Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm
Đóng
Điểm danh hàng ngày
  • Hôm nay +3
  • Ngày 2 +3
  • Ngày 3 +3
  • Ngày 4 +3
  • Ngày 5 +3
  • Ngày 6 +3
  • Ngày 7 +5
Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm!
Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169
VnDoc.com Lớp 12

Đề luyện thi đánh giá năng lực môn Toán năm 2025 Đề 3

Đóng
Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm
Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ
Mô tả thêm:

Cùng nhau thử sức với Đề thi đánh giá năng lực môn Toán năm 2025 nhé!
  • Số câu hỏi: 25 câu
  • Số điểm tối đa: 25 điểm
Bắt đầu làm bài
Bạn còn 1 lượt làm bài tập miễn phí. Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để học không giới hạn nhé! Bạn đã HẾT lượt làm bài tập miễn phí! Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để làm Trắc nghiệm không giới hạn và tải tài liệu nhanh nhé!
Mua ngay Đổi điểm
Trước khi làm bài bạn hãy
  • 1 Ôn tập kiến thức đã nêu trong phần Mô tả thêm
  • 2 Tìm không gian và thiết bị phù hợp để tập trung làm bài
  • 3 Chuẩn bị sẵn dụng cụ cần dùng khi làm bài như bút, nháp, máy tính
  • 4 Căn chỉnh thời gian làm từng câu một cách hợp lý
  • Câu 1: Vận dụng

    Tính quãng đường s của ô tô

    Một ô tô bắt đầu chuyển động nhanh dần đều với vận tốc v_{1}(t) = 2t(m/s). Đi được 12s, người lái xe gặp chướng ngại vật và phanh gấp, ô tô tiếp tục chuyển động chậm dần đều với gia tốc a = - 12\left( m/s^{2} ight). Tính quãng đường s (m) đi được của ô tô từ lúc bắt đầu chuyển động đến khi dừng hẳn?

    Giai đoạn 1: Xe bắt đầu chuyển động đến khi gặp chướng ngại vật.

    Quãng đường xe đi được là: S_{1} = \int_{0}^{12}{v_{1}(t)dt =}\int_{}^{}{2tdt = t^{2}\left| \begin{matrix} & 12 \\ \end{matrix}^{}0 ight.\ }012 = 144()m

    Giai đoạn 2: Xe gặp chướng ngại vật đến khi dừng hẳn.

    Ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc v_{2}(t) = \int a(t)dt = - 12t + c

    Vận tốc của xe khi gặp chướng ngại vật là: v_{2}(0) = v_{1}(12) = 2.12 = 24(m/s)

    \Rightarrow - 12.0 + c = 24 \Rightarrow c = 24 \Rightarrow v_{2}(t) = - 12t + 24

    Thời gian khi xe gặp chướng ngại vật đến khi xe dừng hẳn là nghiệm phương trình:

    - 12t + 24 = 0 \Leftrightarrow t = 2

    Khi đó, quãng đường xe đi được là: S_{2} = \int_{0}^{2}{v_{2}(t)dt} = \int_{0}^{2}{( - 12t + 24)dt} = \left( - 6t^{2} + 24t ight)\left| \begin{matrix} & 2 \\ \end{matrix}^{}0 ight.\ = 24()m

    Vậy tổng quãng đường xe đi được là: S = S1+S2 = 168(m)

  • Câu 2: Thông hiểu

    Viết phương trình đường thẳng

    Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P):2x + 2y - z - 3 = 0 và hai đường thẳng d_{1}:\frac{x - 1}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z + 1}{- 2},d_{2}:\frac{x - 2}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z + 1}{- 1}. Đường thẳng vuông góc với (P), đồng thời cắt cả d_{1} và d_{2} có phương trình là:

    Gọi đường thẳng cần tìm là d.

    Gọi A = d \cap d_{1} \Rightarrow A\left( 1 + t_{1};t_{1}; - 1 - 2t_{1} ight), gọi B = d \cap d_{2} \Rightarrow B\left( 2 + t_{2};2t_{2}; - 1 - t_{2} ight).

    Ta có: \overrightarrow{AB} = \left( t_{2} - t_{1} + 1;2t_{2} - t_{1}; - t_{2} + 2t_{1} ight).

    Mặt phẳng (P) có 1 VTPT là \overrightarrow{n}(2;2; - 1).

    Vì d\bot(P) nên \overrightarrow{AB} và \overrightarrow{n_{P}} cùng phương.

    \Rightarrow \frac{t_{2} - t_{1} + 1}{2} = \frac{2t_{2} - t_{1}}{2} = \frac{- t_{2} + 2t_{1}}{- 1}

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} t_{2} - t_{1} + 1 = 2t_{2} - t_{1} \\ 2t_{2} - t_{1} = 2t_{2} - 4t_{1} \\ \end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} t_{2} = 1 \\ t_{1} = 0 \\ \end{matrix} ight.\ ight.

