Giải Toán 10 Bài 1: Giá trị lượng giác của một góc từ 0 độ đến 180 độ. Định lý côsin và định lý sin trong tam giác CD

Giải Toán 10 sách Cánh Diều

Giải Toán 10 Bài 1 Chương 4 CD

Bài 1 trang 71 SGK Toán 10 CD
Bài 2 trang 71 SGK Toán 10 CD
Bài 3 trang 71 SGK Toán 10 CD
Bài 4 trang 71 SGK Toán 10 CD
Bài 5 trang 71 SGK Toán 10 CD
Bài 6 trang 71 SGK Toán 10 CD
Bài 7 trang 71 SGK Toán 10 CD
Bài 8 trang 71 SGK Toán 10 CD

Giải Toán 10 Bài 1: Giá trị lượng giác của một góc từ 0 độ đến 180 độ. Định lý côsin và định lý sin trong tam giác CD được VnDoc.com sưu tầm và xin gửi tới bạn đọc cùng tham khảo.

Bài 1 trang 71 SGK Toán 10 CD

Cho tam giác ABC có $AB = 3,5;\;AC = 7,5;\;\widehat A = {135^o}$ $AB = 3,5;\;AC = 7,5;\;\widehat A = {135^o}$ . Tính độ dài cạnh BC và bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Lời giải

Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC ta có:

$B{C^2} = A{C^2} + A{B^2} - 2AC.AB.\cos A$ $B{C^2} = A{C^2} + A{B^2} - 2AC.AB.\cos A$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow B{C^2} = 7,{5^2} + 3,{5^2} - 2.7,5.3,5.\cos {135^o}\\ \Leftrightarrow B{C^2} \approx 105,6\\ \Leftrightarrow BC \approx 10,3\end{array}$ $\begin{array}{l} \Leftrightarrow B{C^2} = 7,{5^2} + 3,{5^2} - 2.7,5.3,5.\cos {135^o}\\ \Leftrightarrow B{C^2} \approx 105,6\\ \Leftrightarrow BC \approx 10,3\end{array}$

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC ta có: $\frac{{BC}}{{\sin A}} = 2R$ $\frac{{BC}}{{\sin A}} = 2R$

$\Rightarrow R = \frac{{BC}}{{2.\sin A}} = \frac{{10,3}}{{2.\sin {{135}^o}}} \approx 7,3$ $\Rightarrow R = \frac{{BC}}{{2.\sin A}} = \frac{{10,3}}{{2.\sin {{135}^o}}} \approx 7,3$

Bài 2 trang 71 SGK Toán 10 CD

Cho tam giác ABC có $\widehat B = {75^o},\widehat C = {45^o}$ $\widehat B = {75^o},\widehat C = {45^o}$ và BC = 50. Tính độ dài cạnh AB.

Lời giải

Ta có: $\widehat B = {75^o},\widehat C = {45^o} \Rightarrow \widehat A = {180^o} - \left( {{{75}^o} + {{45}^o}} \right) = {60^o}$ $\widehat B = {75^o},\widehat C = {45^o} \Rightarrow \widehat A = {180^o} - \left( {{{75}^o} + {{45}^o}} \right) = {60^o}$

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC ta có:

$\frac{{AB}}{{\sin C}} = \frac{{BC}}{{\sin A}}$ $\frac{{AB}}{{\sin C}} = \frac{{BC}}{{\sin A}}$

$\Rightarrow AB = \sin C.\frac{{BC}}{{\sin A}} = \sin {45^o}.\frac{{50}}{{\sin {{60}^o}}} \approx 40,8$ $\Rightarrow AB = \sin C.\frac{{BC}}{{\sin A}} = \sin {45^o}.\frac{{50}}{{\sin {{60}^o}}} \approx 40,8$

Vậy độ dài cạnh AB là 40,8.

Bài 3 trang 71 SGK Toán 10 CD

Cho tam giác ABC có $AB = 6,AC = 7,BC = 8$ . Tính $\cos A,\sin A$ $\cos A,\sin A$ và bán kính R của đường trong ngoại tiếp tam giác ABC.

