Giải Toán 10 Bài 2: Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn CD

Giải Toán 10 sách Cánh diều

1 122

Giải Toán 10 CD Bài 2: Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Bài 1 trang 29 SGK Toán 10 CD Tập 1
Bài 2 trang 29 SGK Toán 10 CD Tập 1
Bài 3 trang 29 SGK Toán 10 CD Tập 1
Bài 4 trang 29 SGK Toán 10 CD Tập 1

Giải Toán 10 Bài 2: Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn CD vừa được VnDoc.com sưu tầm và xin gửi tới bạn đọc cùng tham khảo. Bài viết sẽ hướng dẫn bạn đọc trả lời các câu hỏi trong SGK Toán 10. Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết bài viết dưới đây.

Bài 1 trang 29 SGK Toán 10 CD Tập 1

Kiểm tra xem mỗi cặp số (x; y) đã cho có là nghiệm của hệ bất phương trình tương ứng không?

a. $\left\{\begin{array}{l}3\;x\;+\;2\;y\;\geq\;-\;6\\3\;x\;+\;2\;y\;\geq\;-\;6\;x\;+\;4\;y\;>\;4\end{array}\right.\;(0;\;2),\;(1;\;0);$

b. $\left\{\begin{array}{l}4\;x\;+\;y\;\leq\;-\;3\\-\;3\;x\;+\;5\;y\;\geq\;-\;12\end{array}\right.\;(–\;1;\;–\;3),\;(0;\;–\;3).$

Lời giải

a. $\left\{\begin{array}{l}3\;x\;+\;2\;y\;\geq\;-\;6\;(\;1\;)\;\\x\;+\;4\;y\;>\;4\;(\;2\;)\end{array}\right.$

+ Xét cặp số (0; 2), thay x = 0, y = 2 vào từng bất phương trình của hệ đã cho, ta có:

(1): 3 . 0 + 2 . 2 ≥ – 6 là mệnh đề đúng;

(2): 0 + 4 . 2 > 4 là mệnh đề đúng.

Vậy (0; 2) là nghiệm chung của (1) và (2) nên (0; 2) là nghiệm của hệ bất phương trình.

+ Xét cặp số (1; 0), thay x = 1, y = 0 vào từng bất phương trình của hệ đã cho ta có:

(1): 3 . 1 + 2 . 0 ≥ – 6 là mệnh đề đúng;

(2): 1 + 4 . 0 > 4 là mệnh đề sai.

Vậy (1; 0) không là nghiệm của (2) nên (1; 0) không là nghiệm của hệ bất phương trình.

b. $\left\{\begin{array}{l}4\;x\;+\;y\;\leq\;-\;3\;(\;3\;)\;\\-\;3\;x\;+\;5\;y\;\geq\;-\;12\;(\;4\;)\end{array}\right.$

+ Xét cặp số (– 1; – 3), thay x = – 1, y = – 3 vào từng bất phương trình của hệ, ta có:

(3): 4 . (– 1) + (– 3) ≤ – 3 (do 4 . (– 1) + (– 3) = – 7 < – 3) là mệnh đề đúng;

(4): (– 3) . (– 1) + 5 . (– 3) ≥ – 12 (do (– 3) . (– 1) + 5 . (– 3) = – 12) là mệnh đề đúng.

Vậy (– 1; – 3) là nghiệm chung của (3) và (4) nên (– 1; – 3) là nghiệm của hệ bất phương trình.

+ Xét cặp số (0; – 3), thay x = 0, y = – 3 vào từng bất phương trình của hệ đã cho ta có:

(3): 4 . 0 + (– 3) ≤ – 3 là mệnh đề đúng;

(4): (– 3) . 0 + 5 . (– 3) ≥ – 12 là mệnh đề sai.

Vậy (0; – 3) không là nghiệm của (2) nên không là nghiệm của hệ bất phương trình.

Bài 2 trang 29 SGK Toán 10 CD Tập 1

Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình:

a. $\left\{\begin{array}{l}x\;+\;2\;y\;<\;-\;4\\\;y\;\geq\;x\;+\;5\end{array}\right.$

b. $\left\{\begin{array}{l}4\;x\;-\;2\;y\;>\;8\\x\;\geq\;0\;\\y\;\leq\;0\end{array}\right.$

Lời giải

a. $\left\{\begin{array}{l}x\;+\;2\;y\;<\;-\;4\;\\y\;\geq\;x\;+\;5\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x\;+\;2\;y\;<\;-\;4\;\;\;\\-\;x\;+\;y\;\geq\;5\end{array}\right.$

+ Trên cùng một mặt phẳng tọa độ Oxy, vẽ các đường thẳng:

d₁: x + 2y = – 4;

d₂: – x + y = 5.

