Đề luyện thi đánh giá năng lực môn Toán năm 2025 Đề 1

Câu 1: Vận dụng

Tính xác suất của biến cố

Một công ty may mặc có hai hệ thống máy chạy độc lập với nhau. Xác suất để hệ thống máy thứ nhất hoạt động tốt là 95%, xác suất để hệ thống máy thứ hai hoạt động tốt là 85%. Công ty chỉ có thể hoàn thành đơn hàng đúng hạn nếu ít nhất một trong hai hệ thống máy hoạt động tốt. Xác suất để công ty hoàn thành đúng hạn là

A.
0,9925.
B.
0,9825
C.
0,9725
D.
0,9625

Gọi A là biến cố: "Hệ thống máy thứ nhất hoạt động tốt".

B là biến cố: "Hệ thống máy thứ hai hoạt động tốt".

C là biến cố: "Công ty hoàn thành đúng hạn".

Ta có $\overline{A}$ là biến cố: "Hệ thống máy thứ nhất hoạt động không tốt".

$\overline{B}$ là biến cố: "Hệ thống máy thứ hai hoạt động không tốt".

$\overline{C}$ là biến cố: "Công ty hoàn thành không đúng hạn".

$P(A) = 0,95;P(B) = 0,85;P(\overline{A}) = 0,05;P(\overline{B}) = 0,15$

Vì $A$ và $B$ là hai biến cố độc lập nên $\overline{A}$ và $\overline{B}$ là hai biến cố độc lập

Mà $\overline{C} = \overline{A.B}$

$P(\overline{C}) = P(\overline{A}.\overline{B}) = P(\overline{A}).P(\overline{B}) = 0,0075$ .

$\Rightarrow P(C) = 1 - P(\overline{C}) = 0,9925.$

Câu 2: Thông hiểu

Tính xác suất của biến cố

Một hộp chứa 9 chiếc thẻ được đánh số từ 1 đến 9. Lấy ngẫu nhiên 3 chiếc thẻ từ hộp. Tính xác suất để tổng các số ghi trên 3 chiếc thẻ được lấy ra là một số lẻ.

A.
$\frac{10}{21}$ .
B.
$\frac{11}{21}$ .
C.
$\frac{5}{21}$ .
D.
$\frac{4}{21}$ .

Số phần tử của không gian mẫu: $n(\Omega) = C_{9}^{3} = 84$ .

Gọi A là biến cố "tổng các số ghi trên 3 chiếc thẻ được lấy ra là một số lẻ".

Ta có:

$n(A) = C_{5}^{3} + C_{4}^{2}.C_{5}^{1} = 40$ .

Xác suất để tổng các số ghi trên 3 chiếc thẻ được lấy ra là một số lẻ là:

$p(A) = \frac{n(A)}{n(\Omega)} = \frac{40}{84} = \frac{10}{21}$ .

Câu 3: Vận dụng

Ghi đáp án vào ô trống

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho $\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}$ lần lượt là các vecto đơn vị nằm trên các trục tọa độ $Ox,Oy,Oz$ và $\overrightarrow{u}$ là một vecto tùy ý khác $\overrightarrow{0}$ .

Tính $T = \cos^{2}(\overrightarrow{u},\overrightarrow{i})+ \cos^{2}(\overrightarrow{u},\overrightarrow{j}) +\cos^{2}(\overrightarrow{u},\overrightarrow{k})$

Đáp án: 1

Đáp án là:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho $\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}$ lần lượt là các vecto đơn vị nằm trên các trục tọa độ $Ox,Oy,Oz$ và $\overrightarrow{u}$ là một vecto tùy ý khác $\overrightarrow{0}$ .

Tính $T = \cos^{2}(\overrightarrow{u},\overrightarrow{i})+ \cos^{2}(\overrightarrow{u},\overrightarrow{j}) +\cos^{2}(\overrightarrow{u},\overrightarrow{k})$

Đáp án: 1

Giả sử $\overrightarrow{u} = (x,y,z)$ .

Ta có $\overrightarrow{i}(1,0,0);\overrightarrow{j}(0,1,0);\overrightarrow{k}(0,0,1)$

$cos^{2}(\overrightarrow{u},\overrightarrow{i}) + cos^{2}(\overrightarrow{u},\overrightarrow{j}) + cos^{2}(\overrightarrow{u},\overrightarrow{k})$

$= \left( \frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}} ight)^{2} + \left( \frac{y}{\sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}} ight)^{2} + \left( \frac{z}{\sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}} ight)^{2}$

$= \frac{x^{2} + y^{2} + z^{2}}{x^{2} + y^{2} + z^{2}} = 1$

Vậy $T = 1$

Câu 4: Vận dụng cao

Ghi đáp án vào ô trống

Người ta xây dựng một chân tháp bằng bê tông có dạng khối chóp cụt tứ giác đều (Hình bên dưới). Cạnh đáy dưới dài 5m, cạnh đáy trên dài 2m, cạnh bên dài 3m. Biết rằng chân tháp được làm bằng bê tông tươi với giá tiền là 1470000 đồng/m³. Tính số tiền để mua bê tông tươi làm chân tháp theo đơn vị đồng.

Đáp án: 40538432

Đáp án là:

Người ta xây dựng một chân tháp bằng bê tông có dạng khối chóp cụt tứ giác đều (Hình bên dưới). Cạnh đáy dưới dài 5m, cạnh đáy trên dài 2m, cạnh bên dài 3m. Biết rằng chân tháp được làm bằng bê tông tươi với giá tiền là 1470000 đồng/m³. Tính số tiền để mua bê tông tươi làm chân tháp theo đơn vị đồng.

Đáp án: 40538432

Hình vẽ minh họa:

Mô hình hoá chân tháp bằng cụt chóp tứ giác đều ABCD.A′B′C′D′ với O, O′ là tâm của hai đáy.

Vậy $AB = 5,A'B' = 2,CC' = 3$ .

ABCD là hình vuông

$\Rightarrow AC = \sqrt{AB^{2} + BC^{2}} = 5\sqrt{2} \Rightarrow CO = \frac{1}{2}AC = \frac{5\sqrt{2}}{2}$

$A^{'}B^{'}C^{'}D^{'}$ là hình vuông

$\Rightarrow A^{'}C^{'} = \sqrt{A^{'}{B^{'}}^{2} + B^{'}{C^{'}}^{2}} = 2\sqrt{2} \Rightarrow C^{'}O^{'} = \frac{1}{2}A^{'}C^{'} = \sqrt{2}$

Kẻ $C^{'}H\bot OC\ \ (H \in OC)$

$OHC^{'}O^{'}$ là hình chữ nhật

$\Rightarrow OH = O^{'}C^{'} = \sqrt{2},OO^{'} = C^{'}H \Rightarrow CH = OC - OH = \frac{3\sqrt{2}}{2}$

$\Delta CC^{'}H$ vuông tại $H$

$\Rightarrow C^{'}H = \sqrt{CC^{'2}- CH^{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{2} \Rightarrow OO^{'} = C^{'}H =\frac{3\sqrt{2}}{2}$

Diện tích đáy lớn là:

$S = AB^{2} = 5^{2} = 25\left( m^{2} ight)$

Diện tích đáy bé là:

$S^{'} = A^{'}B^{'2} = 2^{2} = 4\left( m^{2} ight)$

Thể tích hình chóp cụt là:

$V = \frac{1}{3}h\left( S + \sqrt{SS^{'}} + S^{'} ight) = \frac{1}{3}.\frac{3\sqrt{2}}{2}(25 + \sqrt{25.4} + 4) = \frac{39\sqrt{2}}{2}\left( m^{3} ight)$

Số tiền để mua bê tông tươi làm chân tháp là: $\frac{39\sqrt{2}}{2}.1470000 \approx 40538432$ (đồng).

Câu 5: Nhận biết

Tính giới hạn hàm số

$\lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{x + 1}{x - 1}$ bằng

A.
$+ \infty$ .
B.
$- \infty$ .
C.
1.
D.
0.

Đặt $f(x) = x + 1;g(x) = x - 1$ .

