Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm

Lý thuyết Toán 10 bài 3: Tích của một số với một vectơ CTST

VnDoc xin giới thiệu bài Lý thuyết Toán lớp 10 bài 3: Tích của một số với một vectơ được chúng tôi sưu tầm và tổng hợp các câu hỏi lí thuyết và trắc nghiệm có đáp án đi kèm nằm trong chương trình giảng dạy môn Toán lớp 10 sách CTST. Mời quý thầy cô cùng các bạn tham khảo tài liệu dưới đây.

A. Lý thuyết Toán 10 bài 3

1. Tích của một số với một vecto và các tính chất

+) Tích của một số thực k với một vecto \overrightarrow a  \ne \overrightarrow 0a0 là một vecto, kí kiệu là k\overrightarrow a .ka.

+) Vecto k\overrightarrow aka có độ dài bằng \left| k \right|\left| {\overrightarrow a } \right||k||a|và cùng hướng với vecto\overrightarrow a,a,nếu k > 0, ngược hướng với vecto \overrightarrow aa nếu k < 0

+) Quy ước: 0\;\overrightarrow a  = \overrightarrow 0  và k\;\overrightarrow 0  = \overrightarrow 00a=0vàk0=0

+) Tính chất: Với hai vecto \overrightarrow a ,\overrightarrow ba,b và hai số thực k, t ta luôn có:

\begin{array}{l}k(t\overrightarrow a ) = (kt)\;\overrightarrow a \\(k + t)\,\overrightarrow a  = k\overrightarrow a  + t\overrightarrow a \\k(\overrightarrow a  + \overrightarrow b ) = k\overrightarrow a  + k\overrightarrow b ;\quad k(\overrightarrow a  - \overrightarrow b ) = k\overrightarrow a  - k\overrightarrow b \\1\;\overrightarrow a  = \overrightarrow a ;\;\;( - 1)\;\overrightarrow a  =  - \,\overrightarrow a \end{array}k(ta)=(kt)a(k+t)a=ka+tak(a+b)=ka+kb;k(ab)=kakb1a=a;(1)a=a

Ví dụ: Thực hiện các phép toán vecto sau:

\begin{array}{l}
a)5\left( {\overrightarrow u  + \overrightarrow v } \right)\\
b)\left( {x + 2} \right)\overrightarrow a \\
c) - 3\left( {4\overrightarrow e } \right)\\
d)\overrightarrow c  - 2\overrightarrow c 
\end{array}a)5(u+v)b)(x+2)ac)3(4e)d)c2c

Giải

\begin{array}{l}
a)5\left( {\overrightarrow u  + \overrightarrow v } \right) = 5\overrightarrow u  + 5\overrightarrow v \\
b)\left( {x + 2} \right)\overrightarrow a  = x\overrightarrow a  + 2\overrightarrow a \\
c) - 3\left( {4\overrightarrow e } \right) = \left( { - 3.4} \right)\overrightarrow e  =  - 12\overrightarrow e \\
d)\overrightarrow c  - 2\overrightarrow c  = \left( {1 - 2} \right)\overrightarrow c  = \left( { - 1} \right)\overrightarrow c  =  - \overrightarrow c 
\end{array}a)5(u+v)=5u+5vb)(x+2)a=xa+2ac)3(4e)=(3.4)e=12ed)c2c=(12)c=(1)c=c

2. Điều kiện để hai vecto cùng phương

Hai vecto \overrightarrow aa\overrightarrow b  (\overrightarrow b)b(b) khác \overrightarrow 00cùng phương khi và chỉ khi tồn tại k sao cho \overrightarrow a  = k\overrightarrow b .a=kb.

Nhận xét: Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng \Leftrightarrow \overrightarrow {AB}  = k\overrightarrow {AC} .AB=kAC.

Chú ý: Cho hai vecto \overrightarrow aa\overrightarrow bb không cùng phương. Với mỗi vecto \overrightarrow cc luôn tồn tại duy nhất cặp số thực (m; n) sao cho \overrightarrow c  = m\,\overrightarrow a  + n\,\overrightarrow bc=ma+nb

Ví dụ: Cho tam giác ABC có trung tuyến AM. Gọi I là trung điểm của AM và K là điểm trên cạnh AC sao cho AK = \frac{1}{3}ACAK=13AC.

a) Tính \overrightarrow {BI}BI theo \overrightarrow {BA} , \overrightarrow {BC}BA,BC.

b)Tính \overrightarrow {BK}BK theo \overrightarrow {BA} , \overrightarrow {BC}BA,BC.

c) Chứng minh ba điểm B, I, K thẳng hàng.