Lời giải

Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC ta có:

$B{C^2} = A{C^2} + A{B^2} - 2.AC.AB.\cos A$ $B{C^2} = A{C^2} + A{B^2} - 2.AC.AB.\cos A$

$\Rightarrow \cos A = \frac{{A{C^2} + A{B^2} - B{C^2}}}{{2.AB.AC}} = \frac{{{7^2} + {6^2} - {8^2}}}{{2.7.6}} = \frac{1}{4}$ $\Rightarrow \cos A = \frac{{A{C^2} + A{B^2} - B{C^2}}}{{2.AB.AC}} = \frac{{{7^2} + {6^2} - {8^2}}}{{2.7.6}} = \frac{1}{4}$

Lại có: ${\sin ^2}A + {\cos ^2}A = 1 \Rightarrow \sin A = \sqrt {1 - {{\cos }^2}A} (do {0^o} < A \le {90^o})$ ${\sin ^2}A + {\cos ^2}A = 1 \Rightarrow \sin A = \sqrt {1 - {{\cos }^2}A} (do {0^o} < A \le {90^o})$

$\Rightarrow \sin A = \sqrt {1 - {{\left( {\frac{1}{4}} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt {15} }}{4}$ $\Rightarrow \sin A = \sqrt {1 - {{\left( {\frac{1}{4}} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt {15} }}{4}$

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC ta có: $\frac{{BC}}{{\sin A}} = 2R$ $\frac{{BC}}{{\sin A}} = 2R$

$\Rightarrow R = \frac{{BC}}{{2.\sin A}} = \frac{8}{{2.\frac{{\sqrt {15} }}{4}}} = \frac{{16\sqrt {15} }}{{15}}.$ $\Rightarrow R = \frac{{BC}}{{2.\sin A}} = \frac{8}{{2.\frac{{\sqrt {15} }}{4}}} = \frac{{16\sqrt {15} }}{{15}}.$

Vậy $\cos A = \frac{1}{4};\sin A = \frac{{\sqrt {15} }}{4};R = \frac{{16\sqrt {15} }}{{15}}.$ $\cos A = \frac{1}{4};\sin A = \frac{{\sqrt {15} }}{4};R = \frac{{16\sqrt {15} }}{{15}}.$

Bài 4 trang 71 SGK Toán 10 CD

Tính giá trị đúng của các biểu thức sau (không dùng máy tính cầm tay):

$a)\ A = \cos {0^o} + \cos {40^o} + \cos {120^o} + \cos {140^o}$ $a)\ A = \cos {0^o} + \cos {40^o} + \cos {120^o} + \cos {140^o}$

$b)\ B = \sin {5^o} + \sin {150^o} - \sin {175^o} + \sin {180^o}$ $b)\ B = \sin {5^o} + \sin {150^o} - \sin {175^o} + \sin {180^o}$

$c)\ C = \cos {15^o} + \cos {35^o} - \sin {75^o} - \sin {55^o}$ $c)\ C = \cos {15^o} + \cos {35^o} - \sin {75^o} - \sin {55^o}$

$d)\ D = \tan {25^o}.\tan {45^o}.\tan {115^o}$ $d)\ D = \tan {25^o}.\tan {45^o}.\tan {115^o}$

$e)\ E = \cot {10^o}.\cot {30^o}.\cot {100^o}$ $e)\ E = \cot {10^o}.\cot {30^o}.\cot {100^o}$

Lời giải

$a)\ A = \cos {0^o} + \cos {40^o} + \cos {120^o} + \cos {140^o}$ $a)\ A = \cos {0^o} + \cos {40^o} + \cos {120^o} + \cos {140^o}$

Tra bảng giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt, ta có:

$\cos {0^o} = 1;\;\cos {120^o} = - \frac{1}{2}$ $\cos {0^o} = 1;\;\cos {120^o} = - \frac{1}{2}$

Lại có: $\cos {140^o} = - \cos \left( {{{180}^o} - {{40}^o}} \right) = - \cos {40^o}$ $\cos {140^o} = - \cos \left( {{{180}^o} - {{40}^o}} \right) = - \cos {40^o}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow A = 1 + \cos {40^o} + \left( { - \frac{1}{2}} \right) - \cos {40^o}\\ \Leftrightarrow A = \frac{1}{2}.\end{array}$ $\begin{array}{l} \Rightarrow A = 1 + \cos {40^o} + \left( { - \frac{1}{2}} \right) - \cos {40^o}\\ \Leftrightarrow A = \frac{1}{2}.\end{array}$

$b)\ B = \sin {5^o} + \sin {150^o} - \sin {175^o} + \sin {180^o}$ $b)\ B = \sin {5^o} + \sin {150^o} - \sin {175^o} + \sin {180^o}$

