Lý thuyết Toán 10 bài 4: Ba đường conic trong mặt phẳng tọa độ CTST

Sách Chân trời sáng tạo

Lý thuyết Toán lớp 10 bài 4: Ba đường conic trong mặt phẳng tọa độ được chúng tôi sưu tầm và tổng hợp các câu hỏi lí thuyết và trắc nghiệm có đáp án đi kèm nằm trong chương trình giảng dạy môn Toán lớp 10 sách CTST. Mời quý thầy cô cùng các bạn tham khảo tài liệu dưới đây.

Bài 4: Ba đường conic trong mặt phẳng tọa độ

1. Elip
2. Hypebol
3. Parabol
4. Trắc nghiệm Toán 10 bài Ba đường conic trong mặt phẳng tọa độ

1. Elip

Cho hai điểm cố định và phân biệt ${F_1},{F_2}$ ${F_1},{F_2}$. Đặt ${F_1}{F_2} = 2c > 0$ ${F_1}{F_2} = 2c > 0$. Cho số thực a lớn hơn c. Tập hợp các điểm M sao cho $M{F_1} + M{F_2} = 2a$ $M{F_1} + M{F_2} = 2a$ được gọi là đường elip (hay elip). Hai điểm ${F_1},{F_2}$ ${F_1},{F_2}$ được gọi là hai tiêu điểm và ${F_1}{F_2} = 2c$ ${F_1}{F_2} = 2c$ được gọi là tiêu cự của elip đó.

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, elip có hai tiêu điểm thuộc trục hoành sao cho O là trung điểm của đoạn nối hai tiêu điểm đó, thì có phương trình

$\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1 với a > b > 0$ $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1 với a > b > 0$. (2)

Ngược lại, mỗi phương trình có dạng (2), với a > b > 0, đều là phương trình của elip có hai tiêu điểm ${F_1}\left( { - \sqrt {{a^2} - {b^2}} ;0} \right),{F_2}\left( {\sqrt {{a^2} - {b^2}} ;0} \right)$ ${F_1}\left( { - \sqrt {{a^2} - {b^2}} ;0} \right),{F_2}\left( {\sqrt {{a^2} - {b^2}} ;0} \right)$, tiêu cự $2c = 2\sqrt {{a^2} - {b^2}}$ $2c = 2\sqrt {{a^2} - {b^2}}$ và tổng các khoảng cách từ mỗi điểm thuộc elip đó tới hai tiêu điểm bằng 2a.

Phương trình (2) được gọi là phương trình chính tắc của elip tương ứng.

Ví dụ: Cho elip có phương trình chính tắc $\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1$ $\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1$. Tìm các tiêu điểm và tiêu cự của elip. Tính tổng các khoảng cách từ mỗi điểm trên elip tới hai tiêu điểm.

Giải

Ta có: a² = 25, b² = 16. Do đó $c = \sqrt {{a^2} - {b^2}} = 3$ $c = \sqrt {{a^2} - {b^2}} = 3$. Vậy elip có hai tiêu điểm là ${F_1}\left( { - 3;0} \right);{F_2}\left( {3;0} \right)$ ${F_1}\left( { - 3;0} \right);{F_2}\left( {3;0} \right)$ và tiêu cự là ${F_1}{F_2} = 2c = 6$ ${F_1}{F_2} = 2c = 6$. Ta có $a = \sqrt {25} = 5$ $a = \sqrt {25} = 5$, nên tổng các khoảng cách từ mỗi điểm trên elip tới hai tiêu điểm bằng 2a= 10.

2. Hypebol

Cho hai điểm phân biệt có định ${F_1}$ ${F_1}$ và ${F_2}$ ${F_2}$. Đặt ${F_1}{F_2} = 2c$ ${F_1}{F_2} = 2c$. Cho số thực dương a nhỏ hơn c. Tập hợp các điểm M sao cho $\left| {M{F_1} - M{F_2}} \right| = 2c$ $\left| {M{F_1} - M{F_2}} \right| = 2c$ được gọi là đường hypebol (hay hypebol). Hai điểm ${{F_1},{F_2}}$ ${{F_1},{F_2}}$ được gọi là hai tiêu điểm và ${F_1}{F_2} = 2c$ ${F_1}{F_2} = 2c$ được gọi là tiêu cự của hypebol đó.

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, hypebol có hai tiêu điểm thuộc trục hoành sao cho O là trung điểm của đoạn nối hai tiêu điểm đó, thì có phương trình

$\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1 với a,b > 0$ $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1 với a,b > 0$. (4)

Ngược lại, mỗi phương trình có dạng (4), với a, b >0, đều là phương trình của hypebol có hai tiêu điểm ${F_1}\left( { - \sqrt {{a^2} + {b^2}} ;0} \right),{F_2}\left( {\sqrt {{a^2} + {b^2}} ;0} \right)$ ${F_1}\left( { - \sqrt {{a^2} + {b^2}} ;0} \right),{F_2}\left( {\sqrt {{a^2} + {b^2}} ;0} \right)$, tiêu cự $2c = 2\sqrt {{a^2} + {b^2}}$ $2c = 2\sqrt {{a^2} + {b^2}}$và giá trị tuyệt đối của hiệu các khoảng cách từ mối điểm thuộc hypebol đến hai tiêu điểm bằng 2a.