    \Rightarrow A(1;0; - 1),B(3;2; - 2)

    \Rightarrow \overrightarrow{AB} = (2;2; - 1) là 1 VTCP của đường thẳng d.

    Vậy chỉ có đường thẳng ở đáp án A thỏa mãn.

  • Câu 3: Thông hiểu

    Tính thể tích hình H

    Một nút chai thủy tinh là khối tròn xoay (H ), một mặt phẳng chứa trục của (H ) cắt (H ) theo một thiết diện như trong hình vẽ bên. Tính thể tích V của (H ).

    Thể tích khối trụ là V_{tru} = B.h = \pi.1.5^{2}.4 = 9\pi

    Thể tích khối nón là V_{non} = \frac{1}{3}\pi.2^{2}.4 = \frac{16\pi}{3}

    Thể tích phần giao là: V_{p.giao} = \frac{1}{3}\pi.1^{2}.2 = \frac{2\pi}{3}

    Vậy V_{(H)} = 9\pi + \frac{16\pi}{3} - \frac{2\pi}{3} = \frac{41\pi}{3}

  • Câu 4: Vận dụng

    Chọn đáp án đúng

    Cho hàm số f(x) liên tục trên \mathbb{R} và có đồ thị như hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình f(f(cosx)) = m có nghiệm thuộc khoảng \left( \frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2} ight) ?

    Cho hàm số bậc ba y = f(x) có đồ thị là đường cong hình bên.

    Với x \in \left( \frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2} ight) thì \cos x \in \lbrack - 1;0) \Rightarrow f(cosx) \in \lbrack - 1;1) \Rightarrow f(f(cosx)) \in \lbrack - 1;3).

    Khi đó phương trình f(f(cosx)) = m có nghiệm thuộc khoảng x \in \left( \frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2} ight)

    \Leftrightarrow m \in \lbrack - 1;3).

    Mà m\mathbb{\in Z} nên m \in \{ - 1;0;1;2\}.

    Vậy có 4 giá trị m\mathbb{\in Z} thỏa mãn.

  • Câu 5: Vận dụng cao

    Tính giá trị biểu thức

    Trong không gian Oxyz, cho tứ diện có điểm A(1;0;-2), B(2;1;-1), C(1;-2;2), D(4;5;-7). Trên các cạnh AB, AC, AD lần lượt lấy các điểm B′, C′, D′ thoả mãn \frac{AB}{AB'} + \frac{AC}{AC'} + \frac{AD}{AD'} = 8 . Khi tứ diện AB′C′D′ có thể tích nhỏ nhất mặt phẳng (B′C′D′) có phương trình dạng 6x + my + nz + p = 0\left( m,n,p\mathbb{\in Z} ight) . Tính m^{2} - n - p

    Hình vẽ minh họa

    Ta có:

    \begin{matrix} \frac{V_{ABCD}}{V_{AB^{'}C^{'}D^{'}}} = \frac{AB}{AB^{'}}.\frac{AC}{AC^{'}}.\frac{AD}{AD^{'}} \leq \left( \frac{\frac{AB}{AB^{'}} + \frac{AC}{AC^{'}} + \frac{AD}{AD^{'}}}{3} ight)^{3} = \frac{512}{27} \\ \Rightarrow V_{AB^{'}C^{'}D^{'}} \geq \frac{27}{512}V_{ABCD} \\ \end{matrix}

    Dấu bằng xảy ra khi \frac{AB}{AB^{'}} = \frac{AC}{AC^{'}} = \frac{AD}{AD^{'}} = \frac{8}{3} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \left( B^{'}C^{'}D^{'} ight)//(BCD) \\ \overrightarrow{AB^{'}} = \frac{3}{8}\overrightarrow{AB} \\ \end{matrix} ight.

    Ta có: \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\overrightarrow {BC} = ( - 1; - 3;3)} \\ {\overrightarrow {BD} = (2;4; - 6)} \end{array} \Rightarrow {{\vec n}_{\left( {{B^\prime }{C^\prime }{D^\prime }} ight)}} = [\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {BD} ] = (6;0;2)} ight..

    Tiếp tục có: \overrightarrow{AB} = (1;1;1) nên \overrightarrow{AB^{'}} = \frac{3}{8}\overrightarrow{AB} = \left( \frac{3}{8};\frac{3}{8};\frac{3}{8} ight) \Rightarrow B^{'}\left( \frac{11}{8};\frac{3}{8}; - \frac{13}{8} ight).

    Khi đó phương trình mặt phẳng \left( B^{'}C^{'}D^{'} ight) là

    6\left( x - \frac{11}{8} ight) + 2\left( z + \frac{13}{8} ight) = 0 \Leftrightarrow 6x + 2z - 5 = 0

    Vậy m = 0,n = 2,p = - 5 \Rightarrow m^{2} - n - p = 3.

