Lý thuyết Toán 10 bài 3: Tích của một số với một vectơ CTST

+) Quy ước: \(0\;\overrightarrow a  = \overrightarrow 0  và k\;\overrightarrow 0  = \overrightarrow 0\)

+) Tính chất: Với hai vecto \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b\) và hai số thực k, t ta luôn có:

\(\begin{array}{l}k(t\overrightarrow a ) = (kt)\;\overrightarrow a \\(k + t)\,\overrightarrow a  = k\overrightarrow a  + t\overrightarrow a \\k(\overrightarrow a  + \overrightarrow b ) = k\overrightarrow a  + k\overrightarrow b ;\quad k(\overrightarrow a  - \overrightarrow b ) = k\overrightarrow a  - k\overrightarrow b \\1\;\overrightarrow a  = \overrightarrow a ;\;\;( - 1)\;\overrightarrow a  =  - \,\overrightarrow a \end{array}\)

Ví dụ: Thực hiện các phép toán vecto sau:

\(\begin{array}{l} a)5\left( {\overrightarrow u + \overrightarrow v } \right)\\ b)\left( {x + 2} \right)\overrightarrow a \\ c) - 3\left( {4\overrightarrow e } \right)\\ d)\overrightarrow c - 2\overrightarrow c \end{array}\)

Giải

\(\begin{array}{l} a)5\left( {\overrightarrow u + \overrightarrow v } \right) = 5\overrightarrow u + 5\overrightarrow v \\ b)\left( {x + 2} \right)\overrightarrow a = x\overrightarrow a + 2\overrightarrow a \\ c) - 3\left( {4\overrightarrow e } \right) = \left( { - 3.4} \right)\overrightarrow e = - 12\overrightarrow e \\ d)\overrightarrow c - 2\overrightarrow c = \left( {1 - 2} \right)\overrightarrow c = \left( { - 1} \right)\overrightarrow c = - \overrightarrow c \end{array}\)

Hai vecto \(\overrightarrow a\) và \(\overrightarrow b (\overrightarrow b)\) khác \(\overrightarrow 0\)cùng phương khi và chỉ khi tồn tại k sao cho \(\overrightarrow a  = k\overrightarrow b .\)

Nhận xét: Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng \(\Leftrightarrow \overrightarrow {AB}  = k\overrightarrow {AC} .\)

Chú ý: Cho hai vecto \(\overrightarrow a\) và \(\overrightarrow b\) không cùng phương. Với mỗi vecto \(\overrightarrow c\) luôn tồn tại duy nhất cặp số thực (m; n) sao cho \(\overrightarrow c  = m\,\overrightarrow a  + n\,\overrightarrow b\)

Ví dụ: Cho tam giác ABC có trung tuyến AM. Gọi I là trung điểm của AM và K là điểm trên cạnh AC sao cho \(AK = \frac{1}{3}AC\).

a) Tính \(\overrightarrow {BI}\) theo \(\overrightarrow {BA} , \overrightarrow {BC}\).

b)Tính \(\overrightarrow {BK}\) theo \(\overrightarrow {BA} , \overrightarrow {BC}\).

c) Chứng minh ba điểm B, I, K thẳng hàng.

Giải

a) \(\overrightarrow {BI}  = \overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {AI}  = \overrightarrow {BA}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {AM}  = \overrightarrow {BA}  + \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {BM}  - \overrightarrow {BA} } \right) = \frac{1}{2}\overrightarrow {BA}  + \frac{1}{4}\overrightarrow {BC}\) (1)

b) \(\overrightarrow {BK}  = \overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {AK}  = \overrightarrow {BA}  + \frac{1}{3}\overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {BA}  + \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {BC}  - \overrightarrow {BA} } \right) = \frac{2}{3}\overrightarrow {BA}  + \frac{1}{3}\overrightarrow {BC}\)(2)

c) Ta có:

\(\begin{array}{l} \left( 1 \right) \Rightarrow 4\overrightarrow {BI} = 2\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} \\ \left( 2 \right) \Rightarrow 3\overrightarrow {BK} = 2\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} \end{array}\)

Nên \(\overrightarrow {BI}  = \frac{3}{4}\overrightarrow {BK}\) (3)

Từ (3) suy ra ba điểm B, I, K thẳng hàng

Câu 1: Cho tam giác ABC. Chứng minh G là trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi \(\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC}  = 3\overrightarrow {MG}\)

Hướng dẫn giải

\(\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC}  = 3\overrightarrow {MG}  \Leftrightarrow \overrightarrow {MG}  + \overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {MG}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {MG}  + \overrightarrow {GC}  = 3\overrightarrow {MG}\)

\(\Leftrightarrow \left( {\overrightarrow {MG}  + \overrightarrow {MG}  + \overrightarrow {MG} } \right) + \left( {\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC} } \right) = 3\overrightarrow {MG}\)

\(\Leftrightarrow 3\overrightarrow {MG} = 3\overrightarrow {MG} (đpcm)\) (Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0)\)

Câu 2: Cho tứ giác ABCD có I và J lần lượt là trung điểm của AB và CD. Cho điểm G thỏa mãn \(\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  + \overrightarrow {GD}  = \overrightarrow 0\). Chứng minh ba điểm I, G, J  thẳng hàng

Hướng dẫn giải

Ta có:

\(\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  + \overrightarrow {GD}  = \overrightarrow 0  \Leftrightarrow \left( {\overrightarrow {GI}  + \overrightarrow {IA} } \right) + \left( {\overrightarrow {GI}  + \overrightarrow {IB} } \right) + \left( {\overrightarrow {GJ}  + \overrightarrow {JC} } \right) + \left( {\overrightarrow {GJ}  + \overrightarrow {JD} } \right) = \overrightarrow 0\)

\(\\Leftrightarrow 2\overrightarrow {GI}  + \left( {\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB} } \right) + 2\overrightarrow {GJ}  + \left( {\overrightarrow {JC}  + \overrightarrow {JD} } \right) = \overrightarrow 0\)

\(\Leftrightarrow 2\overrightarrow {GI}  + 2\overrightarrow {GJ}  = \overrightarrow 0  \Leftrightarrow 2\left( {\overrightarrow {GI}  + \overrightarrow {GJ} } \right) = \overrightarrow 0\)

\(\Leftrightarrow \overrightarrow {GI}  + \overrightarrow {GJ}  = \overrightarrow 0  \Rightarrow\)

G là trung điểm của đoạn thẳng IJ

Vậy I, G, J thẳng hàng

C. Trắc nghiệm Toán 10 bài 3