Giải Toán 10 Bài 3: Giải tam giác và ứng dụng thực tế CTST
Giải Toán 10 Bài 3 CTST
Giải Toán 10 Bài 3: Giải tam giác và ứng dụng thực tế CTST được VnDoc.com sưu tầm và xin gửi tới bạn đọc cùng tham khảo.
Bài 1 trang 77 SGK Toán 10 CTST
Giải tam giác ABC trong các trường hợp sau:
a) AB = 14, AC = 23, 
\(\widehat A\) = 125o;
b) BC = 22, \(\widehat B\) = 64o, \(\widehat C\) = 38o;
c) AC = 22, \(\widehat B\) = 120o, \(\widehat C\) = 28o;
d) AB = 23, AC = 32, BC = 44.
Lời giải
a) Áp dụng định lí côsin cho tam giác ABC ta có:
BC2 = AB2 + AC2 – 2.AB.AC.cosA = 142 + 232 – 2.14.23.cos125° ≈ 1 094,4.
\(\Rightarrow\;BC\;\approx\;\sqrt{1094,4}\;\approx33,1\)
Áp dụng hệ quả của định lí côsin cho tam giác ABC ta có:
\(\cos B\;=\;\frac{AB^2\;+\;BC^2\;-\;AC^2}{2\;.\;AB\;.\;BC}\;=\;\frac{14^2\;+\;33,1^2\;-\;23^2}{2\;.\;14\;.\;33,1}\;\approx\;0\;,\;823\)
\(\Rightarrow\;B\;\approx\;34^o37\;'\)
Mặt khác tam giác ABC có:
\(\widehat A\) + \(\widehat B\) + \(\widehat C\) = 180o ⇒ \(\widehat C\) = 180o − (\(\widehat A\) + \(\widehat B\)) = 180o − (125o + 34o37') = 20o23'
Vậy tam giác ABC có:
AB = 14, AC = 23, BC ≈ 33,1; \(\widehat A\) = 125o; \(\widehat B\) ≈ 34o37'; \(\widehat C\) ≈ 20o23'
Bài 2 trang 77 SGK Toán 10 CTST
Để lắp đường dây điện cao thế từ vị trí A đến vị trí B, do phải tránh một ngọn núi nên người ta phải nối đường dây từ vị trí A đến vị trí C dài 10 km, sau đó nối đường dây từ vị trí C đến vị trí B dài 8 km. Góc tạo bởi hai đoạn dây AC và CB là 70°. Tính chiều dài tăng thêm vì không thể nối trực tiếp từ A đến B.
Lời giải
Áp dụng định lí côsin cho tam giác ABC ta có:
AB2 = AC2 + BC2 – 2 . AC . BC . cosC = 102 + 82 – 2 . 10 . 8 . cos70° ≈ 109,3
⇒ AB ≈ \(\sqrt{109,3}\) ≈ 10,5
Ta có: (AC + CB) – AB = (10 + 8) – 10,5 = 7,5.
Vậy vì không thể nối trực tiếp từ A đến B nên chiều dài dây tăng thêm 7,5 km.
Bài 3 trang 77 SGK Toán 10 CTST
Một người đứng cách thân một cái quạt gió 16 m và nhìn thấy tâm của cánh quạt với góc nâng 56,5° (Hình 8). Tính khoảng cách từ tâm của cánh quạt đến mặt đất. Cho biết khoảng cách từ mắt của người đó đến mặt đất là 1,5 m.
Lời giải
Gọi A, B, C, D lần lượt là điểm biểu diễn vị trí mắt của người quan sát, tâm cánh quạt, giao của hướng mắt nằm ngang và thân của quạt gió, vị trí chân cây quạt.
Vì tam giác ABC vuông tại C nên ta có: tanA = \(\frac{BC}{AC}\;=\;\frac{BC}{16}\)
⇒ BC = 16 . tan A = 16 . tan56,5° ≈ 24,2 m
Do đó: BD = BC + CD = 24,2 + 1,5 = 25,7 m.
Vậy khoảng cách từ tâm của cánh quạt đến mặt đất khoảng 25,7 m.
Bài 4 trang 78 SGK Toán 10 CTST
Tính chiều cao AB của một ngọn núi. Biết tại hai điểm C, D cách nhau 1 km trên mặt đất (B, C, D thẳng hàng), người ta nhìn thấy đỉnh A của núi với góc nâng lần lượt là 32° và 40° (Hình 9).
Lời giải
Đặt BD = x km, khi đó ta có CB = BD + CD = x + 1.
