $\Rightarrow G \equiv G'$

Vậy trọng tâm tam giác ABC trùng với trọng tâm tam giác MNP.

c. Ta có $: \vec{AB} = (-4; 2); \vec{AC} = (2; 4); \vec{BC} = (6; 2)$

Suy ra: $AB = |\vec{AB}| = \sqrt{(-4)^{2} + 2^{2}} = 2\sqrt{5}$

$AC = |\vec{AC}| = \sqrt{2^{2} + 4^{2}} = 2\sqrt{5}$

$BC = |\vec{BC}| = \sqrt{6^{2} + 2^{2}} = 2\sqrt{10}$

$cosA = cos(\vec{AB}, \vec{AC}) = \frac{\vec{AB}. \vec{AC}}{AB.AC} = \frac{(-4). 2 + 2.4}{2\sqrt{5}. 2\sqrt{5}} = 0 \Rightarrow \widehat{A} = 90^{\circ}$

Xét tam giác ABC có $AB = AC (= 2\sqrt{5}) và \widehat{A} = 90^{\circ}$

$\Rightarrow$ Tam giác ABC vuông cân tại A $\Rightarrow \widehat{B} = \widehat{C} = 45^{\circ}$

Bài 8 trang 45 SGK Toán 10 Tập 2 CTST

Cho hai điểm A(1; 3), B(4; 2).

a. Tìm tọa độ điểm D nằm trên trục Ox sao cho DA = DB

b. Tính chu vi tam giác OAB.

c. Chứng minh rằng OA vuông góc với AB và từ đó tính diện tích tam giác OAB.

Gợi ý đáp án

a. D nằm trên trục Ox nên D(x; 0) $\Rightarrow \vec{AD} = (x - 1; -3); \vec{BD} = (x - 4; -2)$

Ta có: $DA = DB \Rightarrow (x - 1)^{2} + (-3)^{2} = (x - 4)^{2} + (-2)^{2}$

$\Leftrightarrow x^{2} - 2x + 1 + 9 = x^{2} - 8x + 16 + 4 \Leftrightarrow 6x = 10 \Leftrightarrow x = \frac{5}{3}$

Vậy $D(\frac{5}{3};0)$

b. Ta có: $\vec{OA} = (1; 3); \vec{OB} = (4; 2); \vec{AB} = (3; -1)$

Suy ra: $OA = |\vec{OA}| = \sqrt{1^{2} + 3^{2}} = \sqrt{10}$

$OB = |\vec{OB}| = \sqrt{4^{2} + 2^{2}} = 2\sqrt{5}$

$AB = |\vec{AB}| = \sqrt{3^{2} + (-1)^{2}} = \sqrt{10}$

$\Rightarrow$ Chu vi tam giác OAB là: $OA + OB + AB = \sqrt{10} + 2\sqrt{5} + \sqrt{10} = 2\sqrt{10} + 2\sqrt{5}$

c. Ta có: $\vec{OA}.\vec{AB} = 1. 3 + 3. (-1) = 0$

$\Rightarrow \vec{OA} \perp \vec{AB}$

$\Rightarrow S_{OAB} = \frac{1}{2}OA. AB = \frac{1}{2}. \sqrt{10}. \sqrt{10} = 5$

Bài 9 trang 45 SGK Toán 10 Tập 2 CTST

Tính góc xen giữa hai vectơ $\vec{a} và \vec{b}$ trong các trường hợp sau:

$a. \vec{a} = (2; -3), \vec{b} = (6; 4)$

$b. \vec{a} = (3; 2); \vec{b} = (5; -1)$

$c. \vec{a} = (-2; -2\sqrt{3}), \vec{b} = (3; \sqrt{3})$

Gợi ý đáp án

$a. cos(\vec{a}, \vec{b}) = \frac{\vec{a}.\vec{b}}{|\vec{a}|. |\vec{b}|} = \frac{2. 6 + (-3). 4}{\sqrt{2^{2} + (-3)^{2}}. \sqrt{6^{2} + 4^{2}}} = 0 \Rightarrow (\vec{a}, \vec{b}) = 90^{\circ}$

$b. cos(\vec{a}, \vec{b}) = \frac{\vec{a}.\vec{b}}{|\vec{a}|. |\vec{b}|} = \frac{3. 5 + (2. (-1)}{\sqrt{3^{2} + 2^{2}}. \sqrt{5^{2} + (-1)^{2}}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow (\vec{a}, \vec{b}) = 45^{\circ}$

$c. cos(\vec{a}, \vec{b}) = \frac{\vec{a}.\vec{b}}{|\vec{a}|. |\vec{b}|} = \frac{(-2).3 + (-2\sqrt{3}).\sqrt{3}}{\sqrt{(-2)^{2} + (-2\sqrt{3})^{2}}. \sqrt{3^{2} + (\sqrt{3})^{2}}} = \frac{-\sqrt{3}}{2} \Rightarrow (\vec{a}, \vec{b}) = 150^{\circ}$

Bài 10 trang 45 SGK Toán 10 Tập 2 CTST

Cho bốn điểm A(7; -3), B(8; 4), C(1; 5), D(0; -2). Chứng minh rằng tứ giác ABCD là hình vuông.

Gợi ý đáp án

Ta có: $\vec{AB} = (1; 7), \vec{DC} = (1; 7); \vec{AD} = (-7; 1)$

Nhận thấy: $\vec{AB} = \vec{DC} \Rightarrow$ ABCD là hình bình hành

mà $|\vec{AB}| = |\vec{AD}|$ (vì cùng = $5\sqrt{2}$ ) hay AB = AD $\Rightarrow$ ABCD là hình thoi (1)

Ta có: $\vec{AB}. \vec{AD} = 1. (-7) + 7. 1 = 0 \Rightarrow \vec{AB} \perp \vec{AD} \Rightarrow AB \perp AD (2)$

Từ (1) và (2) $\Rightarrow$ ABCD là hình vuông (đpcm)

Bài 11 trang 45 SGK Toán 10 Tập 2 CTST

Một máy bay đang hạ cánh với vận tốc $\vec{v} = (-210; -42).$ Cho biết vận tốc của gió là $\vec{w} = (-12; -4)$ và một đơn vị trên hệ trục tọa độ tương ứng với 1 km. Tìm độ dài vectơ tổng hai vận tốc $\vec{v} và \vec{w}$

Gợi ý đáp án

Ta có: $\vec{v} + \vec{w} = (-210 + (-12); -42 + (-4))= (-222; -46)$

Độ dài của vectơ tổng hai vận tốc $\vec{v} và \vec{w}$ là:

$|\vec{v} + \vec{w}| = \sqrt{(-222)^{2} + (-46)^{2}} = 10\sqrt{514} (km)$

Trên đây VnDoc.com vừa gửi tới bạn đọc bài viết Giải Toán 10 Bài 1: Tọa độ của vecto CTST. Hi vọng qua bài viết này bạn đọc có thêm tài liệu để học tập tốt hơn nhé. Mời các bạn cùng tham khảo thêm tài liệu học tập môn Ngữ văn 10 CTST...