Ta có $\lim_{x ightarrow 1^{+}}f(x) = 2;\lim_{x ightarrow 1^{+}}g(x) = 0;g(x) > 0$ khi $x ightarrow 1^{+}$

Vậy $\lim_{x ightarrow 1^{+}}\frac{x + 1}{x - 1} = + \infty$ .

Câu 6: Thông hiểu

Chọn đáp án đúng

Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:

Số nghiệm thực của phương trình $2f(x) - 11 = 0$ là

A.
2.
B.
3.
C.
4.
D.
0.

Kí hiệu bảng biến thiên như sau:

Ta có: $2f(x) - 11 = 0 \Leftrightarrow f(x) = \frac{11}{2}$

Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số $y = f(x)$ và đường thẳng $y = \frac{11}{2}$ .

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy đồ thị hàm số $y = f(x)$ cắt đường thẳng $y = \frac{11}{2}$ tại 2 điểm phân biệt.

Vậy phương trình $2f(x) - 11 = 0$ có 2 nghiệm phân biệt.

Câu 7: Thông hiểu

Chọn mệnh đề đúng

Cho hàm số f(x) có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ . Đồ thị của hàm số $y = f'(x)$ trên đoạn $\lbrack - 2;2brack$ là đường cong hình bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A.
$\max_{\lbrack - 2;2brack}f(x) = f(2)$
B.
$\min_{\lbrack - 2;2brack}f(x) = f(1)$
C.
$\max_{\lbrack - 2;2brack}f(x) =f(1)$
D.
$\max_{\lbrack - 2;2brack}f(x) = f( - 2)$

Dựa vào thị của hàm số $y = f^{'}(x)$ trên đoạn $\lbrack - 2;2brack$ ta thấy $f'(x) = 0\Leftrightarrow x = 1$ .

Ta có bảng BBT:

Do đó $\max_{\lbrack - 2;2brack}f(x) =f(1)$ .

Câu 8: Thông hiểu

Ghi đáp án vào ô trống

Số giá trị nguyên của tham số $m \in \lbrack - 25;25brack$ để hàm số $y= x^{3} - 3x^{2} + mx + 2$ có cực đại và cực tiểu?

Đáp án: 28

Đáp án là:

Số giá trị nguyên của tham số $m \in \lbrack - 25;25brack$ để hàm số $y= x^{3} - 3x^{2} + mx + 2$ có cực đại và cực tiểu?

Đáp án: 28

Ta có: $y = x^{3} - 3x^{2} + mx + 2$ $\Rightarrow y' = 3x^{2} - 6x+ m$

$\Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow 3x^{2} - 6x + m = 0(*)$

Hàm số có cực đại và cực tiểu $\Leftrightarrow (*)$ có hai nghiệm phân biệt

$\Leftrightarrow \Delta ' > 0 \Leftrightarrow 9 - 3m > 0 \Leftrightarrow m < 3$

Mà $m\mathbb{\in Z};m \in \lbrack - 2;25brack \Rightarrow m \in \{ - 25; - 24;\ldots;2\}$ .

Vậy có 28 giá trị nguyên của $m$ thoả mãn yêu cầu bài toán.

Câu 9: Thông hiểu

Tính độ dài SA

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, $SA\bot(ABCD)$ . Biết diện tích tam giác SBD bằng $a^{2}$ . Khi đó SA bằng:

A.
$SA = \frac{a\sqrt{3}}{2}$
B.
$SA = \frac{a\sqrt{2}}{2}$
C.
$SA =\frac{a\sqrt{6}}{2}$
D.
$SA = \frac{a}{2}$

Hình vẽ minh họa

Gọi O là tâm của đáy.

Khi đó $BD\bot(SAC) \Rightarrow BD\bot SO \Rightarrow S_{SBD} = \frac{1}{2}.SO.BD = a^{2}$

$\Rightarrow SO = \frac{2a^{2}}{a\sqrt{2}} = a\sqrt{2}$

$\Rightarrow SA = \sqrt{SO^{2} - AO^{2}} = \sqrt{2a^{2} - \frac{a^{2}}{2}} = \frac{a\sqrt{6}}{2}$

Câu 10: Thông hiểu

Tính quãng đường ô tô di chuyển

Một ô tô đang chạy với vận tốc $10\ m/s$ thì người lái xe đạp phanh. Từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc $v(t) = - 2t + 10(m/s)$ , trong đó $t$ là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Tính quãng đường ô tô di chuyển được trong 8 giây cuối cùng.

A.
55 m.
B.
50 m.
C.
25 m.
D.
16 m.

Khi xe dừng hẳn thì vận tốc bằng 0.

Nên thời gian kể từ lúc đạp phanh đến lúc ô tô dừng hẳn là $- 2t + 10 = 0 \Leftrightarrow t = 5(\ s)$

Quãng đường ô tô đi được từ lúc đạp phanh đến lúc ô tô dừng hẳn là

$S_{2} = \int_{0}^{5}{( - 2t + 10)}dt = \left. \ \left( - t^{2} + 10t ight) ight|_{0}^{5} = 25m$

Như vậy trong 8 giây cuối thì có 3 giây ô tô ði với vận tốc $10\ m/s$ và 5 s ô tô chuyển động chậm dần đều.

Quãng đường ô tô đi được trong 3 giây trước khi đạp phanh là $S_{1} = 3.10 = 30\ m$

Vậy trong 8 giây cuối ô tô đi được quang đường $S = S_{1} + S_{2} = 30 + 25 = 55m$

Câu 11: Thông hiểu

Ghi đáp án vào ô trống

Một kiến trúc sư thiết kế một hội trường với 15 ghế ngồi ở hàng thứ nhất, 18 ghế ngồi ở hàng thứ hai, 21 ghế ngồi ở hàng thứ ba và cứ như vậy (số ghế ngồi ở hàng sau nhiều hơn 3 ghế so với số ghế ngồi ở hàng liền trước nó). Nếu muốn hội trường đó có số sức chứa ít nhất 870 ghế ngồi thì kiến trúc sư phải thiết kế tối thiểu bao nhiêu hàng ghế.

Đáp án: 20

Đáp án là:

Một kiến trúc sư thiết kế một hội trường với 15 ghế ngồi ở hàng thứ nhất, 18 ghế ngồi ở hàng thứ hai, 21 ghế ngồi ở hàng thứ ba và cứ như vậy (số ghế ngồi ở hàng sau nhiều hơn 3 ghế so với số ghế ngồi ở hàng liền trước nó). Nếu muốn hội trường đó có số sức chứa ít nhất 870 ghế ngồi thì kiến trúc sư phải thiết kế tối thiểu bao nhiêu hàng ghế.

Đáp án: 20

Số ghế ở các hàng tạo thành một cấp số cộng có $u_{1} = 15$ và công sai $d = 3$ .

Giả sử hội trường có $n$ hàng ghế $n\mathbb{\in N}*$ .

Tổng số ghế có trong hội trường là:

$S_{n} = \frac{\left\lbrack 2u_{1} + (n - 1)d ightbrack.n}{2} = \frac{\lbrack 2.15 + (n - 1).3brack n}{2} = \frac{3n^{2} + 27n}{2}.$

Để hội trường đó có số sức chứa ít nhất 870 ghế ngồi thì $S_{n} \geq 870$

$\Leftrightarrow \frac{3n^{2} + 27n}{2} \geq 870 \Leftrightarrow n^{2} + 9n - 580 \geq 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} n \geq 20 \\ n \leq - 29 \\ \end{matrix}. ight.$

Vậy kiến trúc sư phải thiết kế tối thiểu 20 hàng ghế.

Câu 12: Thông hiểu

Ghi đáp án vào ô trống

Trong một trò chơi điện tử, có 38 con cá đói. Một con cá gọi là no nếu nó ăn được 3 con cá khác (con này có thể no hoặc không no). Một con cá no không ăn thêm con cá nào khác. Trò chơi kết thúc khi không còn con cá nào đói. Hỏi sau khi kết thúc trò chơi thì có tối đa bao nhiêu con cá no?