  • Câu 6: Vận dụng

    Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

    Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a, cạnh bên bằng 3a. Khoảng cách từ A đến (SCD) bằng

    Hình vẽ minh họa

    Gọi O = AC \cap BD \Rightarrow SO\bot(ABCD) \Rightarrow SO\bot CD (1)

    Gọi F là trung điểm của CD.

    Do ABCD là hình vuông nên OF\bot CD (2)

    Từ (1), (2) ta có CD\bot(SOF) \Rightarrow (SCD)\bot(SOF).

    Trong (SOF) kẻ OH\bot SF \Rightarrow OH\bot(SCD) \Rightarrow d(O,(SCD)) = OH.

    vì ABCD là hình vuông cạnh 2a nên AC = 2a\sqrt{2} \Rightarrow OC = a\sqrt{2}

    Tam giác SOC vuông tại O nên SO = \sqrt{SC^{2} - OC^{2}} = \sqrt{9a^{2} - 2a^{2}} = a\sqrt{7}.

    Tam giác DOC vuông cân tại O có OF là đường trung tuyến nên OF = \frac{DC}{2} = a

    Tam giác SOF vuông tại O có đường cao OH nên

    OH = \frac{SO.OF}{\sqrt{SO^{2} + OF^{2}}} = \frac{a\sqrt{7}.a}{\sqrt{7a^{2} + a^{2}}} = \frac{a\sqrt{14}}{4}.

    Ta có: AO \cap (SCD) = C \Rightarrow \frac{d(A,(SCD))}{d(O,(SCD))} = \frac{AC}{OC} = 2

    \Rightarrow d(A,(SCD)) = 2d(O,(SCD)) = \frac{a\sqrt{14}}{2}.

    Vậy khoảng cách từ A đến (SCD) bằng \frac{a\sqrt{14}}{2}.

  • Câu 7: Vận dụng

    Tìm khoảng chứa a

    Cho hàm số y = f(x) = \frac{1}{3}x^{3} + ax có đồ thị như hình vẽ bên. Gọi S_{1},S_{2} lần lượt là diện tích của hai hình phẳng được gạch chéo trong hình vẽ bên. Khi \frac{S_{1}}{S_{2}} = \frac{7}{40} thì a thuộc khoảng nào dưới đây?

    Ta có;

    S_{1} = \int_{- 1}^{0}\left( - \frac{1}{3}x^{3} - ax ight)dx = \left. \ \left( - \frac{x^{4}}{12} - \frac{ax^{2}}{2} ight) ight|_{- 1}^{0} = \frac{1}{12} + \frac{a}{2}

    S_{2} = \int_{0}^{2}\left( \frac{1}{3}x^{3} + ax ight)dx = \left. \ \left( \frac{x^{4}}{12} + \frac{ax^{2}}{2} ight) ight|_{0}^{2} = \frac{4}{3} + 2a

    \Rightarrow \dfrac{S_{1}}{S_{2}} =\dfrac{7}{40} \Rightarrow \dfrac{\dfrac{1}{12} + \dfrac{a}{2}}{\dfrac{4}{3} +2a} = \dfrac{7}{40}

    \Leftrightarrow \frac{10}{3} + 20a = \frac{28}{3} + 14a \Leftrightarrow a = \frac{8}{21}

    Vậy a \in \left( \frac{1}{3};\frac{1}{2} ight).

  • Câu 8: Thông hiểu

    Tính thể tích khối nón

    Thiết diện qua trục của một hình nón là một tam giác đều cạnh có độ dài bằng 2a. Thể tích của khối nón là

    Hình vẽ minh họa

    Xét hình nón như trong hình vẽ, có thiết diện qua trục là tam giác SAB đều cạnh 2a.

    Khi đó: R = OA = a,l = SA = 2a.

    \Rightarrow h = SO = \sqrt{l^{2} - R^{2}} = \sqrt{4a^{2} - a^{2}} = a\sqrt{3}.

    Thể tích của khối nón là V = \frac{1}{3}\pi R^{2}h = \frac{1}{3}\pi a^{2}.a\sqrt{3} = \frac{\pi a^{3}\sqrt{3}}{3}.

  • Câu 9: Vận dụng

    Chọn đáp án đúng

    Trên sân bay một máy bay cất cánh trên đường băng d (từ trái sang phải) và bắt đầu rời mặt đất tại điểm O. Gọi (P) là mặt phẳng vuông góc với mặt đất và cắt mặt đất theo giao tuyến là đường băng d của máy bay. Dọc theo đường băng d cách vị trí máy bay cất cánh O một khoảng 300 (m) về phía bên phải có 1 người quan sát A. Biết máy bay chuyền động trong mặt phẳng (P) và độ cao y của máy bay xác định bởi phương trình y = x^{2} (với x là độ dài của máy bay dọc theo đường thẳng d và tính từ O). Tính khoảng cách ngắn nhất từ người A (đứng cố định) đến máy bay.