Giải

a) \overrightarrow {BI}  = \overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {AI}  = \overrightarrow {BA}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {AM}  = \overrightarrow {BA}  + \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {BM}  - \overrightarrow {BA} } \right) = \frac{1}{2}\overrightarrow {BA}  + \frac{1}{4}\overrightarrow {BC}BI=BA+AI=BA+12AM=BA+12(BMBA)=12BA+14BC (1)

b) \overrightarrow {BK}  = \overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {AK}  = \overrightarrow {BA}  + \frac{1}{3}\overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {BA}  + \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {BC}  - \overrightarrow {BA} } \right) = \frac{2}{3}\overrightarrow {BA}  + \frac{1}{3}\overrightarrow {BC}BK=BA+AK=BA+13AC=BA+13(BCBA)=23BA+13BC(2)

c) Ta có:

\begin{array}{l}
\left( 1 \right) \Rightarrow 4\overrightarrow {BI}  = 2\overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {BC} \\
\left( 2 \right) \Rightarrow 3\overrightarrow {BK}  = 2\overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {BC} 
\end{array}(1)4BI=2BA+BC(2)3BK=2BA+BC

Nên \overrightarrow {BI}  = \frac{3}{4}\overrightarrow {BK}BI=34BK (3)

Từ (3) suy ra ba điểm B, I, K thẳng hàng

B. Bài tập minh họa

Câu 1: Cho tam giác ABC. Chứng minh G là trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi \overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC}  = 3\overrightarrow {MG}MA+MB+MC=3MG

Hướng dẫn giải

\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC}  = 3\overrightarrow {MG}  \Leftrightarrow \overrightarrow {MG}  + \overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {MG}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {MG}  + \overrightarrow {GC}  = 3\overrightarrow {MG}MA+MB+MC=3MGMG+GA+MG+GB+MG+GC=3MG

\Leftrightarrow \left( {\overrightarrow {MG}  + \overrightarrow {MG}  + \overrightarrow {MG} } \right) + \left( {\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC} } \right) = 3\overrightarrow {MG}(MG+MG+MG)+(GA+GB+GC)=3MG

\Leftrightarrow 3\overrightarrow {MG}  = 3\overrightarrow {MG}  (đpcm)3MG=3MG(đpcm) (Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0)GA+GB+GC=0)

Câu 2: Cho tứ giác ABCD có I và J lần lượt là trung điểm của AB và CD. Cho điểm G thỏa mãn \overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  + \overrightarrow {GD}  = \overrightarrow 0GA+GB+GC+GD=0. Chứng minh ba điểm I, G, J  thẳng hàng

lý thuyết toán 10

Hướng dẫn giải

Ta có:

\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  + \overrightarrow {GD}  = \overrightarrow 0  \Leftrightarrow \left( {\overrightarrow {GI}  + \overrightarrow {IA} } \right) + \left( {\overrightarrow {GI}  + \overrightarrow {IB} } \right) + \left( {\overrightarrow {GJ}  + \overrightarrow {JC} } \right) + \left( {\overrightarrow {GJ}  + \overrightarrow {JD} } \right) = \overrightarrow 0GA+GB+GC+GD=0(GI+IA)+(GI+IB)+(GJ+JC)+(GJ+JD)=0

\\Leftrightarrow 2\overrightarrow {GI}  + \left( {\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB} } \right) + 2\overrightarrow {GJ}  + \left( {\overrightarrow {JC}  + \overrightarrow {JD} } \right) = \overrightarrow 0Leftrightarrow2GI+(IA+IB)+2GJ+(JC+JD)=0

\Leftrightarrow 2\overrightarrow {GI}  + 2\overrightarrow {GJ}  = \overrightarrow 0  \Leftrightarrow 2\left( {\overrightarrow {GI}  + \overrightarrow {GJ} } \right) = \overrightarrow 02GI+2GJ=02(GI+GJ)=0

\Leftrightarrow \overrightarrow {GI}  + \overrightarrow {GJ}  = \overrightarrow 0  \RightarrowGI+GJ=0

G là trung điểm của đoạn thẳng IJ

Vậy I, G, J thẳng hàng

C. Trắc nghiệm Toán 10 bài 3

-----------------------------------------

Như vậy VnDoc đã giới thiệu các bạn tài liệu Lý thuyết Toán lớp 10 bài 3: Tích của một số với một vectơ CTST. Mời các bạn tham khảo thêm tài liệu: Giải bài tập Toán lớp 10, Chuyên đề Toán 10, Giải Vở BT Toán 10 , Toán 10 Cánh Diều, Toán 10 Kết nối tri thức, Tài liệu học tập lớp 10.

Xem thêm các bài Tìm bài trong mục này khác:
Chia sẻ, đánh giá bài viết
1
Đóng Chỉ thành viên VnDoc PRO/PROPLUS tải được nội dung này!
Đóng
79.000 / tháng
Đặc quyền các gói Thành viên
PRO
Phổ biến nhất
PRO+
Tải tài liệu Cao cấp 1 Lớp
Tải tài liệu Trả phí + Miễn phí
Xem nội dung bài viết
Trải nghiệm Không quảng cáo
Làm bài trắc nghiệm không giới hạn
Mua cả năm Tiết kiệm tới 48%
Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
3 Bình luận
Sắp xếp theo
  • Hai lúa
    Hai lúa

    😄😄😄😄😄

    Thích Phản hồi 11/04/23
    • Lang băm
      Lang băm

      💯💯💯💯💯

      Thích Phản hồi 11/04/23
      • Pé heo
        Pé heo

        🤗🤗🤗🤗🤗

        Thích Phản hồi 11/04/23
        🖼️

        Gợi ý cho bạn

        Xem thêm
        🖼️

        Lý thuyết Toán 10 CTST

        Xem thêm
        Chia sẻ
        Chia sẻ FacebookChia sẻ TwitterSao chép liên kếtQuét bằng QR Code
        Mã QR Code
        Đóng