Đáp án: 8

Đáp án là:

Trong một trò chơi điện tử, có 38 con cá đói. Một con cá gọi là no nếu nó ăn được 3 con cá khác (con này có thể no hoặc không no). Một con cá no không ăn thêm con cá nào khác. Trò chơi kết thúc khi không còn con cá nào đói. Hỏi sau khi kết thúc trò chơi thì có tối đa bao nhiêu con cá no?

Đáp án: 8

Đầu tiên, 9 con cá đói, mỗi con sẽ ăn 3 con cá đói khác để tạo thành 1 con cá no. Khi đó trong trò chơi còn lại 2 con cá đói và 9 con cá no.

Để số con cá no là tối đa thì 1 con cá đói sẽ ăn 1 con cá đói còn lại và 2 con cá no khác.

Khi đó, trong trò chơi sẽ không còn cá đói và có 8 con cá no.

Câu 13: Thông hiểu

Tính chiều cao cột cờ

Một học sinh dùng giác kế, đứng cách chân cột cờ 10m rồi chỉnh mặt trước cao bằng mắt của mình để xác định góc nâng (góc tạo bởi tia sáng đi thẳng từ đỉnh cột cờ) với mắt tạo với phương nằm ngang. Khi đó góc nâng đo được 31^∘. Biết khoảng cách từ mặt sân đến mắt học sinh đó bằng 1,5m. Chiều cao cột cờ gần nhất với giá trị nào?

A.
6m.
B.
16,6m.
C.
7,5m.
D.
5,0m.

Hình vẽ minh họa

Gọi AB là khoảng cách từ chân đến tầm mắt của học sinh ⇒ AB = 1,5m.

AC là khoảng cách từ chân đến cột cờ ⇒ AC = 10m.

CD là chiều cao cột cờ.

BE là phương ngang của tầm mắt.

Khi đó góc nâng là $\widehat{DBE} = 31^{0}$ .

Do ABEC là hình chữ nhật nên $\left\{ \begin{matrix} BE = AC = 10m \\ CE = AB = 1,5m \\ \end{matrix} ight.$ .

Ta có: $\tan\widehat{DBE} = \frac{DE}{BE} \Rightarrow DE = 10.tan31^{0} \approx 6m$ .

Vậy chiều cao của cột cờ là: $CD = CE + DE = 6 + 1,5 = 7,5m$ .

Câu 14: Vận dụng

Ghi đáp án vào ô trống

Mặt sàn của một thang máy có dạng hình vuông ABCD cạnh 2m được lát gạch màu trắng và trang trí vởi một hình 4 cánh giống nhau màu sẫm. Khi đặt trong hệ tọa độ Oxy với $O$ là tâm hình vuông sao cho $A(1;1)$ như hình vẽ bên thì các đường cong OA có phương trình $y = x^{2}$ và $y = ax^{3} + bx$ . Tính giá trị $a.b$ biết rằng diện tích trang trí màu sẫm chiếm $\frac{1}{3}$ diện tích mặt sàn.

Đáp án: -2||- 2

Đáp án là:

Mặt sàn của một thang máy có dạng hình vuông ABCD cạnh 2m được lát gạch màu trắng và trang trí vởi một hình 4 cánh giống nhau màu sẫm. Khi đặt trong hệ tọa độ Oxy với $O$ là tâm hình vuông sao cho $A(1;1)$ như hình vẽ bên thì các đường cong OA có phương trình $y = x^{2}$ và $y = ax^{3} + bx$ . Tính giá trị $a.b$ biết rằng diện tích trang trí màu sẫm chiếm $\frac{1}{3}$ diện tích mặt sàn.

Đáp án: -2||- 2

Diện tích 1 cánh của hình trang trí là:

$S_{1} = \int_{0}^{1}\left( x^{2} - ax^{3} - bx ight)dx = \left. \ \left( \frac{x^{3}}{3} - \frac{ax^{4}}{4} - \frac{bx^{2}}{2} ight) ight|_{0}^{1} = \frac{1}{2} - \frac{a}{4} - \frac{b}{2}$

$\Rightarrow$ Diện tích hình trang trí là: $S = 4S_{1} = \frac{4}{3} - a - 2b$

Vì diện tích trang trí màu sẫm chiếm $\frac{1}{3}$ diện tích mặt sàn nên

$\frac{4}{3} - a - 2b = \frac{4}{3} \Leftrightarrow a + 2b = 0$

Khi đó ta có: $\left\{ \begin{matrix} a + b = 1 \\ a + 2b = 0 \\ \end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 2 \\ b = - 1 \\ \end{matrix} ight.\ ight.$

Vậy $ab = - 2$ .

Câu 15: Thông hiểu

Chọn đáp án đúng

Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:

Tổng số đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là

A.
0.
B.
1.
C.
2.
D.
3.

Số đường tiệm cận ngang: 1

Số đường tiệm cận đứng: 1

Tổng số đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng: 2.

Câu 16: Thông hiểu

Ghi đáp án vào ô trống

Chu kì của hàm số $y = \sin\left( \frac{2}{5}x ight).cos\left( \frac{2}{5}x ight)$ là $k\pi$ . Giá trị của k là:

Đáp án: 5/2 (Ghi đáp án dưới dạng phân số tối giản a/b).

Đáp án là:

Chu kì của hàm số $y = \sin\left( \frac{2}{5}x ight).cos\left( \frac{2}{5}x ight)$ là $k\pi$ . Giá trị của k là:

Đáp án: 5/2 (Ghi đáp án dưới dạng phân số tối giản a/b).

Ta có:

$y = \sin\left( \frac{2}{5}x ight).cos\left( \frac{2}{5}x ight) = \frac{1}{2}\sin\left( \frac{4}{5}x ight)$

Hàm số trên có chu kì là $T = \frac{2\pi}{|a|} = \frac{2\pi}{\frac{4}{5}} = \frac{5\pi}{2}$

Vậy $k = \frac{5}{2}$ .

Câu 17: Thông hiểu

Chọn đáp án đúng

Khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số $y = (x - 2)^{2}(x + 1)$ là

A.
$2\sqrt{5}$ .
B.
$5\sqrt{2}$ .
C.
4.
D.
2.

Ta có:

$f'(x) = 2(x - 2)(x + 1) + (x - 2)^{2}$

$= 2x^{2} - 2x - 4 + x^{2} - 4x + 4 = 3x^{2} - 6x$

$\Rightarrow f'(x) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \Rightarrow y = 4 \\ x = 2 \Rightarrow y = 0 \\ \end{matrix} ight.$

⇒ Khoảng cách giữa hai điểm cực trị là $\sqrt{(0 - 2)^{2} + (4 - 0)^{2}} = 2\sqrt{5}$ .

Câu 18: Thông hiểu

Chọn khẳng định đúng

Cho hàm số $y = \left\{ \begin{matrix} x\ \ \ \ \ \ \ khi\ x \geq 0 \\ - x\ \ \ \ khi\ x < 0 \\ \end{matrix} ight.$ . Khẳng định nào dưới đây đúng?

A.
Hàm số không có đạo hàm tại $x = 0$
B.
$y'_{(0)} = 1$
C.
$y'_{(0)} = 0$
D.
$y'_{(0)} = - 1$

Ta có: $y' = \left\{ \begin{matrix} 1\ \ \ \ \ \ \ khi\ x \geq 0 \\ - 1\ \ \ \ khi\ x < 0 \\ \end{matrix} ight.$

Do $\left\{ \begin{matrix} y'_{\left( 0^{+} ight)} = 1 \\ y'_{\left( 0^{-} ight)} = - 1 \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow$ Hàm số không có đạo hàm tại $x = 0$ .

Câu 19: Thông hiểu

Tính diện tích thiết diện

Cho hình chóp S.ABC có diện tích đáy bằng 9. Mặt phẳng $(P)$ song song với $(ABC)$ cắt đoạn SA tại $M$ sao cho $SM = 2MA$ . Diện tích thiết diện của hình chóp S.ABC tạo bởi $(P)$ bằng

A.
1.
B.
$\frac{16}{9}$ .
C.
$\frac{4}{81}$ .
D.
4.

Hình vẽ minh họa:

Gọi N, P lần lượt là giao điểm của mặt phẳng $(P)$ và các cạnh SB, SC.