    Xét hệ trục tọa độ Oxy với tọa độ O là vị trí máy bay rời mặt đất, trục Ox trùng đường thẳng d và chiều dương hướng sang phải, trục Oy vuông góc với mặt đất.

    Gọi B\left( t;t^{2} ight)(t \geq 0) là tọa độ của máy bay trong hệ tọa độ Oxy.

    Gọi A(3;0) là tọa độ của người A.

    Khoảng cách giữa người A và máy bay B là: AB = \sqrt{(3 - t)^{2} + t^{4}}.

    \Rightarrow AB^{2} = (3 - t)^{2} + t^{4} = t^{4} + t^{2} - 6t + 9.

    Đặt f(t) = t^{4} + t^{2} - 6t + 9(t \geq 0) ta có f'(t) = 4t^{3} + 2t - 6 = 0 \Leftrightarrow t = 1.

    Lập BBT \Rightarrow \min_{\ _{\lbrack 0; + \infty)}}f(t) = f(1) = 5 \Leftrightarrow t = 1.

    \Rightarrow AB_{\min} = \sqrt{2^{2} + 1^{4}} = \sqrt{5}

    Vậy khoảng cách ngắn nhất từ người A (đứng cố định) đến máy bay là 100\sqrt{5}(m).

  • Câu 10: Thông hiểu

    Chọn mệnh đề đúng

    Hình vẽ bên là đồ thị của hàm số y = \frac{ax + b}{cx + d}. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

    Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng x = - \frac{d}{c} < 0 \Rightarrow cd > 0.

    Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là đường thẳng y = \frac{a}{c} > 0 \Rightarrow ca > 0.

    Từ cd > 0,ca > 0 \Rightarrow ad > 0

    Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ x = - \frac{b}{a} > 0 \Rightarrow ab < 0.

  • Câu 11: Vận dụng

    Tìm các giá trị nguyên của tham số m

    Có bao nhiêu giá trị nguyên m để bất phương trình log_{2}^{2}x - (2m + 5)log_{2}x + m^{2} + 5m + 4 < 0

    có ít nhất một nghiệm nguyên và không quá 1791 nghiệm nguyên?

    ĐKXĐ: x > 0

    Đặt t = log_{2}x.

    Khi đó phương trình trở thành t^{2} - (2m + 5)t + m^{2} + 5m + 4 < 0

    \Leftrightarrow (t - m - 1)(t - m - 4) < 0

    \Leftrightarrow m + 1 < t < m + 4

    \Leftrightarrow m + 1 < log_{2}x < m + 4

    \Leftrightarrow 2^{m + 1} < x < 2^{m + 4}

    Để bất phương trình log_{2}^{2}x - (2m + 5)log_{2}x + m^{2} + 5m + 4 < 0 có ít nhất một nghiệm nguyên và không quá 1791 nghiệm nguyên thì

    1 < 2^{m + 4} - 2^{m + 1} \leq 1792

    \Leftrightarrow \frac{1}{14} < 2^{m} \leq 128

    \Leftrightarrow log_{2}\left( \frac{1}{14} ight) < m \leq 7

    \Leftrightarrow m \in \lbrack - 3;7brack

    Vậy có 11 giá trị của m thỏa mãn.

  • Câu 12: Thông hiểu

    Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng

    Cho chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a, tam giác SAC vuông cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính khoảng cách d giữa SC, AB.

    Hình vẽ minh họa

    Gọi H là trung điểm của AC

    Do tam giác SAC vuông cân tại S nên SH\bot AC

    Ta có: \left\{ \begin{matrix} SH\bot AC \\ (SAC)\bot(ABC) \Rightarrow SH\bot(ABC) \\ (SAC) \cap (ABC) \\ \end{matrix} ight.

    Kè CD//AB,CD = AB

    Khi đó d(AB,SC) = d(AB,(SCD)) = d(A,(SCD)) = 2d(H,(SCD)) (do H là trung điểm của AC)

    Kẻ HF⊥CD, F∈CD

    Mà SH\bot CD( do SH\bot(ABCD)

    \Rightarrow (SHF)\bot CD

    \Rightarrow (SHF)\bot(SCD)

    Trong (SHF) kẻ HP\bot SF \Rightarrow HP\bot(SCD) \Rightarrow d(H,(SCD)) = HP

    Ta có: tam giác SAC vuông cân tại S có trung tuyến SH

    \Rightarrow SH = AH = HC = \frac{AC}{2} = \frac{2a}{2} = a

    Tam giác HCF có \widehat{HCF} = 60^{0} \Rightarrow HF = HC.sin60^{0} = \frac{a\sqrt{3}}{2}

    Tam giác SHF vuông tại H có đường cao HP

    \Rightarrow HP = \frac{HF.HS}{\sqrt{HF^{2} + HS^{2}}} = \frac{\frac{a\sqrt{3}}{2} \cdot a}{\sqrt{\frac{3a^{2}}{4} + a^{2}}} = \frac{a\sqrt{21}}{7}

    Vậy khoảng cách d giữa SC, AB là \frac{2a\sqrt{21}}{7}.