Tra bảng giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt, ta có:

$\sin {150^o} = \frac{1}{2};\;\sin {180^o} = 0$ $\sin {150^o} = \frac{1}{2};\;\sin {180^o} = 0$

Lại có: $\sin {175^o} = \sin \left( {{{180}^o} - {{175}^o}} \right) = \sin {5^o}$ $\sin {175^o} = \sin \left( {{{180}^o} - {{175}^o}} \right) = \sin {5^o}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow B = \sin {5^o} + \frac{1}{2} - \sin {5^o} + 0\\ \Leftrightarrow B = \frac{1}{2}.\end{array}$ $\begin{array}{l} \Rightarrow B = \sin {5^o} + \frac{1}{2} - \sin {5^o} + 0\\ \Leftrightarrow B = \frac{1}{2}.\end{array}$

$c)\ C = \cos {15^o} + \cos {35^o} - \sin {75^o} - \sin {55^o}$ $c)\ C = \cos {15^o} + \cos {35^o} - \sin {75^o} - \sin {55^o}$

Ta có: $\sin {75^o} = \cos\left( {{{90}^o} - {{75}^o}} \right) = \cos {15^o}; \sin {55^o} = \cos\left( {{{90}^o} - {{55}^o}} \right) = \cos {35^o}$ $\sin {75^o} = \cos\left( {{{90}^o} - {{75}^o}} \right) = \cos {15^o}; \sin {55^o} = \cos\left( {{{90}^o} - {{55}^o}} \right) = \cos {35^o}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow C = \cos {15^o} + \cos {35^o} - \cos {15^o} - \cos {35^o}\\ \Leftrightarrow C = 0.\end{array}$ $\begin{array}{l} \Rightarrow C = \cos {15^o} + \cos {35^o} - \cos {15^o} - \cos {35^o}\\ \Leftrightarrow C = 0.\end{array}$

$d)\ D = \tan {25^o}.\tan {45^o}.\tan {115^o}$ $d)\ D = \tan {25^o}.\tan {45^o}.\tan {115^o}$

Ta có: $\tan {115^o} = - \tan \left( {{{180}^o} - {{115}^o}} \right) = - \tan {65^o}$ $\tan {115^o} = - \tan \left( {{{180}^o} - {{115}^o}} \right) = - \tan {65^o}$

Mà: $\tan {65^o} = \cot \left( {{{90}^o} - {{65}^o}} \right) = \cot {25^o}$ $\tan {65^o} = \cot \left( {{{90}^o} - {{65}^o}} \right) = \cot {25^o}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow D = \tan {25^o}.\tan {45^o}.\cot {25^o}\\ \Leftrightarrow D = \tan {45^o} = 1\end{array}$ $\begin{array}{l} \Rightarrow D = \tan {25^o}.\tan {45^o}.\cot {25^o}\\ \Leftrightarrow D = \tan {45^o} = 1\end{array}$

$e)\ E = \cot {10^o}.\cot {30^o}.\cot {100^o}$ $e)\ E = \cot {10^o}.\cot {30^o}.\cot {100^o}$

Ta có: $\cot {100^o} = - \cot \left( {{{180}^o} - {{100}^o}} \right) = - \cot {80^o}$ $\cot {100^o} = - \cot \left( {{{180}^o} - {{100}^o}} \right) = - \cot {80^o}$

Mà: $\cot {80^o} = \tan \left( {{{90}^o} - {{80}^o}} \right) = \tan {10^o}$ $\cot {80^o} = \tan \left( {{{90}^o} - {{80}^o}} \right) = \tan {10^o}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow E = \cot {10^o}.\cot {30^o}.\tan {10^o}\\ \Leftrightarrow E = \cot {30^o} = \sqrt 3 .\end{array}$ $\begin{array}{l} \Rightarrow E = \cot {10^o}.\cot {30^o}.\tan {10^o}\\ \Leftrightarrow E = \cot {30^o} = \sqrt 3 .\end{array}$

Bài 5 trang 71 SGK Toán 10 CD

Cho tam giác ABC. Chứng minh:

$a)\ \sin \frac{A}{2} = \cos \frac{{B + C}}{2}$ $a)\ \sin \frac{A}{2} = \cos \frac{{B + C}}{2}$

$b)\ \tan \frac{{B + C}}{2} = \cot \frac{A}{2}$ $b)\ \tan \frac{{B + C}}{2} = \cot \frac{A}{2}$