Vì $(P)//(ABC)$ nên theo định lí Talet, ta có $\frac{SM}{SA} = \frac{SN}{SB} = \frac{SP}{SC} = \frac{2}{3}$ .

Khi đó $(P)$ cắt hình chóp S.ABC theo thiết diện là tam giác MNP ðồng dạng với tam giác ABC theo tỉ số $k = \frac{2}{3}$ .

Vậy $S_{\Delta MNP} = k^{2}.S_{\Delta ABC} = \left( \frac{2}{3} ight)^{2}.9 = 4$ .

Câu 20: Thông hiểu

Tìm khoảng nghịch biến của hàm số

Hàm số $f(x)$ có đạo hàm xác định trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $y = f(x) + f( - x)$ đồng biến trên khoảng $(1;5)$ . Khi đó hàm số $y = f(x) + f( - x)$ nghịch biến trên khoảng nào?

A.
$( - 1;1)$ .
B.
$(1;2)$ .
C.
$( - 3; - 1)$ .
D.
$( - 2;0)$ .

Ta có:

$y' = f'(x) - f'( - x) > 0,\forall x \in (1;5)$

Đặt $x = - t \Rightarrow t \in ( - 5; - 1)$

$\Rightarrow f'( - t) - f'(t) > 0,\forall t( - 5; - 1)$

$\Leftrightarrow f'(t) - f'( - t) < 0,\forall t( - 5; - 1)$

$\Leftrightarrow f'(x) - f'( - x) < 0,\forall x( - 5; - 1)$

Vậy hàm số $y = f(x) + f( - x)$ nghịch biến trên $( - 3; - 1)$ .

Câu 21: Thông hiểu

Ghi đáp án vào ô trống

Tích tất cả giá trị của $a$ để góc tạo bởi đường thẳng $\left\{ \begin{matrix} x = 4 + at \\ y = 7 - 2t \\ \end{matrix}(t\mathbb{\in R}) ight.$ và đường thẳng $3x + 4y - 2 = 0$ bằng $45^{0}$ là:

Đáp án: -4||- 4

Đáp án là:

Tích tất cả giá trị của $a$ để góc tạo bởi đường thẳng $\left\{ \begin{matrix} x = 4 + at \\ y = 7 - 2t \\ \end{matrix}(t\mathbb{\in R}) ight.$ và đường thẳng $3x + 4y - 2 = 0$ bằng $45^{0}$ là:

Đáp án: -4||- 4

Gọi $\varphi$ là góc giữa hai đường thẳng đã cho.

Đường thẳng $\left\{ \begin{matrix} x = 4 + at \\ y = 7 - 2t \\ \end{matrix}\ \ \ \ (t\mathbb{\in R}) ight.$ có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u} = (a; - 2)$ .

Đường thẳng $3x + 4y - 2 = 0$ có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{v} = (4; - 3)$ .

Ta có:

$\cos\varphi = |cos(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})|$

$\Leftrightarrow cos45^{0} = \frac{|\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}|}{|\overrightarrow{u}|.|\overrightarrow{v}|}$

$\Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{|4a + 6|}{5\sqrt{a^{2} + 4}}$

$\Leftrightarrow 5\sqrt{a^{2} + 4} = \sqrt{2}|4a + 6|$

$\Leftrightarrow 25a^{2} + 100 = 32a^{2} + 96a + 72$

$\Leftrightarrow 7a^{2} + 96a - 28 = 0\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}a = \dfrac{2}{7} \\a = - 14 \\\end{matrix}. ight.$

Vậy tích tất cả các giá trị của tham số a bằng -4.

Câu 22: Thông hiểu

Chọn đáp án thích hợp

Dựa vào thông tin dưới đây và trả lời các câu hỏi

Số lượng của một loại vi khuẩn X trong một phòng thí nghiệm được biểu diễn theo công thức $S(t) = A.e^{rt}$ , trong đó A là số lượng vi khuẩn tại thời điểm chọn mốc thời gian, r là tỉ lệ tăng trưởng (r > 0), t là thời gian tăng trưởng (tính theo đơn vị là giờ). Lúc 6 giờ sáng, số lượng vi khuẩn X là 150 con. Sau 3 giờ, số lượng vi khuẩn X là 450 con.

Thời điểm số lượng vi khuẩn X gấp 9 lần số lượng vi khuẩn ban đầu là:

A.
3 giờ.
B.
9 giờ.
C.
12 giờ.
D.
15 giờ.

Gọi $t_{1}$ là thời điểm số lượng vi khuẩn gấp 9 lần ban đầu.

Khi đó: $S\left( t_{1} ight) = 1350$ con.

Ta có phương trình:

$150.e^{\frac{ln3}{3}.t_{1}} = 1350 \Leftrightarrow e^{\frac{ln3}{3}.t_{1}} = 9 \Leftrightarrow \frac{ln3}{3}t_{1} = ln9 \Leftrightarrow t_{1} = 6.$

Câu 23: Thông hiểu

Tìm tọa độ điểm C’

Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hình hộp $ABCD.A^{'}B^{'}C^{'}D^{'}$ với các điểm $A( - 1;1;2)$ , $B( - 3;2;1)$ , $D(0; - 1;2)$ và $A^{'}(2;1;2)$ . Tìm tọa độ đỉnh $C^{'}$ .

A.
$C'(1;0;1)$ .
B.
$C'( - 3;1;3)$ .
C.
$C'( 0 ; 1; 0 )$ .
D.
$C'( - 1;3;1)$ .

Hình vẽ minh họa

.

Theo quy tắc hình hộp ta có: $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{AC'}$ .

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} x_{C^{'}} + 1 = 2 \\ y_{C^{'}} - 1 = - 1 \\ z_{C^{'}} - 2 = - 1 \\ \end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x_{C^{'}} = 1 \\ y_{C^{'}} = 0 \\ z_{C^{'}} = 1 \\ \end{matrix} \Rightarrow C'(1;0;1) ight.\ ight.$

Câu 24: Vận dụng

Ghi đáp án vào ô trống

Cho cấp số nhân $\left( u_{n} ight)$ thỏa mãn $2\left( u_{3} + u_{4} + u_{5} ight) = u_{6} + u_{7} + u_{8}$ . Tính $\frac{u_{8} + u_{9} + u_{10}}{u_{2} + u_{3} + u_{4}}$ ?

Đáp án: 4

Đáp án là:

Cho cấp số nhân $\left( u_{n} ight)$ thỏa mãn $2\left( u_{3} + u_{4} + u_{5} ight) = u_{6} + u_{7} + u_{8}$ . Tính $\frac{u_{8} + u_{9} + u_{10}}{u_{2} + u_{3} + u_{4}}$ ?

Đáp án: 4

Giả sử cấp số nhân có công bội là $q$ , khi đó theo bài ra ta có:

$2\left( u_{3} + u_{4} + u_{5} ight) =u_{6} + u_{7} + u_{8}$

$\Leftrightarrow 2\left( u_{3} + u_{3}q +u_{3}q^{2} ight) = u_{6} + u_{6}q + u_{6}q^{2}$

$\Leftrightarrow 2u_{3}\left( 1 + q + q^{2} ight) = u_{6}\left( 1 + q + q^{2} ight)$

$\Leftrightarrow 2u_{3} = u_{6}$ do $\ 1 + q + q^{2} > 0$

$\Leftrightarrow 2u_{3} = u_{3}q^{3} \Leftrightarrow u_{3}\left( 2 - q^{3} ight) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} u_{3} = 0 \\ q = \sqrt[3]{2} \\ \end{matrix} ight.$

Ta có:

$\frac{u_{8} + u_{9} + u_{10}}{u_{2} + u_{3} + u_{4}} = \frac{u_{8} + u_{8}q + u_{8}q^{2}}{u_{2} + u_{2}q + u_{2}q^{2}}$ $= \frac{u_{8}\left( 1 + q + q^{2} ight)}{u_{2}\left( 1 + q + q^{2} ight)} = \frac{u_{2}q^{6}}{u_{2}} = q^{6} = 4$

Câu 25: Thông hiểu

Tìm mốt của mẫu số liệu ghép nhóm

Một công ty xây dựng khảo sát khách hàng xem họ có nhu cầu mua nhà ở mức giá nào. Kết quả khảo sát được ghi lại ở bảng sau:

Mức giá (triệu đồng/m²)	[10; 14)	[14; 18)	[18; 22)	[22; 26)	[26; 30)
Số khách hàng	54	78	120	45	12

Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm trên gần bằng giá trị nào sau đây?

