Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm

VnDoc.com

Lý thuyết Toán 10 bài 3: Tích của một số với một vectơ CTST

Sách Chân trời sáng tạo

1 46

Bài trước

Bài sau

VnDoc xin giới thiệu bài Lý thuyết Toán lớp 10 bài 3: Tích của một số với một vectơ được chúng tôi sưu tầm và tổng hợp các câu hỏi lí thuyết và trắc nghiệm có đáp án đi kèm nằm trong chương trình giảng dạy môn Toán lớp 10 sách CTST. Mời quý thầy cô cùng các bạn tham khảo tài liệu dưới đây.

Bài 3: Tích của một số với một vectơ

A. Lý thuyết Toán 10 bài 3
- 1. Tích của một số với một vecto và các tính chất
- 2. Điều kiện để hai vecto cùng phương
B. Bài tập minh họa
C. Trắc nghiệm Toán 10 bài 3

A. Lý thuyết Toán 10 bài 3

1. Tích của một số với một vecto và các tính chất

+) Tích của một số thực k với một vecto $\overrightarrow a \ne \overrightarrow 0$ là một vecto, kí kiệu là $k\overrightarrow a .$

+) Vecto $k\overrightarrow a$ có độ dài bằng $\left| k \right|\left| {\overrightarrow a } \right|$ và cùng hướng với vecto $\overrightarrow a,$ nếu k > 0, ngược hướng với vecto $\overrightarrow a$ nếu k < 0

+) Quy ước: $0\;\overrightarrow a = \overrightarrow 0 và k\;\overrightarrow 0 = \overrightarrow 0$

+) Tính chất: Với hai vecto $\overrightarrow a ,\overrightarrow b$ và hai số thực k, t ta luôn có:

$\begin{array}{l}k(t\overrightarrow a ) = (kt)\;\overrightarrow a \\(k + t)\,\overrightarrow a = k\overrightarrow a + t\overrightarrow a \\k(\overrightarrow a + \overrightarrow b ) = k\overrightarrow a + k\overrightarrow b ;\quad k(\overrightarrow a - \overrightarrow b ) = k\overrightarrow a - k\overrightarrow b \\1\;\overrightarrow a = \overrightarrow a ;\;\;( - 1)\;\overrightarrow a = - \,\overrightarrow a \end{array}$

Ví dụ: Thực hiện các phép toán vecto sau:

$\begin{array}{l} a)5\left( {\overrightarrow u + \overrightarrow v } \right)\\ b)\left( {x + 2} \right)\overrightarrow a \\ c) - 3\left( {4\overrightarrow e } \right)\\ d)\overrightarrow c - 2\overrightarrow c \end{array}$

Giải

$\begin{array}{l} a)5\left( {\overrightarrow u + \overrightarrow v } \right) = 5\overrightarrow u + 5\overrightarrow v \\ b)\left( {x + 2} \right)\overrightarrow a = x\overrightarrow a + 2\overrightarrow a \\ c) - 3\left( {4\overrightarrow e } \right) = \left( { - 3.4} \right)\overrightarrow e = - 12\overrightarrow e \\ d)\overrightarrow c - 2\overrightarrow c = \left( {1 - 2} \right)\overrightarrow c = \left( { - 1} \right)\overrightarrow c = - \overrightarrow c \end{array}$

2. Điều kiện để hai vecto cùng phương

Hai vecto $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b (\overrightarrow b)$ khác $\overrightarrow 0$ cùng phương khi và chỉ khi tồn tại k sao cho $\overrightarrow a = k\overrightarrow b .$

Nhận xét: Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng $\Leftrightarrow \overrightarrow {AB} = k\overrightarrow {AC} .$

Chú ý: Cho hai vecto $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$ không cùng phương. Với mỗi vecto $\overrightarrow c$ luôn tồn tại duy nhất cặp số thực (m; n) sao cho $\overrightarrow c = m\,\overrightarrow a + n\,\overrightarrow b$

Ví dụ: Cho tam giác ABC có trung tuyến AM. Gọi I là trung điểm của AM và K là điểm trên cạnh AC sao cho $AK = \frac{1}{3}AC$ .

a) Tính $\overrightarrow {BI}$ theo $\overrightarrow {BA} , \overrightarrow {BC}$ .

b)Tính $\overrightarrow {BK}$ theo $\overrightarrow {BA} , \overrightarrow {BC}$ .

c) Chứng minh ba điểm B, I, K thẳng hàng.

Giải

a) $\overrightarrow {BI} = \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AI} = \overrightarrow {BA} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {BA} + \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {BM} - \overrightarrow {BA} } \right) = \frac{1}{2}\overrightarrow {BA} + \frac{1}{4}\overrightarrow {BC}$ (1)

b) $\overrightarrow {BK} = \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AK} = \overrightarrow {BA} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {BA} + \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {BC} - \overrightarrow {BA} } \right) = \frac{2}{3}\overrightarrow {BA} + \frac{1}{3}\overrightarrow {BC}$ (2)

c) Ta có:

$\begin{array}{l} \left( 1 \right) \Rightarrow 4\overrightarrow {BI} = 2\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} \\ \left( 2 \right) \Rightarrow 3\overrightarrow {BK} = 2\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} \end{array}$

Nên $\overrightarrow {BI} = \frac{3}{4}\overrightarrow {BK}$ (3)

Từ (3) suy ra ba điểm B, I, K thẳng hàng

B. Bài tập minh họa

Câu 1: Cho tam giác ABC. Chứng minh G là trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi $\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = 3\overrightarrow {MG}$

Hướng dẫn giải

$\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = 3\overrightarrow {MG} \Leftrightarrow \overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GC} = 3\overrightarrow {MG}$

$\Leftrightarrow \left( {\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {MG} + \overrightarrow {MG} } \right) + \left( {\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} } \right) = 3\overrightarrow {MG}$

$\Leftrightarrow 3\overrightarrow {MG} = 3\overrightarrow {MG} (đpcm)$ (Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên $\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0)$

Câu 2: Cho tứ giác ABCD có I và J lần lượt là trung điểm của AB và CD. Cho điểm G thỏa mãn $\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = \overrightarrow 0$ . Chứng minh ba điểm I, G, J thẳng hàng

lý thuyết toán 10

Hướng dẫn giải

Ta có:

$\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \left( {\overrightarrow {GI} + \overrightarrow {IA} } \right) + \left( {\overrightarrow {GI} + \overrightarrow {IB} } \right) + \left( {\overrightarrow {GJ} + \overrightarrow {JC} } \right) + \left( {\overrightarrow {GJ} + \overrightarrow {JD} } \right) = \overrightarrow 0$

$\\Leftrightarrow 2\overrightarrow {GI} + \left( {\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} } \right) + 2\overrightarrow {GJ} + \left( {\overrightarrow {JC} + \overrightarrow {JD} } \right) = \overrightarrow 0$

$\Leftrightarrow 2\overrightarrow {GI} + 2\overrightarrow {GJ} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow 2\left( {\overrightarrow {GI} + \overrightarrow {GJ} } \right) = \overrightarrow 0$