Giải Toán 10 Bài 3: Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ CTST

Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2

Giải Toán 10 Bài 3 CTST

Bài 1 trang 62 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2
Bài 2 trang 62 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2
Bài 3 trang 62 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2
Bài 4 trang 62 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2
Bài 5 trang 62 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2
Bài 6 trang 62 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2

Giải Toán 10 Bài 3: Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ CTST được VnDoc.com sưu tầm và xin gửi tới bạn đọc cùng tham khảo.

Bài 1 trang 62 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2

Phương trình nào trong các phương trình sau đây là phương trình đường tròn? Tìm tọa độ tâm và bán kính của đường tròn đó.

$a.x^2+y^2-6x-8y+21=0;$

$b. x^{2} + y^{2} - 2x + 4y + 2 = 0;$ $b. x^{2} + y^{2} - 2x + 4y + 2 = 0;$

$c. x^{2} + y^{2} - 3x + 2y + 7 = 0;$ $c. x^{2} + y^{2} - 3x + 2y + 7 = 0;$

$d. 2x^{2} + 2y^{2} + x + y - 1 = 0$ $d. 2x^{2} + 2y^{2} + x + y - 1 = 0$

Gợi ý đáp án

a. Phương trình có dạng $x^{2} + y^{2} - 2ax - 2by + c = 0$ $x^{2} + y^{2} - 2ax - 2by + c = 0$ với a = 3, b = 4, c = 21

Ta có: $a^{2} + b^{2} - c = 3^{2} + 4^{2} - 21 = 4 > 0$ $a^{2} + b^{2} - c = 3^{2} + 4^{2} - 21 = 4 > 0$. Vậy đây là phương trình đường tròn có tâm I(3; 4) và có bán kính $R = \sqrt{4} = 2.$ $R = \sqrt{4} = 2.$

b. Phương trình có dạng $x^{2} + y^{2} - 2ax - 2by + c = 0$ $x^{2} + y^{2} - 2ax - 2by + c = 0$ với a = 1, b = -2, c = 2

Ta có: $a^{2} + b^{2} - c = 1^{2} + (-2)^{2} - 2 = 3 > 0$ $a^{2} + b^{2} - c = 1^{2} + (-2)^{2} - 2 = 3 > 0$. Vậy đây là phương trình đường tròn có tâm I(1; -2) và có bán kính $R = \sqrt{3}.$ $R = \sqrt{3}.$

c. Phương trình có dạng $x^{2} + y^{2} - 2ax - 2by + c = 0$ $x^{2} + y^{2} - 2ax - 2by + c = 0$ với $a = \frac{3}{2}, b = -1, c = 7$ $a = \frac{3}{2}, b = -1, c = 7$

Ta có: $a^{2} + b^{2} - c = (\frac{3}{2})^{2} + (-1)^{2} - 74 = -\frac{15}{4} < 0$ $a^{2} + b^{2} - c = (\frac{3}{2})^{2} + (-1)^{2} - 74 = -\frac{15}{4} < 0$. Vậy đây không phải là phương trình đường tròn.

d. Ta có: $2x^{2} + 2y^{2} + x + y - 1 = 0 \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} + \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}y - \frac{1}{2} = 0.$ $2x^{2} + 2y^{2} + x + y - 1 = 0 \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} + \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}y - \frac{1}{2} = 0.$

Phương trình có dạng $x^{2} + y^{2} - 2ax - 2by + c = 0$ $x^{2} + y^{2} - 2ax - 2by + c = 0$ với $a = -\frac{1}{4}, b = -\frac{1}{4} , c = -\frac{1}{2}$ $a = -\frac{1}{4}, b = -\frac{1}{4} , c = -\frac{1}{2}$

Ta có: $a^{2} + b^{2} - c = (-\frac{1}{4})^{2} + (-\frac{1}{4})^{2} + \frac{1}{2} = \frac{5}{8} > 0.$ $a^{2} + b^{2} - c = (-\frac{1}{4})^{2} + (-\frac{1}{4})^{2} + \frac{1}{2} = \frac{5}{8} > 0.$