+ Gạch đi các phần không thuộc miền nghiệm của mỗi bất phương trình.

Giải Toán 10 Bài 2

Miền nghiệm của hệ bất phương trình là phần không gạch sọc trên hình bao gồm một phần đường biên d₂, không bao gồm đường biên d₁.

b. $\left\{\begin{array}{l}4\;x\;-\;2\;y\;>\;8\\x\;\geq\;0\\y\;\leq\;0\end{array}\right.$

+ Trên cùng một mặt phẳng tọa độ Oxy, vẽ các đường thẳng:

d₁: 4x – 2y = 8;

d₂: x = 0 là trục tung;

d₃: y = 0 là trục hoành.

+ Gạch đi các phần không thuộc miền nghiệm của mỗi bất phương trình.

Giải Toán 10 Bài 2

Miền nghiệm của hệ bất phương trình là phần không gạch sọc trên hình bao gồm một phần trục tung, trục hoành và không bao gồm đường thẳng d₁.

Bài 3 trang 29 SGK Toán 10 CD Tập 1

Miền không bị gạch trong mỗi Hình 12a, 12b là miền nghiệm của hệ bất phương trình nào cho ở dưới đây?

Giải Toán 10 Bài 2

a. $\left\{\begin{array}{l}x\;+\;y\;\leq\;2\\\;x\;\geq\;-\;3\\\;y\;\geq\;-\;1\end{array}\right.$

b. $\left\{\begin{array}{l}y\;\leq\;x\\\;x\;\leq\;0\;\\y\;\geq\;-\;3\end{array}\right.$

c. $\left\{\begin{array}{l}y\;\geq\;-\;x\;+\;1\;\\x\;\leq\;2\\y\;\leq\;1\end{array}\right.$

Lời giải

* Quan sát Hình 12a, đặt tên các đường thẳng như trên hình:

Giải Toán 10 Bài 2

+ Đường thẳng d₁ đi qua điểm (2; 0) và song song với trục tung, do đó phương trình đường thẳng d₁: x = 2.

+ Đường thẳng d₂ đi qua điểm (1; 0) và song song với trục hoành, do đó phương trình đường thẳng d₂: y = 1.

+ Giả sử d₃: y = ax + b (a ≠ 0)

Ta thấy đường thẳng d₃ đi qua 2 điểm (0; 1) và (1; 0). Thay tọa độ của mỗi điểm vào phương trình ta được: b = 1 và a + b = 0. Suy ra a = – 1 (t/m) và b = 1.

Khi đó, d₃: y = – x + 1.

Do đó, ta thấy phần không gạch sọc trên hình chính là miền nghiệm của hệ c)

$\left\{\begin{array}{l}y\;\geq\;-\;x\;+\;1\\\;x\;\leq\;2\\\;y\;\leq\;1\end{array}\right.$

* Quan sát Hình 12b, đặt tên các đường thẳng như hình:

Giải Toán 10 Bài 2

+ Đường thẳng d₄ đi qua điểm (– 3; 0) và song song với trục tung nên d₄: x = – 3.

+ Đường thẳng d₅ đi qua điểm (0; – 1) và song song với trục hoành nên d₅: y = – 1.

+ Đường thẳng d₆đi qua hai điểm (2; 0) và (0; 2).

Giả sử d6: y = ax + b (a ≠ 0)

Thay tọa độ các điểm (2; 0) và (0; 2) vào phương trình đường thẳng ta tìm được a = – 1 (t/m) và b = 2.

Khi đó, d₆: y = – x + 2 ⇔ x + y = 2.

Do đó, ta thấy phần không gạch sọc trên hình chính là miền nghiệm của hệ a)

$\left\{\begin{array}{l}x\;+\;y\;\leq\;2\\\;x\;\geq\;-\;3\\\;y\;\geq\;-\;1\end{array}\right.$

Bài 4 trang 29 SGK Toán 10 CD Tập 1

Một phân xưởng sản xuất hai kiểu mũ. Thời gian để làm ra một chiếc mũ kiểu thứ nhất nhiều gấp hai lần thời gian làm ra chiếc mũ kiểu thứ hai. Nếu chỉ sản xuất toàn kiểu mũ thứ hai thì trong 1 giờ phân xưởng làm được 60 chiếc. Phân xưởng làm việc không quá 8 tiếng mỗi ngày và thị trường tiêu thụ tối đa trong một ngày là 200 chiếc mũ kiểu thứ nhất và 240 chiếc mũ kiểu thứ hai. Tiền lãi khi bán một chiếc mũ kiểu thứ nhất là 24 nghìn đồng, một chiếc mũ kiểu thứ hai là 15 nghìn đồng. Tính số lượng mũ kiểu thứ nhất và kiểu thứ hai trong một ngày mà phân xưởng cần sản xuất để tiền lãi thu được là cao nhất.