Lời giải

Xét tam giác ABC, ta có:

$\widehat A + \widehat B + \widehat C = {180^o} \Rightarrow \frac{{\widehat A}}{2} + \frac{{\widehat B + \widehat C}}{2} = {90^o}$ $\widehat A + \widehat B + \widehat C = {180^o} \Rightarrow \frac{{\widehat A}}{2} + \frac{{\widehat B + \widehat C}}{2} = {90^o}$

Do đó $\frac{{\widehat A}}{2}$ $\frac{{\widehat A}}{2}$ và $\frac{{\widehat B + \widehat C}}{2}$ $\frac{{\widehat B + \widehat C}}{2}$ là hai góc phụ nhau.

a) Ta có: $\sin \frac{A}{2} = \cos \left( {{{90}^o} - \frac{A}{2}} \right) = \cos \frac{{B + C}}{2}$ $\sin \frac{A}{2} = \cos \left( {{{90}^o} - \frac{A}{2}} \right) = \cos \frac{{B + C}}{2}$

b) Ta có: $\tan \frac{{B + C}}{2} = \cot \left( {{{90}^o} - \frac{{B + C}}{2}} \right) = \cot \frac{A}{2}$ $\tan \frac{{B + C}}{2} = \cot \left( {{{90}^o} - \frac{{B + C}}{2}} \right) = \cot \frac{A}{2}$

Bài 6 trang 71 SGK Toán 10 CD

Để đo khoảng cách từ vị trí A đến vị trí B ở hai bên bờ một cái ao, bạn An đi dọc bờ ao từ vị trí A đến vị trí C và tiến hành đo các góc BAC, BCA. Biết AC = 25 m, $\widehat {BAC} = 59,{95^o};\;\widehat {BCA} = 82,{15^o}$ $\widehat {BAC} = 59,{95^o};\;\widehat {BCA} = 82,{15^o}$. Hỏi khoảng cách từ vị trí A đến vị trí B là bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

Giải Toán 10 Bài 1 CD

Lời giải

Xét tam giác ABC, ta có: $\widehat {BAC} = 59,{95^o};\;\widehat {BCA} = 82,{15^o}.$ $\widehat {BAC} = 59,{95^o};\;\widehat {BCA} = 82,{15^o}.$

$\Rightarrow \widehat {ABC} = {180^o} - \left( {59,95 + 82,{{15}^o}} \right) = 37,{9^o}$ $\Rightarrow \widehat {ABC} = {180^o} - \left( {59,95 + 82,{{15}^o}} \right) = 37,{9^o}$

Áp dụng định lí sin trong tam giác BAC ta có: $\frac{{AB}}{{\sin C}} = \frac{{AC}}{{\sin B}}$ $\frac{{AB}}{{\sin C}} = \frac{{AC}}{{\sin B}}$

$\Rightarrow AB = \sin C.\frac{{AC}}{{\sin B}} = \sin 82,{15^o}.\frac{{25}}{{\sin {37,9^o}}} \approx 40,32$ $\Rightarrow AB = \sin C.\frac{{AC}}{{\sin B}} = \sin 82,{15^o}.\frac{{25}}{{\sin {37,9^o}}} \approx 40,32$

Vậy khoảng cách từ vị trí A đến vị trí B là 40,32 m.

Bài 7 trang 71 SGK Toán 10 CD

Hai tàu đánh cá cùng xuất phát từ bến A và đi thẳng đều về hai vùng biển khác nhau, theo hai hướng tạo với nhau góc ${75^o}$ ${75^o}$ . Tàu thứ nhất chạy với tốc độ 8 hải lí một giờ và tàu thứ hai chạy với tốc độ 12 hải lí một giờ. Sau 2,5 giờ thì khoảng cách giữa hai tàu là bao nhiêu hải lí (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?

Lời giải

Gọi B, C lần lượt là vị trí của tàu thứ nhất và tàu thứ hai sau 2,5 giờ.