A.
20,4.
B.
19,4.
C.
21,4.
D.
18,4.

Nhóm chứa mốt của mẫu số liệu là nhóm [18;22).

Do đó: $u_{m} = 84;n_{m} = 24;n_{m - 1} = 20;n_{m + 1} = 15;u_{m + 1} = 86$ .

Vậy mốt của mẫu số liệu là:

$M_{0} = 18 + \frac{120 - 78}{(120 - 78) + (120 - 45)}.(22 - 18) \approx 19,4.$

Câu 26: Thông hiểu

Tìm tọa độ vecto

Trong không gian tọa độ Oxyz, cho ba vectơ $\overrightarrow{a} = (2; - 1;3),\overrightarrow{b} = (1; - 3;2),\overrightarrow{c} = (3;2; - 4)$ . Gọi $\overrightarrow{x}$ là vectơ thoả mãn: $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{x}.\overrightarrow{a} = - 5 \\ \overrightarrow{x}.\overrightarrow{b} = - 11 \\ \overrightarrow{x}.\overrightarrow{c} = 20 \\ \end{matrix} ight.$ . Tọa độ của vectơ $\overrightarrow{x}$ là:

A.
$(2; 3 ; 1)$ .
B.
$(2;3; - 2)$ .
C.
$(3;2; - 2)$ .
D.
$(1;3;2)$ .

Đặt $\overrightarrow{x} = (a;b;c)$ .

Ta có: $\left\{ \begin{matrix}\overrightarrow{x}.\overrightarrow{a} = - 5 \\\overrightarrow{x}.\overrightarrow{b} = - 11 \\\overrightarrow{x}.\overrightarrow{c} = 20 \\\end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}2a - b + 3c = - 5 \\a - 3b + 2c = - 11 \\3a + 2b - 4c = 20 \\\end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}a = 2 \\b = 3 \\c = - 2 \\\end{matrix} ight.\ ight.\ ight.$

Vậy $\overrightarrow{x} = (2;3; - 2)$ .

Câu 27: Nhận biết

Tìm nguyên hàm của hàm số

Nguyên hàm của hàm số $f(x) = 2^{x} + x$ là

A.
$2^{x} + x^{2} + C$ .
B.
$\frac{2^{x}}{ln2} + x^{2} + C$ .
C.
$2^{x} + \frac{x^{2}}{2} + C$ .
D.
$\frac{2^{x}}{ln2} + \frac{x^{2}}{2} + C$ .

Ta có: $\int_{}^{}f(x)dx = \int_{}^{}\left( 2^{x} + x ight)dx = \frac{2^{x}}{ln2} + \frac{x^{2}}{2} + C$ .

Câu 28: Vận dụng cao

Chọn đáp án thích hợp

Dựa vào thông tin dưới đây và trả lời các câu hỏi

Số lượng của một loại vi khuẩn X trong một phòng thí nghiệm được biểu diễn theo công thức $S(t) = A.e^{rt}$ , trong đó A là số lượng vi khuẩn tại thời điểm chọn mốc thời gian, r là tỉ lệ tăng trưởng (r > 0), t là thời gian tăng trưởng (tính theo đơn vị là giờ). Lúc 6 giờ sáng, số lượng vi khuẩn X là 150 con. Sau 3 giờ, số lượng vi khuẩn X là 450 con. Cùng thời điểm lúc 6 giờ, người ta đo được số lượng vi khuẩn Y là 300 con. Biết rằng số lượng vi khuẩn Y tăng 5% mỗi giờ. Hỏi vào lúc mấy giờ, số lượng vi khuẩn X bằng số lượng vi khuẩn Y.

A.
7 giờ.
B.
8 giờ.
C.
9 giờ.
D.
10 giờ.

Gọi sau x giờ thì số lượng vi khuẩn X bằng số lượng vi khuẩn Y.

Khi đó:

Số lượng vi khuẩn $X$ là: $S_{X} = 150.e^{\frac{ln3}{3}x}$ .

Số lượng vi khuẩn $Y$ là: $S_{Y} = 300(1 + 5\%)^{x}$ .

Để số lượng vi khuẩn $X$ bằng số lượng vi khuẩn $Y$ thì $S_{X} = S_{Y}$ .

$\begin{matrix} \Leftrightarrow 150.{e^{\frac{{\ln 3}}{3}x}} = 300.{(1 + 5\% )^x} \hfill \\ \Leftrightarrow {\left( {\frac{{{e^{\frac{{\ln 3}}{3}}}}}{{1 + 5\% }}} ight)^x} = 2 \Rightarrow x \approx 2,18. \hfill \\ \end{matrix}$

Vậy sau 2,18 giờ hay vào lúc 8 giờ 11 phút thì số lượng vi khuẩn $X$ bằng số lượng vi khuẩn $Y$ .

Câu 29: Thông hiểu

Xác định giá trị tham số m thỏa mãn yêu cầu

Tìm $m$ để góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{u} = \left(1;\log_{3}5;\log_{m}2 ight),\overrightarrow{v} = \left( 3;\log_{5}3;4ight)$ là góc nhọn.

A.
$m > \frac{1}{2},m eq1$ .
B.
$m > 1$ .
C.
$0 < m < \frac{1}{2}$ .
D.
$m > 1$ hoặc $0 < m < \frac{1}{2}$ .

Để $\left( {\widehat {\vec u,\vec v}} ight) < {90^0} \Rightarrow \cos \left( {\widehat {\vec u,\vec v}} ight) > 0$

$\Rightarrow\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} > 0 \Leftrightarrow 3 +\log_{3}5.\log_{5}3 + 4\log_{m}2 > 0$

$\Leftrightarrow 4 + 4log_{m}2 > 0 \Leftrightarrow log_{m}2 > - 1 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m > 1 \\ m < \frac{1}{2} \\ \end{matrix} ight.$ .

Kết hợp điều kiện $m > 0 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {m > 1} \\ {0 < m < \frac{1}{2}} \end{array}} ight.$

Câu 30: Thông hiểu

Chọn đáp án đúng

Trong không gian Oxyz, mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm $N( 3;-2; 6)$ và vuông góc với trục Ox có phương trình là:

A.
$x = - 3$
B.
$y = - 2$
C.
$z = 6$
D.
$x = 3$

Ta có: $\overrightarrow{u_{Ox}} = \overrightarrow{i} = (1;0;0)$ .

$Vì\ (P)\bot Ox\ nên\ \overrightarrow{n_{P}} = \overrightarrow{u_{Ox}} = (1;0;0).$

Phương trình mặt phẳng đi qua $N(3; - 2;6)$ và vuông góc với trục Ox có phương trình là:

$x - 3 = 0 \Leftrightarrow x = 3.$

Câu 31: Thông hiểu

Chọn đáp án thích hợp

Đợt xuất khẩu gạo của tính $B$ kéo dài trong 20 ngày. Người ta nhận thấy có lượng xuất khẩu gạo tính theo ngày thứ $t$ được xác định bởi công thức $S(t) = t^{3} - 24t^{2} + 144t + 2500$ . Hỏi trong mấy ngày đó, ngày thứ mấy có số lượng xuất khẩu gạo cao nhất?

A.
1
B.
12
C.
20
D.
4

Xét hàm số $S(t) = t^{3} - 24t^{2} + 144t + 2500$ với $1 \leq t \leq 20$ .