  • Câu 13: Vận dụng

    Tìm x

    Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh 2016(cm). Người ta cắt ở bốn góc của tấm nhôm đó bốn hình vuông bằng nhau, mỗi hình vuông có cạnh bằng x (cm), rồi gập tấm nhôm lại như hình vẽ dưới đây để được một cái hộp không nắp. Tìm x để hộp nhận được có thể tích lớn nhất.

    Ta có:

    V = x(2016 - 2x)(2016 - 2x)

    ÐKXÐ:\ \left\{ \begin{matrix} x > 0 \\ 2016 - 2x > 0 \\ \end{matrix} \Leftrightarrow 0 < x < 1008 ight.

    Xét y = x(2016 - 2x)(2016 - 2x) = x(2016 - 2x)^{2}

    = x\left\lbrack (2016)^{2} - 8064 + 4x^{2} ightbrack = 4x^{3} - 8064x^{2} + (2016)^{2}x

    y' = 12x^{2} - 16128x + (2016)^{2} = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 1008 & (L) \\ x = 336 & (TM) \\ \end{matrix} ight.

    Bảng xét dấu

    Để thể tích hộp lớn nhất thì x = 336.

  • Câu 14: Vận dụng

    Chọn đáp án đúng

    Một sinh viên ra trường đi làm ngày 1/1/2020 với mức lương khởi điểm là a đồng mỗi tháng và cứ sau 2 năm lại được tăng thêm 10% và chi tiêu hàng tháng của anh ta là 40% lương. Anh ta dự định mua một căn hộ chung cư giá rẻ có giá trị tại thời điểm 1/1/2020 là 1 tỷ đồng và cũng sau 2 năm thì giá trị căn hộ tăng thêm 5%. Với a bằng bao nhiêu thì sau đúng 10 năm anh ta mua được căn hộ đó, biết rằng mức lương và mức tăng giá trị ngôi nhà là không đổi (kết quả quy tròn đến hàng nghìn đồng).

    Áp dụng công thức P = P_{0}(1 + r)^{n}.

    Giá trị ngôi nhà sau 10 năm là: P = 10^{9}(1 + 0,05)^{5} = 10^{9}.1,05^{5} đồng.

    Sau khi chi tiêu mỗi thàng thì số tiền người sinh viên còn lại là 60\% lương.

    Trong 2 năm 2020 – 2021: số tiền có được là: 0,6a.24(đồng).

    Trong 2 năm 2022 – 2023: số tiền có được là: 0,6a(1+0,1).24 (đồng) 

    Trong 2 năm 2024 – 2025: số tiền có được là: 0,6a(1+0,1)2.24 (đồng) 

    Trong 2 năm 2026 – 2027: số tiền có được là: 0,6a(1+0,1)3.24 (đồng) 

    Trong 2 năm 2028 – 2029: số tiền có được là: 0,6a(1+0,1)4.24 (đồng) 

    ⇒Tổng số tiền người sinh viên có trong 10 năm là:

    0,6a.24 + 0,6a(1 + 0,1).24 + 0,6a(1 + 0,1)^{2}.24 + 0,6a(1 + 0,1)^{3}.24 + 0,6a(1 + 0,1)^{4}.24

    = 0,6a.24\left\lbrack 1 + (1 + 0,1) + (1 + 0,1)^{2} + (1 + 0,1)^{3} + (1 + 0,1)^{4} ightbrack

    = 14,4a\left( 1 + 1,1 + 1,1^{2} + 1,1^{3} + 1,1^{4} ight)

    = 14,4a.\frac{1.\left( 1 - 1,1^{5} ight)}{1 - 1,1} = 87,91344a

    Để sau đúng 10 năm anh ta mua được căn hộ đó thì:

    87,91344a = 10^{9}.(1,05)^{5} \Leftrightarrow a = 14.517.000(đồng)

  • Câu 15: Thông hiểu

    Tính độ dài đường cao

    Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC;A(2;1;1);B(1;2;1);C(1;1;2). Độ dài đường cao kẻ từ A của tam giác là:

    Ta có:

    AB = \sqrt{(1 - 2)^{2} + (2 - 1)^{2} + (1 - 1)^{2}} = \sqrt{2}

    AC = \sqrt{(1 - 2)^{2} + (1 - 1)^{2} + (2 - 1)^{2}} = \sqrt{2}

    BC = \sqrt{(1 - 1)^{2} + (1 - 2)^{2} + (2 - 1)^{2}} = \sqrt{2}

    \Rightarrow AB = AC = BC

    Suy ra, tam giác ABC đều nên độ dài đường cao kẻ từ A là: AH = \frac{\sqrt{2}.\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{6}}{2}

  • Câu 16: Thông hiểu

    Tính giá trị biểu thức

    Số phức z1 là nghiệm có phần ảo dương của phương trình bậc hai z^{2} - 2z + 2 = 0. Môđun của số phức (2 - i)z_{1} bằng:

    Ta có: z^{2} - 2z + 2 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} z = 1 + i \\ z = 1 - i \\ \end{matrix} ight..