Vậy đây là phương trình đường tròn có tâm $I(-\frac{1}{4}; -\frac{1}{4})$ $I(-\frac{1}{4}; -\frac{1}{4})$ và bán kính $R = \frac{\sqrt{10}}{4}$ $R = \frac{\sqrt{10}}{4}$

Bài 2 trang 62 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2

Lập phương trình đường tròn (C) trong các trường hợp sau:

a. (C) có tâm I(1; 5) và có bán kính r = 4;

b. (C) có đường kính MN với M(3; -1) và N(9; 3);

c. (C) có tâm I(2; 1) và tiếp xúc với đường thẳng 5x - 12y + 11 = 0;

d. (C) có tâm A(1; -2) và đi qua điểm B(4; -5).

Gợi ý đáp án

a. Phương trình đường tròn (C) tâm I(1; 5) và bán kính r = 4 là:

$(x - 1)^{2} + (y - 5)^{2} = 16$ $(x - 1)^{2} + (y - 5)^{2} = 16$

b. Tâm I của đường tròn (C) là trung điểm của $MN \Rightarrow I = (\frac{3+9}{2}; \frac{-1+3}{2}) \Rightarrow I = (6; 1)$ $MN \Rightarrow I = (\frac{3+9}{2}; \frac{-1+3}{2}) \Rightarrow I = (6; 1)$

Ta có: $R = MI = \sqrt{(6 - 3)^{2} + (1 + 1)^{2}} = \sqrt{13}$ $R = MI = \sqrt{(6 - 3)^{2} + (1 + 1)^{2}} = \sqrt{13}$

Phương trình đường tròn (C) tâm I(6; 1) và bán kính $R = \sqrt{13}$ $R = \sqrt{13}$ là:

$(x - 6)^{2} + (y - 1)^{2} = 13$ $(x - 6)^{2} + (y - 1)^{2} = 13$

c. Ta có: $R = d(I, d) = \frac{|5. 2 - 12. 1 + 11|}{\sqrt{5^{2} + (-12)^{2}}} = \frac{9}{13}$ $R = d(I, d) = \frac{|5. 2 - 12. 1 + 11|}{\sqrt{5^{2} + (-12)^{2}}} = \frac{9}{13}$

Phương tròn đường tròn (C) tâm I(2; 1) và bán kính $R = \frac{9}{13}$ $R = \frac{9}{13}$ là:

$(x - 2)^{2} + (y - 1)^{2} = \frac{81}{169}$ $(x - 2)^{2} + (y - 1)^{2} = \frac{81}{169}$

d. Ta có $R = AB = \sqrt{(4 - 1)^{2} + (-5 + 2)^{2}} = 3\sqrt{2}$ $R = AB = \sqrt{(4 - 1)^{2} + (-5 + 2)^{2}} = 3\sqrt{2}$

Phương trình đường tròn (C) tâm A(1; -2) và bán kính $R = 3\sqrt{2}$ $R = 3\sqrt{2}$ là:

$(x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} = 18$ $(x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} = 18$

Bài 3 trang 62 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2

Lập phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác có tọa độ các đỉnh là:

a. M(2; 5), N(1; 2), P(5; 4);

b. A(0; 6), B(7; 7), C(8; 0)

Gợi ý đáp án

a. Phương trình đường tròn có dạng $x^{2} + y^{2} - 2ax - 2by + c = 0.$ $x^{2} + y^{2} - 2ax - 2by + c = 0.$

Thay tọa độ các đỉnh M(2; 5), N(1; 2), P(5, 4) vào phương trình đường tròn, ta được hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix}2^{2} + 5^{2} - 4a - 10b + c = 0\\ 1^{2} + 2^{2} - 2a - 4b + c = 0\\ 5^{2} + 4^{2} - 10a - 8b + c = 0\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}4a + 10b - c = 29\\ 2a + 4b - c = 5\\ 10a + 8b - c = 41\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}a = 3\\ b = 3\\ c = 13 \end{matrix}\right.$ $\left\{\begin{matrix}2^{2} + 5^{2} - 4a - 10b + c = 0\\ 1^{2} + 2^{2} - 2a - 4b + c = 0\\ 5^{2} + 4^{2} - 10a - 8b + c = 0\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}4a + 10b - c = 29\\ 2a + 4b - c = 5\\ 10a + 8b - c = 41\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}a = 3\\ b = 3\\ c = 13 \end{matrix}\right.$