Ta có: $S^{'}(t) = 3t^{2} - 48t + 144$

$S^{'}(t) = 0 \Rightarrow 3t^{2} - 48t + 144 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} t = 4 \in \lbrack 1;20brack \\ t = 12 \in \lbrack 1;20brack \\ \end{matrix} ight.$

Lại có: $S(1) = 2621;S(4) = 2756;S(12) = 2500;S(20) = 3780$ .

Do đó: $\max_{\lbrack 1;20brack}S(t) = S(20) = 3780$ .

Vậy ngày thứ 20 là ngày có số lượng gạo xuất khẩu cao nhất.

Câu 32: Thông hiểu

Tìm hoành độ của điểm M

Trong mặt phẳng Oxy, điểm $M$ nằm trên đường tròn $(x + 3)^{2} + (y - 4)^{2} = 4$ sao cho độ dài đoạn thẳng OM là ngắn nhất. Hoành độ điểm $M$ là:

A.
$- \frac{9}{5}$ .
B.
$\frac{12}{5}$ .
C.
$- \frac{21}{5}$ .
D.
$\frac{9}{5}$ .

Đường tròn $(x + 3)^{2} + (y - 4)^{2} = 4$ có tâm $I( - 3;4)$ và bán kính $R = 2$ .

Phương trình đường thẳng OI đi qua $O(0;0)$ và nhận $\overrightarrow{OI} = ( - 3;4)$ làm VTCP là: $\left\{ \begin{matrix} x = - 3t \\ y = 4t \\ \end{matrix}\ \ \ \ (t\mathbb{\in R}) ight.$ .

Ta có: $OM \leq |OI - R| = 3$

Để OM ngắn nhất $\Leftrightarrow OM = 3$

Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow \overrightarrow{OM} = \frac{3}{5}\overrightarrow{OI} \Leftrightarrow M\left( - \frac{9}{5};\frac{12}{5} ight)$ .

Câu 33: Thông hiểu

Tính góc giữa hai đường thẳng

Cho tứ diện ABCD có độ dài các cạnh $AB = AC = AD = BC = BD = a$ và $CD = a\sqrt{2}$ . Tính góc giữa hai đường thẳng AD và BC.

A.
$90^{0}$ .
B.
$45^{0}$ .
C.
$30^{0}$ .
D.
$60^{0}$ .

Hình vẽ minh họa

Gọi I, K, H lần lượt là trung điểm các cạnh DC, DB, AB.

Khi đó: $KH//AD,KI//BC \Rightarrow (AD;BC) = (KH;KI)$ .

Xét $\Delta BIC,BI = \sqrt{BC^{2} - AC^{2}} = \sqrt{a^{2} - \frac{a^{2}}{2}} = \frac{a}{\sqrt{2}}$ .

Ta có $\left\{ \begin{matrix} AB\bot DH \\ AB\bot HC \\ \end{matrix} \Rightarrow AB\bot(DHC) \Rightarrow AB\bot HI ight.$ .

Xét $\Delta BIH,HI = \sqrt{IB^{2} - HB^{2}} = \sqrt{\frac{a^{2}}{2} - \frac{a^{2}}{4}} = \frac{a}{2}$ . (1)

Xét $\Delta IHK$ , ta có: $\left\{ \begin{matrix} IK = \frac{BC}{2} = \frac{a}{2} \\ HK = \frac{AD}{2} = \frac{a}{2} \\ \end{matrix} \Rightarrow IK = HK = \frac{a}{2} ight.$ . (2)

Từ $(1),(2) \Rightarrow HI = IK = HK \Rightarrow \Delta IHK$ là tam giác đều

$\Rightarrow \widehat{IKH} = 60^{0} \Rightarrow (KH;KI) = 60^{0}$ .

Câu 34: Thông hiểu

Ghi đáp án vào ô trống

Một viên đạn được bắn lên với tốc độ ban đầu $v = 196m/s$ từ mặt đất theo phương thẳng đứng. Biết phương trình chuyển động của viên đạn là $y = v_{0}t - 4,9t^{2}(m)$ , trong đó $t$ là khoảng thời gian tính bằng giây, trục Oy hướng lên theo phương thẳng đứng và gốc O là vị trí viên đạn được bắn lên. Bỏ qua sức cản của không khí. Hỏi tại thời điểm tốc độ của viên đạn bằng 0, viên đạn cách mặt đất bao nhiêu mét?

Đáp án: 1960 (m)

Đáp án là:

Một viên đạn được bắn lên với tốc độ ban đầu $v = 196m/s$ từ mặt đất theo phương thẳng đứng. Biết phương trình chuyển động của viên đạn là $y = v_{0}t - 4,9t^{2}(m)$ , trong đó $t$ là khoảng thời gian tính bằng giây, trục Oy hướng lên theo phương thẳng đứng và gốc O là vị trí viên đạn được bắn lên. Bỏ qua sức cản của không khí. Hỏi tại thời điểm tốc độ của viên đạn bằng 0, viên đạn cách mặt đất bao nhiêu mét?

Đáp án: 1960 (m)

Ta có vận tốc tại thời điểm t là:

$v = y'(t) = v_{0} - 2.4,9.t = v_{0} - 9,8t = 196 - 9,8t$

$v = 0 \Leftrightarrow 196 - 9,8t = 0\Leftrightarrow t = 20(s)$

Từ thời điểm $t = 20\ s$ , viên đạn bắt đầu rơi. Khi đó, viên đạn cách mặt đất:

$y_{(20)} = 196.20 - 4,9.20^{2} = 1960(m)$

Câu 35: Thông hiểu

Xác định tọa độ vector

Để theo dõi hành trình của một chiếc một chiếc máy bay, ta có thể lập hệ toạ độ Oxyz có gốc O trùng với vị trí của trung tâm kiểm soát không lưu, mặt phẳng (Oxy) trùng với mặt đất với trục Ox hướng về phía tây, trục Oy hướng về phía nam và trục Oz hướng thẳng đứng lên trời. Sau khi cất cánh và đạt độ cao nhất định, chiếc máy bay duy trì hướng bay về phía nam với tốc độ không đổi là 890 km/h trong nửa giờ. Xác định toạ độ của vectơ biểu diễn độ dịch chuyển của chiếc máy bay trong nửa giờ đó đối với hệ toạ độ đã chọn, biết rằng đơn vị đo trong không gian Oxyz được lấy theo km.

A.
(0;435;0).
B.
(455;0;0).
C.
(0;455;0).
D.
(435;0;0).

Quãng đường máy bay bay được với vận tốc 890km/h trong nửa giờ là:

$S = v.t = 890.\frac{1}{2} = 445\ \ (km).$

Vì máy bay duy trì hướng bay về phía nam nên toạ độ của vectơ biểu diễn độ dịch chuyển của chiếc máy bay trong nửa giờ đó với hệ toạ độ đã chọn là (0;445;0).

Câu 36: Vận dụng cao

Tính xác suất của biến cố

Một bài trắc nghiệm có 10 câu hỏi, mỗi câu hỏi có 4 phương án lựa chọn trong đó có 1 đáp án đúng được 5 điểm và mỗi câu trả lời sai bị trừ đi 2 điểm. Một học sinh không học bài nên đánh hàng loạt một câu trả lời. Tìm xác suất để học sinh này nhận điểm dưới 1.

A.
0,7124
B.
0,5256
C.
0,7336
D.
0,783

Xác suất để học sinh trả lời đúng 1 câu là $\frac{1}{4}$ và trả lời sai 1 câu là $\frac{3}{4}$ .

Gọi $x$ là số câu trả lời đúng $\Rightarrow 10 - x$ là số câu trả lời sai.