    Vì z_{1} là nghiệm có phần ảo dương của phương trình bậc hai z^{2} - 2z + 2 = 0 nên z_{1} = 1 + i.

    Vậy \left| (2 - i)z_{1} ight| = |2 - i|.\left| z_{1} ight| = \sqrt{2^{2} + ( - 1)^{2}}.\sqrt{1^{2} + 1^{2}} = \sqrt{10}.

  • Câu 17: Thông hiểu

    Tính xác suất của biến cố

    Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5. Gọi S là tập hợp số tự nhiên có năm chữ số trong đó chữ số 3 có mặt 3 lần, các chữ số khác có mặt đúng 1 lần. Chọn ngẫu nhiên trong tập S một số, tính xác suất để số được chọn chia hết cho 3.

    - Chọn 2 chữ số từ 4 chữ số 1, 2, 4, 5 có C_{4}^{2} = 6 cách

    - Sắp xếp 2 chữ số vừa chọn từ các chữ số 1, 2, 4, 5 với 3 chữ số 3 ta có 5! cách xếp.

    Tuy nhiên các chữ số 3 ở đây đã hoán vị cho nhau 3! lần mà số trên vẫn không đổi nên có \frac{5!}{3!} = 20cách xếp

    - Theo quy tắc nhân ta có |S| = 6.20 = 120

    Gọi A là biến cố mà số được chọn chia hết cho 3.

    Do số được chọn có 3 chữ số 3 nên chỉ cần tổng của 2 chữ số còn lại chia hết cho 3 thì nó sẽ chia hết cho 3

    Ta có các cặp số có tổng chia hết cho 3 từ các chữ số 1, 2, 4, 5 là (1,5),(2,4),(5,1),(4,2)

    Khi đó: |A| = 4.20 = 80

    Vậy xác suất để số được chọn chia hết cho 3 từ tập S là \frac{80}{120} = \frac{2}{3}.

  • Câu 18: Vận dụng

    Tìm số điểm cực trị

    Cho hàm số bậc bốn y = f(x) có đồ thị như hình vẽ bên

    Số điểm cực trị của hàm số g(x) = f\left( x^{3} - 3x ight) là

    Ta có:

    g(x) = f\left( x^{3} - 3x ight) \Rightarrow g^{'}(x) = \left( 3x^{2} - 3 ight)f^{'}\left( x^{3} - 3x ight)

    Cho g^{'}(x) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = \pm 1 \\ f^{'}\left( x^{3} - 3x ight) = 0 \\ \end{matrix} ight..

    Dựa vào đồ thị hàm số f(x) ta thấy: Hàm số có 3 điểm cực trị \left\lbrack \begin{matrix} x = a \in ( - 4; - 2) \\ x = b \in ( - 2;0) \\ x = c \in (0;2) \\ \end{matrix} ight..

    Do đó g^{'}(x) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = \pm 1 \\ x^{3} - 3x = a \in ( - 4; - 2)\ \ \ (1) \\ x^{3} - 3x = b \in ( - 2;0)\ \ \ \ \ \ \ (2) \\ x^{3} - 3x = c \in (0;2)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (3) \\ \end{matrix} ight.

    Ta có đồ thị của hàm số y = x^{3} - 3x

    Dựa vào đồ thị ta thấy

    Phương trình (1) có 1 nghiệm đơn khác ±1.

    Phương trình (2) có 3 nghiệm đơn phân biệt khác ±1.

    Phương trình (3) có 3 nghiệm đơn phân biệt khác ±1.

    Suy ra phương trình g′(x)=0 có 9 nghiệm phân biệt.

    Vậy hàm số g(x) có 9 điểm cực trị.

  • Câu 19: Vận dụng

    Tính số tiền nợ

    Ông Thành vay ngân hàng 2,5 tỷ đồng và trả góp hàng tháng với lãi suất 0,51%. Hàng tháng, ông Thành trả 50 triệu đồng (bắt đầu thừ khi vay). Hỏi sau 36 tháng thì số tiền ông Thành còn nợ là bao nhiêu (làm tròn đến hàng triệu)?