Vậy phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP là:

$x^{2} + y^{2} - 6x - 6y + 13 = 0$ $x^{2} + y^{2} - 6x - 6y + 13 = 0$

b. Phương trình đường tròn có dạng $x^{2} + y^{2} - 2ax - 2by + c = 0.$ $x^{2} + y^{2} - 2ax - 2by + c = 0.$

Thay tọa độ các đỉnh A(0; 6), B(7; 7), C(8; 0) vào phương trình đường tròn, ta được hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix} 6^{2} - 12b + c = 0\\ 7^{2} + 7^{2} - 14a - 14b + c = 0\\ 8^{2} - 16a + c = 0\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}12b - c = 36\\ 14a + 14b - c = 98\\ 16a - c = 64\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}a = 4\\ b = 3\\ c = 0\end{matrix}\right.$ $\left\{\begin{matrix} 6^{2} - 12b + c = 0\\ 7^{2} + 7^{2} - 14a - 14b + c = 0\\ 8^{2} - 16a + c = 0\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}12b - c = 36\\ 14a + 14b - c = 98\\ 16a - c = 64\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}a = 4\\ b = 3\\ c = 0\end{matrix}\right.$

Vậy phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là:

$x^{2} + y^{2} - 8x - 6y = 0$ $x^{2} + y^{2} - 8x - 6y = 0$

Bài 4 trang 62 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2

Lập phương trình đường tròn tiếp xúc với hai trục Ox, Oy và đi qua điểm A(4; 2).

Gợi ý đáp án

Gọi I(a; b) là tâm đường tròn (C).

Ta có: $R = d(I; Ox) = d(I; Oy) \Rightarrow R = a = b \Rightarrow (C)$ $R = d(I; Ox) = d(I; Oy) \Rightarrow R = a = b \Rightarrow (C)$ có tâm I(a; a) và bán kính R = a.

$\Rightarrow$ $\Rightarrow$Phương trình đường tròn (C) là: $(x - a)^{2} + (y - a)^{2} = a^{2}$ $(x - a)^{2} + (y - a)^{2} = a^{2}$

Ta có $A(4; 2) \in (C)$ $A(4; 2) \in (C)$nên $(4 - a)^{2} + (2 - a)^{2} = a^{2}$ $(4 - a)^{2} + (2 - a)^{2} = a^{2}$

$\Leftrightarrow 16 - 8a + a^{2} + 4 - 4a + a^{2} = a^{2}$ $\Leftrightarrow 16 - 8a + a^{2} + 4 - 4a + a^{2} = a^{2}$

$\Leftrightarrow a^{2} - 12a + 20 = 0 \Leftrightarrow a = 10$ $\Leftrightarrow a^{2} - 12a + 20 = 0 \Leftrightarrow a = 10$ hoặc a = 2

Vậy $(C): (x - 10)^{2} + (y - 10)^{2} = 100 hoặc (x - 2)^{2} + (y - 2)^{2} = 4$ $(C): (x - 10)^{2} + (y - 10)^{2} = 100 hoặc (x - 2)^{2} + (y - 2)^{2} = 4$

Bài 5 trang 62 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2

Cho đường tròn (C) có phương trình $x^{2} + y^{2} - 2x - 4y - 20 = 0.$ $x^{2} + y^{2} - 2x - 4y - 20 = 0.$

a. Chứng tỏ rằng điểm M(4; 6) thuộc đường tròn (C).

b. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M(4; 6).

c. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) song song với đường thẳng 4x + 3y + 2022 = 0