Số điểm học sinh đạt được là: $5x - 2.(10 - x) = 7x - 20$

Học sinh nhận được điểm dưới 1 khi $7x - 20 < 1 \Leftrightarrow x < 3$

Mà $x\mathbb{\in Z \Rightarrow}x \in \{ 0;1;2\}$

Gọi $A_{i}(i = 0,1,2)$ là biến cố: "Học sinh trả lời đúng $i$ câu"

$A$ là biến cố "Học sinh nhận điểm dưới 1"

Suy ra $A = A_{0} \cup A_{1} \cup A_{2}$ và $P(A) = P\left( A_{0}ight) + P\left( A_{1} ight) + P\left( A_{2} ight)$

Mà $P\left( A_{i} ight) = C_{10}^{i}.\left( \frac{1}{4} ight)^{i}.\left( \frac{3}{4} ight)^{10 - i}$ nên $P(A) = \sum_{i = 0,}^{2}C_{10}^{i}.\left( \frac{1}{4} ight)^{i}.\left( \frac{3}{4} ight)^{10 - i} = 0,5256$

Câu 37: Nhận biết

Xác định nguyên hàm

Tìm nguyên hàm $F(t) = \int_{}^{}txdt$ .

A.
$F(t) = x + t + C$
B.
$F(t) = \frac{x^{2}t}{2} + C$
C.
$F(t) = \frac{xt^{2}}{2}$ $+ C$
D.
$F(t) = \frac{(tx)^{2}}{2} + C$

Ta có:

$F(t) = \int_{}^{}txdt = x\int_{}^{}tdt = x.\frac{t^{2}}{2} + C$

Câu 38: Vận dụng

Tính thể tích quả bóng

Một quả bóng bầu dục có khoảng cách giữa 2 điểm xa nhất bằng 10 cm và cắt quả bóng bằng mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng đó thì được đường tròn có diện tích bằng $16\pi\left( \ cm^{2} ight)$ . Thể tích của quả bóng bằng (Tính gần đúng đến hai chữ số thập phân, đơn vị lít)

A.
0,15
B.
0,34
C.
0,32
D.
1

Quả bóng bầu dục sẽ có dạng elip.

Độ dài trục lớn bằng $20\ cm \Rightarrow2a = 20 \Rightarrow a = 5\ \ (cm)$

Ta có diện tích đường tròn thiết diện là

$S = \pi b^{2} = 16\pi \Rightarrow b =4(\ cm)$

Ta sẽ có phương trình elip $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{16} = 1$

$\Rightarrow V = \pi\int_{- 5}^{5}{16\left( 1 - \frac{x^{2}}{25} ight)}dx \approx 335\ \ \left( \ cm^{3} ight) = 0,34\ (l).$

Câu 39: Nhận biết

Chọn đáp án thích hợp

Một tổ chăm sóc khách hàng của một trung tâm điện tử gồm 12 nhân viên. Số cách phân công 3 nhân viên đi đến ba địa điểm khác nhau để chăm sóc khách hàng là

A.
1320.
B.
1230.
C.
220.
D.
1728.

Số cách xếp 3 nhân viên từ 12 nhân viên vào 3 vị trí khác nhau là: $A_{12}^{3} = 1320$ cách.

Câu 40: Nhận biết

Xác định tập nghiệm bất phương trình

Tập nghiệm của bất phương trình $x^{2} - x - 12 \leq 0$ là?

A.
$\lbrack - 3;4brack$
B.
$( - 3;4)$
C.
$( - \infty; - 3) \cup (4; + \infty)$
D.
$( - \infty; - 3brack \cup \lbrack 4; + \infty)$

Ta có $f(x) = x^{2} - x - 12 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 4 \\ x = - 3 \\ \end{matrix} ight.$

Bảng xét dấu:

Dựa vào bảng xét dấu $f(x) \leq 0 \Leftrightarrow - 3 \leq x \leq 4$ .

Câu 41: Vận dụng cao

Xác định số cực trị của hàm số

Cho hàm số $y = f(x)$ là một hàm đa thức có bảng xét dấu $f^{'}(x)$ như sau:

Số điểm cực trị của hàm số $g(x) = f\left( - 2x^{2} + |x| ight)$ .

A.
5.
B.
3.
C.
1.
D.
7.

Ta có $g(x) = f\left( - 2x^{2} + |x| ight) = f\left( - 2|x|^{2} + |x| ight)$ .

Số điểm cực trị của hàm số $h(|x|)$ bằng hai lần số điểm cực trị dương của hàm số $h(x)$ cộng thêm 1.

Xét hàm số $h(x) = f\left( - 2x^{2} + x ight)$

$\Rightarrow h'(x) = ( - 4x +1)f^{'}\left( - 2x^{2} + x ight) = 0$

$\Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}x = \dfrac{1}{4} \\- 2x^{2} + x = - 1 \\- 2x^{2} + x = 1 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}x = \dfrac{1}{4} \\x = 1 \\x = \dfrac{- 1}{2} \\\end{matrix} ight.$

Bảng xét dấu hàm số $h(x) = f\left( - 2x^{2} + x ight)$ :

Hàm số $h(x) = f\left( - 2x^{2} + x ight)$ có 2 điểm cực trị dương.

Vậy hàm số $g(x) = f\left( - 2x^{2} + |x| ight) = f\left( - 2|x|^{2} + |x| ight)$ có 5 điểm cực trị.

Câu 42: Nhận biết

Tính quãng đường trung bình

Mỗi ngày, bạn Chi đều đi bộ để rèn luyện sức khoẻ. Quãng đường đi bộ mỗi ngày (đơn vị: km) của bạn Chi được thống kê lại ở bảng sau:

Quãng đường trung bình mà bạn Chi chạy được là?

A.
3,41.
B.
3,39.
C.
3,45.
D.
3,36.

Ta có bảng tần số ghép nhóm chứa giá trị đại diện như sau:

Cỡ mẫu là: n = 3 + 6 + 5 + 4 + 2 = 20.

Số trung bình của mẫu số liệu là:

$\overline{x} = \frac{2,85.3 + 3,15.6 + 3,45.5 + 3,75.4 + 4,05.2}{20} = 3,39.$

Câu 43: Thông hiểu

Ghi đáp án vào ô trống

Cho hai mặt phẳng $(P):2x - y + 2z - 3 = 0$ và $(Q):x + my + z - 1 = 0$ . Tìm tham số $m$ để hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ vuông góc với nhau.

Đáp án: 4

Đáp án là:

Cho hai mặt phẳng $(P):2x - y + 2z - 3 = 0$ và $(Q):x + my + z - 1 = 0$ . Tìm tham số $m$ để hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ vuông góc với nhau.

Đáp án: 4

Ta có: $\overrightarrow{n_{P}} = (2; -1;2);\overrightarrow{n_{Q}} = (1;m;1)$

Để hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ vuông góc với nhau thì $\overrightarrow{n_{P}}\bot\overrightarrow{n_{Q}}$ .

$\Leftrightarrow 2.1 - 1.m + 2.1 = 0 \Leftrightarrow m = 4.$

Câu 44: Thông hiểu

Tính giá trị của biểu thức

Cho $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{f(x)dx = 6}$ . Tính $I =\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\lbrack 3f(x) - 2sinxbrack dx}$ .

A.
$I = 20$ .
B.
$I = 16$ .
C.
$I = 8$ .
D.
$I = 4$ .

Ta có:

$I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\lbrack 3f(x) - 2sinxbrack dx}$

$= 3\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{f(x)dx} - 2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\sin xdx} = 3.6 - 2 = 16.$

Câu 45: Nhận biết

Tính số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm

Thời gian chạy 50m của 20 học sinh được ghi lại trong bảng dưới đây:

Thời gian (giây)	8,3	8,4	8,5	8,7	8,8
Tần số	2	3	9	5	1

Số trung bình cộng thời gian chạy của học sinh là:

A.
8,54.
B.
4.
C.
8,50.
D.
8,53.

Số trung bình cộng thời gian chạy của học sinh là:

$\overline{x} = \frac{8,3.2 + 8,4.3 + 8,5.9 + 8,7.5 + 8,8.1}{20} = 8,53.$

Câu 46: Thông hiểu

Ghi đáp án vào ô trống

Cho phương trình $log_{\frac{1}{2}}(2x - m) + log_{2}(3 - x) = 0$ , m là tham số. Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để phương trình có nghiệm?