Phương trình (4) được gọi là phương trình chính tắc của hypebol tương ứng.

Ví dụ: Cho hypebol có phương trình chính tắc $\frac{{{x^2}}}{9} - \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1$ $\frac{{{x^2}}}{9} - \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1$. Tìm các tiêu điểm và tiêu cự của hypebol. Hiệu các khoảng cách từ một điểm nằm trên hypebol tới hai tiêu điểm có giá trị tuyệt đối bằng bao nhiêu?

Giải

Ta có ${a^2} = 9,{b^2} = 16, nên c = \sqrt {{a^2} + {b^2}} = 5$ ${a^2} = 9,{b^2} = 16, nên c = \sqrt {{a^2} + {b^2}} = 5$. Vậy hypebol có hai tiêu điểm là ${F_1}\left( { - 5;0} \right),{F_2}\left( {5;0} \right)$ ${F_1}\left( { - 5;0} \right),{F_2}\left( {5;0} \right)$ và có tiêu cự 2c = 10. Hiệu các khoảng cách từ một điểm nằm trên hypebol tới hai tiêu điểm có giá trị tuyệt đối bằng $2{\rm{a}} = 2\sqrt 9 = 6$ $2{\rm{a}} = 2\sqrt 9 = 6$.

3. Parabol

Cho một điểm F có định và một đường thẳng $\Delta$ $\Delta$ cố định không đi qua F. Tập hợp các điểm M cách đều F và $\Delta$ $\Delta$ được gọi là đường parabol (hay parabol). Điểm F được gọi là tiêu điểm, $\Delta$ $\Delta$ được gọi là đường chuẩn, khoảng cách từ F đến $\Delta$ $\Delta$ được gọi là tham số tiêu của parabol đó.

Xét (P) là một parabol với tiêu điểm F, đường chuẩn $\Delta$ $\Delta$ . Gọi H là hình chiếu vuông góc của F trên $\Delta$ $\Delta$ . Khi đó, trong hệ trục tọa độ Oxy với gốc O là trung điểm của HF, tia Ox trùng tia OF, parabol (P) có phương trình

${y^2} = 2p{\rm{x}}$ ${y^2} = 2p{\rm{x}}$ (với p > 0) (5)

Phương trình (5) được gọi là phương trình chính tắc của parabol (P).

Ngược lại, mỗi phương trình dạng (5), với p > 0, là phương trình chính tắc của parabol có tiêu điểm $F\left( {\frac{p}{2};0} \right)$ $F\left( {\frac{p}{2};0} \right)$ và đường chuẩn $\Delta :x = - \frac{p}{2}$ $\Delta :x = - \frac{p}{2}$.

Ví dụ: Cho parabol (P): ${y^2} = x$ ${y^2} = x$.

a) Tìm tiêu điểm F, đường chuẩn $\Delta$ $\Delta$ của (P).

b) Tìm những điểm trên (P) có khoảng cách tới F bằng 3.

Giải

a) Ta có 2p = 1 nên p = $\frac{1}{2}$ $\frac{1}{2}$.

Parabol có tiêu điểm $F\left( {\frac{1}{4};0} \right)$ $F\left( {\frac{1}{4};0} \right)$ và đường chuẩn $\Delta :x = - \frac{1}{4}$ $\Delta :x = - \frac{1}{4}$

b) Điểm $M\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ $M\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ thuộc (P) có khoảng cách tới F bằng 3 khi và chỉ khi ${y_0}^2 = {x_0}$ ${y_0}^2 = {x_0}$ và MF = 3.

Do MF = $d\left( {M,\Delta } \right)$ $d\left( {M,\Delta } \right)$ nên $d\left( {M,\Delta } \right) = 3$ $d\left( {M,\Delta } \right) = 3$

Mặt khác $\Delta :x + \frac{1}{4} = 0$ $\Delta :x + \frac{1}{4} = 0$ và ${x_0} = {y_0}^2 \ge 0$ ${x_0} = {y_0}^2 \ge 0$ nên $3 = d\left( {M,\Delta } \right) = \left| {{x_0} + \frac{1}{4}} \right| = {x_0} + \frac{1}{4}$ $3 = d\left( {M,\Delta } \right) = \left| {{x_0} + \frac{1}{4}} \right| = {x_0} + \frac{1}{4}$.

Vậy ${x_0} = \frac{{11}}{4} và {y_0} = \frac{{\sqrt {11} }}{2} hoặc {y_0} = - \frac{{\sqrt {11} }}{2}$ ${x_0} = \frac{{11}}{4} và {y_0} = \frac{{\sqrt {11} }}{2} hoặc {y_0} = - \frac{{\sqrt {11} }}{2}$.

Vậy có hai điểm M thỏa mãn bài toán với tọa độ là $\left( {\frac{{11}}{4};\frac{{\sqrt {11} }}{2}} \right) và \left( {\frac{{11}}{4}; - \frac{{\sqrt {11} }}{2}} \right)$ $\left( {\frac{{11}}{4};\frac{{\sqrt {11} }}{2}} \right) và \left( {\frac{{11}}{4}; - \frac{{\sqrt {11} }}{2}} \right)$.