    Số tiền còn nợ sau tháng thứ nhất là:

    (2500 - 50)(1 + 0,51\%) = 2500(1 + 0,51\%) - 50(1 + 0,51\%) (triệu đồng)

    Số tiền còn nợ sau tháng thứ hai là:

    \lbrack 2500(1 + 0,51\%) - 50(1 + 0,51\%) - 50brack.(1 + 0,51\%)

    = 2500(1 + 0,51\%)^{2} - 50(1 + 0,51\%)^{2} - 50(1 + 0,51\%)

    = 2500(1 + 0,51\%)^{2} - 50(1 + 0,51\%)\lbrack 1 + (1 + 0,51\%)brack

    …

    Số tiền còn nợ sau 36 tháng là:

    2500(1 + 0,51\%)^{36} - 50(1 + 0,51\%)\lbrack 1 + (1 + 0,51\%) + ... + (1 + 0,51\%)^{35}brack

    = 2500(1 + 0,51\%)^{36} - 50(1 + 0,51\%).\frac{1\lbrack 1 - (1 + 0,51\%)^{36}brack}{1 - (1 + 0,51\%)}

    ≈ 1022 (triệu đồng)

  • Câu 20: Vận dụng

    Tìm các số nguyên x thỏa mãn yêu cầu

    Có bao nhiêu số nguyên x thỏa mãn \left( 4^{x} - 5.2^{x + 2} + 64 ight)\sqrt{2 - \log(4x)} \geq 0?

    Điều kiện: \left\{ \begin{matrix} x > 0 \\ 2 - \ lo\ g\ (4x) \geq 0 \\ \end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x > 0 \\ log(4x) \leq 2 \\ \end{matrix} ight.\ ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x > 0 \\ 4x \leq 10^{2} \\ \end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x > 0 \\ x \leq 25 \\ \end{matrix} \Leftrightarrow 0 < x \leq 25. ight.\ ight.

    Ta có:

    \left( 4^{x} - 5.2^{x + 2} + 64 ight)\sqrt{2 - log(4x)} \geq 0\ (1)

    Nếu x = 25, thay vào ta thấy thỏa mãn bất phương trình (1)

    Nếu 0 < x < 25.

    Do \sqrt{2 - log(4x)} \geq 0 nên (1)\Leftrightarrow 4^{x} - 5.2^{x + 2} + 64 \geq 0 \Leftrightarrow \left( 2^{x} ight)^{2} - 20.2^{x} + 64 \geq 0

    \Leftrightarrow \left( 2^{x} - 4 ight)\left( 2^{x} - 16 ight) \geq 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} 2^{x} \geq 16 \\ 2^{x} \leq 4 \\ \end{matrix} \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x \geq 4 \\ x \leq 2 \\ \end{matrix} ight.\ ight.

    Kết hợp điều kiện 0 < x < 25 ta có: 0 < x \leq 2 và 4 \leq x < 25.

    Do đó tập nghiệm của bất phương trình đã cho là 0 < x \leq 2 và 4 \leq x \leq 25 nên số nguyên x thỏa mãn là tập S = \{ 1;2;4;5;,,,,,;25\}.

    Vậy có 24 giá trị nguyên x thỏa mãn đề bài.

  • Câu 21: Vận dụng

    Chọn đáp án đúng

    Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [-10;10] để hàm số y = \frac{2cosx - 6}{3cosx - m} nghịch biến trên khoảng \left( 0;\frac{\pi}{3} ight)?

    Đặt \cos x = t,t \in \left( \frac{1}{2};1 ight).

    Ta có y = \cos x nghịch biến trên \left( 0;\frac{\pi}{3} ight).

    Khi đó bài toán trở thành tìm giá trị của tham số m để hàm số y = \frac{2t - 6}{3t - m} đồng biến trên \left( \frac{1}{2};1 ight).

    Ta có: y = \frac{2t - 6}{3t - m}

    ĐKXĐ: m \in \left( - \infty;\frac{3}{2} ightbrack \cup \lbrack 3; + \infty).

    Với m \in \left( - \infty;\frac{3}{2} ightbrack \cup \lbrack 3; + \infty):y^{'} = \frac{18 - 2m}{(3t - m)^{2}}

    Cho y^{'} = 0 \Leftrightarrow m = 9. Khi đó dấu xảy ra tại vô hạn điểm.

    Như vậy để hàm số hàm số y = \frac{2t - 6}{3t - m} đồng biến trên \left( \frac{1}{2};1 ight)

    \Leftrightarrow y^{'} > 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \frac{18 - 2m}{(3t - m)^{2}} > 0 \\ m \in \left( - \infty;\frac{3}{2} ightbrack \cup \lbrack 3; + \infty) \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m < 9 \\ m \in \left( - \infty;\frac{3}{2} ightbrack \cup \lbrack 3; + \infty) \\ \end{matrix} \Leftrightarrow m \in \left( - \infty;\frac{3}{2} ightbrack \cup \lbrack 3;9) ight.

    Mà m\mathbb{\in Z},m \in \lbrack - 10;10brack nên m \in \{ - 10; - 9;\ldots;0;1\} \cup \{ 3;4;\ldots;8\}

    Vậy có 18 giá trị tham số m thỏa mãn.