Lời giải

Gọi x, y lần lượt là số lượng mũ kiểu thứ nhất và kiểu thứ hai trong một ngày mà phân xưởng cần sản xuất để tiền lãi thu được cao nhất. (Điều kiện: x ∈ N, y ∈ N x ∈ ℕ, y ∈ ℕ)

Trong một ngày thị trường tiêu thụ tối đa 200 chiếc mũ kiểu thứ nhất và 240 chiếc mũ kiểu thứ hai nên ta có: 0 ≤ x ≤ 200; 0 ≤ y ≤ 240.

Tiền lãi khi bán một chiếc mũ kiểu thứ nhất là 24 nghìn và một chiếc mũ kiểu thứ hai là 15 nghìn nên tổng số tiền lãi khi bán mũ là T = 24x + 15y.

Nếu chỉ sản xuất toàn kiểu mũ thứ hai thì trong một giờ phân xưởng làm được 60 chiếc nên thời gian để làm một chiếc mũ kiểu thứ hai là $\frac1{60}$ (giờ).

Thời gian làm ra một chiếc kiểu mũ thứ nhất nhiều gấp hai lần thời gian làm ra một chiếc mũ kiểu thứ hai nên thời gian để làm một chiếc mũ kiểu thứ nhất là 2. $\frac1{60}$ = $\frac1{30}$ (giờ).

Thời gian để làm x chiếc mũ kiểu thứ nhất là $\frac1{30}$ x (giờ).

Thời gian để làm y chiếc mũ kiểu thứ hai là $\frac1{60}$ y (giờ).

Tổng thời gian để làm hai loại mũ trong một ngày là $\frac1{30}$ x+ $\frac1{60}$ (giờ).

Vì một ngày phân xưởng làm việc không quá 8 tiếng nên $\frac1{30}$ x+ $\frac1{60}$ y ≤ 8 ⇔ 2x + y ≤ 480

Khi đó bài toán đã cho đưa về: Tìm x, y là nghiệm của hệ bất phương trình

$\left\{\begin{array}{l}2\;x\;+\;y\;\leq\;480\;\;\\0\;\leq\;x\;\leq\;200\\0\;\leq\;y\;\leq\;240\end{array}\right.(I)$

sao cho T = 24x + 15y có giá trị lớn nhất.

Trước hết, ta xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình (I).

Miền nghiệm của hệ bất phương trình (I) là miền ngũ giác ACDEO với A (0; 240), C (120; 240), D (200; 80), E (200; 0), O (0; 0) (hình dưới).

(A là giao điểm của trục tung và đường thẳng y = 240; C là giao điểm của đường thẳng y = 240 và 2x + y = 480, D là giao điểm của đường thẳng 2x + y = 480 và x = 200, E là giao điểm của trục hoành và đường thẳng x = 200).

Giải Toán 10 Bài 2

Người ta chứng minh được: Biểu thức T = 24x + 15y có giá trị lớn nhất tại một trong các đỉnh của ngũ giác ACDEO.

Tính giá trị của biểu thức T = 24x + 15y tại các cặp số (x; y) là tọa độ các đỉnh của ngũ giác ACDEO:

+ Tại đỉnh A: T = 24 . 0 + 15 . 240 = 3600

+ Tại đỉnh C: T = 24 . 120 + 15 . 240 = 6480

+ Tại đỉnh D: T = 24 . 200 + 15 . 80 = 6000

+ Tại đỉnh E: T = 24 . 200 + 15 . 0 = 4800

+ Tại đỉnh O: T = 0

Có 0 < 3600 < 4800 < 6000 < 6480

So sánh giá trị của biểu thức T tại các đỉnh, ta thấy T đạt giá trị lớn nhất bằng 6480 khi x 120 và y = 240 ứng với tọa độ đỉnh C.

Vậy để tiền lãi thu được là cao nhất, trong một ngày xưởng cần sản xuất 120 chiếc mũ kiểu thứ nhất và 240 chiếc mũ kiểu thứ hai. Khi đó tiền lãi là 6480 nghìn đồng hay 6 480 000 đồng.

Trên đây VnDoc.com vừa gửi tới bạn đọc bài viết Giải Toán 10 Bài 2: Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn CD. Hi vọng qua bài viết này bạn đọc có thêm nhiều tài liệu để học tập tốt hơn môn Toán lớp 10 CD. Mời các bạn cùng tham khảo thêm tài liệu học tập các môn Ngữ văn 10 CD, Tiếng Anh lớp 10...