Đáp án: 5

Đáp án là:

Cho phương trình $log_{\frac{1}{2}}(2x - m) + log_{2}(3 - x) = 0$ , m là tham số. Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để phương trình có nghiệm?

Đáp án: 5

ĐKXĐ: $\left\{ \begin{matrix} 2x - m > 0 \\ 3 - x > 0 \\ \end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2x - m > 0 \\ x < 3 \\ \end{matrix} ight.\ ight.\ .$

Ta có:

$log_{\frac{1}{2}}(2x - m) + log_{2}(3 -x) = 0$

$\Leftrightarrow - log_{2}(2x - m) + log_{2}(3 - x) = 0$

$\Leftrightarrow log_{2}(2x - m) = log_{2}(3 - x)$

$\Leftrightarrow 2x - m = 3 - x \Leftrightarrow 3x = m + 3$

Để phương trình có nghiệm thì $m + 3 < 9 \Leftrightarrow m < 6$ .

Kết hợp điều kiện m là số nguyên dương ta có m ∈ {1;2;3;4;5}.

Vậy có 5 giá trị của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 47: Thông hiểu

Tính xác suất của biến cố

Hai xạ thủ cùng bắn, mỗi người một viên đạn vào bia một cách độc lập với nhau. Xác suất bắn trúng bia của hai xạ thủ lần lượt là $\frac{1}{3}$ và $\frac{1}{4}$ . Tính xác suất của biến cố có ít nhất một xạ thủ không bắn trúng bia.

A.
$\frac{1}{3}$
B.
$\frac{1}{6}$
C.
$\frac{11}{12}$
D.
$\frac{2}{3}$

Xác suất để xạ thủ thứ nhất bắn không trúng bia là: $1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ .

Xác suất để xạ thủ thứ hai bắn không trúng bia là: $1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ .

Gọi biến cố $A$ :"Có ít nhất một xạ thủ không bắn trúng bia ".

Khi đó biến cố $A$ có 3 khả năng xảy ra:

+) Xác suất người thứ nhất bắn trúng bia, người thứ hai không bắn trúng bia: $\frac{1}{3}.\frac{3}{4} = \frac{1}{4}$ .

+) Xác suất người thứ nhất không bắn trúng bia, người thứ hai bắn trúng bia: $\frac{2}{3}.\frac{1}{4} = \frac{1}{6}$ .

+) Xác suất cả hai người đều bắn không trúng bia: $\frac{2}{3}.\frac{3}{4} = \frac{1}{2}$

Khi đó $P(A) = \frac{1}{3}.\frac{3}{4} + \frac{2}{3}.\frac{1}{4} + \frac{2}{3}.\frac{3}{4} = \frac{11}{12}$ .

Câu 48: Thông hiểu

Chọn đáp án thích hợp

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình vuông $ABCD$ , $B(3;0;8),D( - 5; - 4;0)$ . Biết đỉnh $A$ thuộc mặt phẳng (Oxy) và có tọa độ là những số nguyên, khi đó $\left| \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{CB} ight|$ bằng:

A.
$6\sqrt{10}$
B.
$10\sqrt{6}$ .
C.
$10\sqrt{5}$ .
D.
$5\sqrt{10}$ .

Ta có trung điểm BD là $I( - 1; - 2;4),BD = 12$ và điểm $A$ thuộc mặt phẳng $(Oxy)$ nên $A(a;b;0)$ . Lại có: ABCD là hình vuông $\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} AB^{2} = AD^{2} \\ AI^{2} = \left( \frac{1}{2}BD ight)^{2} \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} (a - 3)^{2} + b^{2} + 8^{2} = (a + 5)^{2} + (b + 4)^{2} \\ (a + 1)^{2} + (b + 2)^{2} + 4^{2} = 36 \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} b = 4 - 2a \\ (a + 1)^{2} + (6 - 2a)^{2} = 20 \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 1 \\ b = 2 \\ \end{matrix} ight.$ hoặc $\left\{\begin{matrix}a = \frac{17}{5} \\b = \dfrac{- 14}{5} \\\end{matrix} ight.$

$\Rightarrow \left\lbrack \begin{matrix}A(1;2;0)(tm) \\A\left( \dfrac{17}{5};\dfrac{- 14}{5};0 ight)(ktm) \\\end{matrix} ight.$

$\Rightarrow A(1;2;0) \Rightarrow C( - 3; - 6;8) \Rightarrow \overrightarrow{CA} = (4;8; - 8);\overrightarrow{CB} = (6;6;0)$

$\Rightarrow \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{CB} = (10;14; - 8) \Rightarrow \left| \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{CB} ight| = 6\sqrt{10}$

Câu 49: Vận dụng

Chọn đáp án thích hợp

Nhiệt độ ngoài trời ở một thành phố vào các thời điểm khác nhau trong ngày có thể được mô phỏng bởi công thức $h(t)= 29 + 3.\sin\frac{\pi}{12}(t - 9)$ với $h$ tính bằng $\ ^{0}C$ và $t$ là thời gian trong ngày tính bằng giờ. Thời gian nhiệt độ cao nhất trong ngày là:

A.
13 giờ.
B.
15 giờ.
C.
12 giờ.
D.
14 giờ.

Do $- 1 \leq \sin\frac{\pi}{12}(t - 9) \leq 1,\forall t$ nên

$\begin{matrix}- 3 \leq 3\sin\dfrac{\pi}{12}(t - 9) \leq 3 \\\Leftrightarrow 26 \leq 29 + 3\sin\dfrac{\pi}{12}(t - 9) \leq 32 \\\Leftrightarrow 26 \leq h(t) \leq 32 \\\end{matrix}$

Do đó nhiệt độ cao nhất trong ngày là $32^{0}C$ .

Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow \sin\frac{\pi}{12}(t - 9) = 1 \Leftrightarrow \frac{\pi}{12}(t - 9) = \frac{\pi}{2} + k2\pi$ $\Leftrightarrow t = 15 + 24k(k\mathbb{\in Z})$

Do $0 \leq t \leq 24 \Leftrightarrow 0 \leq 15 + 24k \leq 24 \Leftrightarrow - \frac{15}{24} \leq k \leq \frac{9}{24}$ .

Mà $k\mathbb{\in Z}$ nên $k = 0$ .

Khi đó $t = 15$ .

Vậy lúc 15h là thời gian nhiệt độ cao nhất trong ngày.

Câu 50: Thông hiểu

Chọn đáp án thích hợp

Dựa vào thông tin dưới đây và trả lời các câu hỏi

Số lượng của một loại vi khuẩn X trong một phòng thí nghiệm được biểu diễn theo công thức $S(t) = A.e^{rt}$ , trong đó A là số lượng vi khuẩn tại thời điểm chọn mốc thời gian, r là tỉ lệ tăng trưởng (r > 0), t là thời gian tăng trưởng (tính theo đơn vị là giờ). Lúc 6 giờ sáng, số lượng vi khuẩn X là 150 con. Sau 3 giờ, số lượng vi khuẩn X là 450 con.

Tỉ lệ tăng trưởng của vi khuẩn X gần nhất với kết quả nào sau đây?

A.
0,35.
B.
0,36.
C.
0,37.
D.
0,38.

Chọn 6 giờ là mốc thời gian. Khi đó $A = 150$ .

Sau 3 giờ, số lượng vi khuẩn là 450 con nên $t = 3;S(3) = 450$ .

Từ đó ta có phương trình:

$150.e^{3r} = 450 \Leftrightarrow e^{3r} = 3 \Leftrightarrow r = \frac{ln3}{3} \approx 0,37.$

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Năm 2025

Năm 2024

Đánh giá Năng lực

Lớp 12

Lớp 12

Báo cáo kết quả của bài tập dự án

Trình bày báo cáo nghiên cứu về một vấn đề tự nhiên, xã hội

Trình bày kết quả của bài tập dự án

Viết thư trao đổi về công việc hoặc một vấn đề đáng quan tâm

Viết bài phát biểu trong lễ phát động một phong trào hoặc một hoạt động xã hội

Tranh biện về một vấn đề đời sống