Giải Toán 10 Bài 1 CD

Sau 2,5 giờ:

Quãng đường tàu thứ nhất đi được là: AB = 8.2,5 = 20 (hải lí)

Quãng đường tàu thứ hai đi được là: AC = 12.2,5 = 30 (hải lí)

Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC ta có:

$B{C^2} = A{C^2} + A{B^2} - 2.AC.AB.\cos A$ $B{C^2} = A{C^2} + A{B^2} - 2.AC.AB.\cos A$

$\begin{array}{l} \Rightarrow B{C^2} = {30^2} + {20^2} - 2.30.20.\cos {75^o}\\ \Rightarrow B{C^2} \approx 989,4\\ \Rightarrow BC \approx 31,5\end{array}$ $\begin{array}{l} \Rightarrow B{C^2} = {30^2} + {20^2} - 2.30.20.\cos {75^o}\\ \Rightarrow B{C^2} \approx 989,4\\ \Rightarrow BC \approx 31,5\end{array}$

Vậy hai tàu cách nhau 31,5 hải lí.

Bài 8 trang 71 SGK Toán 10 CD

Bạn A đứng ở đỉnh của tòa nhà và quan sát chiếc diều, nhận thấy góc nâng (góc nghiêng giữa phương từ mắt của bạn A tới chiếc diều và phương nằm ngang) là $\alpha = {35^o}$ $\alpha = {35^o}$ ; khoảng cách từ đỉnh tòa nhà tới mắt bạn A là 1,5 m. Cùng lúc đó ở dưới chân tòa nhà, bạn B cũng quan sát chiếc diều và thấy góc nâng là $\beta = {75^o}$ $\beta = {75^o}$ ; khoảng cách từ mặt đất đến mắt bạn B cũng là 1,5 m. Biết chiều cao của tòa nhà là h = 20 m (Hình 17). Chiếc diều bay cao bao nhiêu mét so mặt đất (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

Giải Toán 10 Bài 1 CD

Lời giải

Gọi các điểm:

O là vị trí của chiếc diều.

H là hình chiếu vuông góc của chiếc diều trên mặt đất.

C, D lần lượt là hình chiếu vuông góc của A, B trên OH.

Giải Toán 10 Bài 1 CD

Đặt OC = x, suy ra OH = x + 20 + 1,5 =x + 21,5.

Xét tam giác OAC, ta có: $\tan \alpha = \frac{{OC}}{{AC}} \Rightarrow AC = \frac{{OC}}{{\tan \alpha }} = \frac{x}{{\tan {{35}^o}}}$ $\tan \alpha = \frac{{OC}}{{AC}} \Rightarrow AC = \frac{{OC}}{{\tan \alpha }} = \frac{x}{{\tan {{35}^o}}}$

Xét tam giác OBD, ta có: $\tan \beta = \frac{{OD}}{{BD}} \Rightarrow BD = \frac{{OD}}{{\tan \beta }} = \frac{{x + 20}}{{\tan {{75}^o}}}$ $\tan \beta = \frac{{OD}}{{BD}} \Rightarrow BD = \frac{{OD}}{{\tan \beta }} = \frac{{x + 20}}{{\tan {{75}^o}}}$

Mà: $AC = BD \Rightarrow \frac{x}{{\tan {{35}^o}}} = \frac{{x + 20}}{{\tan {{75}^o}}}$ $AC = BD \Rightarrow \frac{x}{{\tan {{35}^o}}} = \frac{{x + 20}}{{\tan {{75}^o}}}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow x.\tan {75^o} = \left( {x + 20} \right).\tan {35^o}\\ \Leftrightarrow x = \frac{{20.\tan {{35}^o}}}{{\tan {{75}^o} - \tan {{35}^o}}} \approx 4,6\end{array}$ $\begin{array}{l} \Leftrightarrow x.\tan {75^o} = \left( {x + 20} \right).\tan {35^o}\\ \Leftrightarrow x = \frac{{20.\tan {{35}^o}}}{{\tan {{75}^o} - \tan {{35}^o}}} \approx 4,6\end{array}$

Suy ra OH = 26,1.

Vậy chiếc diều bay cao 26,1 m so với mặt đất.

Trên đây VnDoc.com vừa gửi tới bạn đọc bài viết Giải Toán 10 Bài 1: Giá trị lượng giác của một góc từ 0 độ đến 180 độ. Định lý côsin và định lý sin trong tam giác CD. Hi vọng qua bài viết này bạn đọc có thêm nhiều tài liệu để học tập tốt hơn môn Toán 10 CD. Mời các bạn cùng tham khảo thêm tài liệu học tập các môn Ngữ văn 10 CD, Tiếng Anh lớp 10...

Chia sẻ, đánh giá bài viết

1

283

Bài trước

Bài sau