Trong tam giác ABC vuông tại B ta có:
\(\tan\;\widehat{ACB}\;=\;\tan32^o\;=\;\frac{AB}{CB}\;=\;\frac{AB}{x\;+\;1}\;\Rightarrow\;AB\;=\;(x\;+\;1)\;\tan32^o\;=\;x\;\tan32^o\;+\;\tan32^o\;\;\;\;\;\;(1)\)
Trong tam giác ABD vuông tại B ta có:
\(\tan\;\widehat{ADB}\;=\;\tan40^o\;=\;\frac{AB}{BD}\;=\;\frac{AB}x\;\Rightarrow\;AB\;=\;x\;\tan40^o\;\;\;\;\;(2)\)
Từ (1) và (2) suy ra:
\(x\;\tan32^o\;+\;\tan32^o\;=\;x\;\tan40^o\;\Rightarrow\;x\;=\;\frac{\tan32^o}{\tan40^o\;-\;\tan32^o}\;\approx\;2\;,\;92\;\;\)
Suy ra AB = x.tan40° ≈ 2,92 . tan40° ≈ 2,45 km.
Vậy chiều cao AB của một ngọn núi khoảng 2,45 km.
Bài 5 trang 78 SGK Toán 10 CTST
Hai người quan sát khinh khí cầu tại hai địa điểm P và Q nằm ở sườn đồi nghiêng 32° so với phương ngang, cách nhau 60 m (Hình 10). Người quan sát tại P xác định góc nâng của khinh khí cầu là 62°. Cùng lúc đó, người quan sát tại Q xác định góc nâng của khinh khí cầu đó là 70°. Tính khoảng cách từ Q đến khinh khí cầu.
Lời giải
Gọi R là vị trí của khinh khí cầu.
Do quan sát tại P xác định góc nâng của khinh khí cầu là 62° nên \(\widehat{RPQ}\) = 62o − 32o = 30o
Do quan sát tại Q xác định góc nâng của khinh khí cầu là 70° nên
\(\widehat{RPQ}\) = 180o − (70o − 32o) = 142o
Tam giác RPQ có:
\(\widehat R\) + \(\widehat{RPQ}\) + \(\widehat{RQP}\) = 180o ⇒ \(\widehat R\) = 180o−(\(\widehat{RPQ}\) + \(\widehat{RQP}\)) = 180o − (30o + 142o) = 8o
Áp dụng định lí sin cho tam giác RPQ ta có:
\(\frac{RQ}{\sin\widehat{RPQ}}\;\;=\;\frac{PQ}{\sin R}\;\Rightarrow\frac{RQ}{\sin30^o}\;=\;\frac{60}{\sin8^o}\;\Rightarrow\;RQ\;=\;\frac{60\;\sin30^o}{\sin8^o}\;\approx\;215,6\)
Vậy khoảng cách từ Q đến khinh khí cầu khoảng 215,6 m.
Bài 6 trang 78 SGK Toán 10 CTST
Một người đứng ở trên một tháp truyền hình cao 352 m so với mặt đất, muốn xác định khoảng cách giữa hai cột mốc trên mặt đất bên dưới. Người đó quan sát thấy góc được tạo bởi hai đường ngắm tới hai mốc này là 43°, góc giữa phương thẳng đứng và đường ngắm tới một điểm mốc trên mặt đất là 62° và điểm mốc khác là 54° (Hình 11). Tính khoảng cách giữa hai cột mốc này.
Lời giải
Khi đó ta có các tam giác ABD và ACD vuông tại D.
\(\widehat{BAD}\;=\;62^o;\;\;\widehat{CAD}\;=\;54^o;\;\;\widehat{BAC}\;=\;43^o;\;AD\;=\;352\;m.\)
Trong tam giác ABD vuông tại D ta có:
\(\cos\;\widehat{BAD}\;=\;\cos62^o\;=\;\frac{AD}{AB}\;=\;\frac{352}{AB}\;\Rightarrow\;AB\;=\;\frac{352}{\cos62^o}\;\approx\;749,8\)
Trong tam giác ACD vuông tại D ta có:
\({\cos\hspace{0.278em}}\widehat{CAD}\hspace{0.278em}=\hspace{0.278em}\cos54^o\hspace{0.278em}=\hspace{0.278em}\frac{AD}{AC}\hspace{0.278em}=\hspace{0.278em}\frac{352}{AC}\hspace{0.278em}\Rightarrow\hspace{0.278em}AC\hspace{0.278em}=\hspace{0.278em}\frac{352}{\cos54^o}\hspace{0.278em}\approx\hspace{0.278em}598,9\)
Áp dụng định lí côsin cho tam giác ABC ta có:
BC2 = AB2 + AC2 – 2 . AB . AC . cos\(\widehat{BAC}\)
= 749,82 + 598,92 – 2.749,8.598,9. cos43° ≈ 264 044,9
⇒ BC = \(\sqrt{264044\;,\;9}\;\approx\;513,9\;\;m\)
Vậy khoảng cách giữa hai cột mốc khoảng 513,9 m.
Trên đây VnDoc.com vừa gửi tới bạn đọc bài viết Giải Toán 10 Bài 3: Giải tam giác và ứng dụng thực tế CTST. Hi vọng qua bài viết này bạn đọc có thêm nhiều tài liệu để học tập tốt hơn môn Toán 10 CTST. Mời các bạn cùng tham khảo thêm tài liệu học tập các môn Ngữ văn 10 CTST, Tiếng Anh lớp 10...