Gợi ý đáp án

a. Ta có: $4^{2} + 6^{2} - 2. 4 - 4. 6 - 20 = 0$ $4^{2} + 6^{2} - 2. 4 - 4. 6 - 20 = 0$

Vậy điểm M(4; 6) thuộc đường tròn (C).

b. Đường tròn (C) có tâm I(1; 2) và bán kính $R = \sqrt{1^{2} + 2^{2} + 20} = 5$ $R = \sqrt{1^{2} + 2^{2} + 20} = 5$

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M(4; 6) là:

$(1 - 4)(x - 4) + (2 - 6)(y - 6) = 0 \Leftrightarrow -3x - 4y + 36 = 0 \Leftrightarrow 3x + 4y - 36 = 0$ $(1 - 4)(x - 4) + (2 - 6)(y - 6) = 0 \Leftrightarrow -3x - 4y + 36 = 0 \Leftrightarrow 3x + 4y - 36 = 0$

c. Tiếp tuyến $\Delta$ $\Delta$ của (C) song song với đường thẳng 4x + 3y + 2022 = 0 có dạng

$\Delta: 4x + 3y + c = 0 (c \neq 2022)$ $\Delta: 4x + 3y + c = 0 (c \neq 2022)$

Ta có: $R = d(I; \Delta) \Leftrightarrow \frac{|4.1 + 3. 2 + c|}{\sqrt{4^{2} + 3^{2}}} = 5 \Leftrightarrow \frac{|10 + c|}{5}$ $R = d(I; \Delta) \Leftrightarrow \frac{|4.1 + 3. 2 + c|}{\sqrt{4^{2} + 3^{2}}} = 5 \Leftrightarrow \frac{|10 + c|}{5}$

$= 5 \Leftrightarrow |10 + c| = 25 \Leftrightarrow c = 15 hoặc c = -35$ $= 5 \Leftrightarrow |10 + c| = 25 \Leftrightarrow c = 15 hoặc c = -35$

Vậy $\Delta: 4x + 3y + 15 = 0$ $\Delta: 4x + 3y + 15 = 0$ hoặc $\Delta: 4x + 3y - 35 = 0$ $\Delta: 4x + 3y - 35 = 0$

Bài 6 trang 62 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo tập 2

Một cái cổng hình bán nguyệt rộng 8,4m, cao 4,2m như Hình 5. Mặt đường dưới cổng được chia thành hai làn xe ra vào.

a. Viết phương trình mô phỏng cái cổng.

b. Một chiếc xe tải rộng 2,2 m và cao 2,6m đi đúng làn đường quy định có thể đi qua cổng mà không làm hư hỏng cổng hay không?

Giải Toán 10 Bài 3 Chương 9

Gợi ý đáp án

a. Chọn hệ tọa độ Oxy như hình vẽ.

Giải Toán 10 Bài 3 Chương 9

Ta có phương trình đường tròn tâm O(0; 0) bán kính $R = 4,2 là: x^{2} + y^{2} = 17,64$ $R = 4,2 là: x^{2} + y^{2} = 17,64$

$\Rightarrow$ $\Rightarrow$ Phương trình mô phỏng cái cổng là: $x^{2} + y^{2} = 17,64 (y \geq 0)$ $x^{2} + y^{2} = 17,64 (y \geq 0)$

b. Thay x = 2,2 vào phương trình đường tròn, ta được $y = \sqrt{17, 64 - 2,2^{2}} \approx 3,58 > 2,6$ $y = \sqrt{17, 64 - 2,2^{2}} \approx 3,58 > 2,6$

Vậy xe tải rộng 2,2m và cao 2,6m đi đúng làn đường quy định có thể đi qua cổng mà không làm hư hỏng cổng.

Trên đây VnDoc.com vừa gửi tới bạn đọc bài viết Giải Toán 10 Bài 3: Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ CTST. Hi vọng qua bài viết này bạn đọc có thêm tài liệu để học tập tốt hơn môn Toán 10 CTST. Mời các bạn cùng tham khảo thêm tài liệu học tập môn Ngữ văn 10 CTST...