  • Câu 22: Vận dụng cao

    Tính diện tích hình phẳng

    Gọi (C) là tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn\left| z + \overline{z} - 4 ight| + 4\left| z - \overline{z} ight| = 8. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) là:

    Gọi z = x + yi \Rightarrow \overline{z} = x - yi, theo bài ra ta có:

    |x + yi + x - yi - 4| + 4|x + yi - x + yi| = 8

    \Leftrightarrow |2x - 4| + 4|2yi| = 8

    \Leftrightarrow |x - 2| + 4|y| = 4

    \Leftrightarrow |y| = \left\{ \begin{matrix} 1 - \frac{1}{4}(x - 2)\ \ \ \ khi\ x \geq 2 \\ 1 + \frac{1}{4}(x - 2)\ \ \ \ khi\ \ \ x < 2 \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow |y| = \left\{ \begin{matrix} \frac{3}{2} - \frac{1}{4}x\ khi\ x \geq 2 \\ \frac{1}{2} + \frac{1}{4}x\ khi\ x < 2 \\ \end{matrix} ight.

    Vẽ đồ thị hàm số ta được:

    ⇒(C) là hình thoi ABCD như hình vẽ, có 2 đường chéo AC = 2, BD = 8.

    Vậy S_{(C)} = \frac{1}{2}.2.8 = 8.

  • Câu 23: Thông hiểu

    Chọn đáp án thích hợp

    Cho tập hợp A ={1;2;3;4;5;6;7;8}. Từ tập hợp A có thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số đôi một khác nhau sao cho các số này lẻ và không chia hết cho 5?

    Gọi số có 8 chữ số là \overline{a_{1}a_{2}...a_{8}}.

    Vì số lập được là số lẻ không chia hết cho 5 nên a8 ∈{1;3;7}⇒ Có 3 cách chọn a8.

    Số cách chọn a1,a2,...,a7 từ tập 7 chữ số còn lại khác a8 là 7! = 5040 cách.

    Vậy số các số gồm 8 chữ số đôi một khác nhau sao cho các số này lẻ và không chia hết cho 5 là 3.5040 = 15120

  • Câu 24: Vận dụng

    Tìm các giá trị nguyên của tham số m

    Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình 3^{3x} - 5.3^{2x} + 3.3^{x} + 1 - m = 0 có 3 nghiệm phân biệt x_{1},x_{2},x_{3} sao cho x_{1} < 0 \leq x_{2} < 1 < x_{3} là:

    Đặt 3^{x} = t(t > 0). Phương trình đã cho trở thành t^{3} - 5t^{2} + 3t + 1 - m = 0 \Leftrightarrow m = t^{3} - 5t^{2} + 3t + 1 = f(t).

    Để phương trình ban đầu có 3 nghiệm phân biệt x_{1},x_{2},x_{3} sao cho x_{1} < 0 \leq x_{2} < 1 < x_{3} thì phương trình (*) có 3 nghiệm phân biệt t_{1},t_{2},t_{3} tương ứng thỏa mãn 0 < t_{1} \leq 1 < t_{2} < 3 < t_{3}.

    Xét hàm số f(t) = t^{3} - 5t^{2} + 3t + 1 có f^{'}(t) = 3t^{2} - 10t + 3 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} t = 3 \\ t = \frac{1}{3} \\ \end{matrix} ight., ta có BBT:

    Dựa vào BBT ta thấy không có giá trị nào của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

  • Câu 25: Thông hiểu

    Chọn đáp án đúng

    Một khối cầu ngoại tiếp khối lập phương. Tỉ số giữa khối cầu và khối lập phương là

    Hình vẽ minh họa

    Cho hình lập phương ABCD A'B'C'D' cạnh a.Xác định tâm và bán kính mặt cầu đi qua 8 đỉnh của hình lập phương đã cho Bạn nào có tâm giải giúp mình

    Gọi hình lập phương có các đỉnh như hình.

    Gọi O là tâm hình lập phương. Khi đó O là tâm ngoại tiếp của khối lập phương.

    Bán kính của khối cầu R = OA = \frac{AC^{'}}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{2}.

    Thể tích khối cầu là V_{1} = \frac{4}{3}\pi R^{3} = \frac{4}{3}\pi\left( \frac{a\sqrt{3}}{2} ight)^{3} = \frac{\pi\sqrt{3}a^{3}}{2}.

    Thể tích khối lập phương là V_{2} = a^{3}.

    Tỉ số thể tích giữa khối cầu và khối lập phương là \frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{\frac{\pi\sqrt{3}a^{3}}{2}}{a^{3}} = \frac{\pi\sqrt{3}}{2}

Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đề luyện thi đánh giá năng lực môn Toán năm 2025 Đề 3 Kết quả
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu đã làm: 0
  • Điểm tạm tính: 0
  • Điểm thưởng: 0
Xem đáp án Làm lại
Tải file làm trên giấy
1
30 Bài viết đã được lưu
Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi
Đề luyện thi đánh giá năng lực môn Toán năm 2025 Đề 3
Thời gian: 00:00:00 Số câu đã làm 0/25
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
Chưa làm Đã làm
Làm lại Nộp bài
Tìm bài trong mục này