Giải Toán 10 Bài 6: Tích vô hướng của hai vectơ CD

Vậy A đúng, C sai, D sai.

$+)(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})>{90}^o\Rightarrow \cos (\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})<0\iff \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}<0$

Vậy B sai.

Chọn A.

Bài 3 trang 98 SGK Toán 10 CD

Tính $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}$trong mỗi trường hợp sau:

a) $\left|\overrightarrow{a}\right|=3,\left|\overrightarrow{b}\right|=4,(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})={30}^o$

b) $\left|\overrightarrow{a}\right|=5,\left|\overrightarrow{b}\right|=6,(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})={120}^o$

c) $\left|\overrightarrow{a}\right|=2,\left|\overrightarrow{b}\right|=3,\overrightarrow{a}$và $\overrightarrow{b}$cùng hướng.

d) $\left|\overrightarrow{a}\right|=2,\left|\overrightarrow{b}\right|=3,\overrightarrow{a}$và $\overrightarrow{b}$ngược hướng

Lời giải

a) $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=3.4.\cos {30}^o=12.\frac{\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}$

b) $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=5.6.\cos {120}^o=30.\left(-\frac{1}{2}\right)=-15$

c) $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ cùng hướng nên $(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})=0^o$

$\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=2.3.\cos 0^o=6.1=6$

d) $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ ngược hướng nên $(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})={180}^o$

$\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=2.3.\cos {180}^o=6.(-1)=-6$

Bài 4 trang 98 SGK Toán 10 CD

Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính các tích vô hướng sau:

a) $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$

b) $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BD}$

Lời giải

a) Ta có: $AC=\sqrt{A{B}^2+A{D}^2}=\sqrt{2a^2}=a\sqrt{2}$

$\Rightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=a.a\sqrt{2}.\cos \widehat{BAC}=a^2\sqrt{2}\cos {45}^o=a^2.$

b) Dễ thấy: $AC\mathrm{\perp }BD\Rightarrow (\overrightarrow{AC},\overrightarrow{BD})={90}^o\Rightarrow \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BD}=AC.BD.\cos {90}^o=AC.BD.0=0$.

Bài 5 trang 98 SGK Toán 10 CD

Cho tam giác ABC. Chứng minh: $A{B}^2+\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CA}=0$

Lời giải

$\begin{array}{l}A{B}^2+\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CA}={\overrightarrow{AB}}^2+\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CA}\\ =\overrightarrow{AB}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA})=\overrightarrow{AB}(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CA})=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{0}=0.\end{array}$

Bài 6 trang 98 SGK Toán 10 CD

Cho tam giác nhọn ABC, kẻ đường cao AH. Chứng minh rằng:

a) $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AH}=\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AH}$

b) $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{HB}.\overrightarrow{BC}$

Lời giải

Ta có: $AH\mathrm{\perp }CB\Rightarrow (\overrightarrow{AH},\overrightarrow{CB})={90}^o\iff \cos (\overrightarrow{AH},\overrightarrow{CB})=0\iff \overrightarrow{AH}.\overrightarrow{CB}=0$

a) $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AH}-\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AH}=(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}).\overrightarrow{AH}=\overrightarrow{CB}.\overrightarrow{AH}=0$

$\iff \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AH}=\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AH}$

b) $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{HB}.\overrightarrow{BC}=(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{HB}).\overrightarrow{BC}=(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BH}).\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{BC}=0$

$\iff \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{HB}.\overrightarrow{BC}$

Bài 7 trang 98 SGK Toán 10 CD

Một máy bay đang bay từ hướng đông sang hướng tây với tốc độ 700 km/h thì gặp luồng gió thổi từ hướng đông bắc sang hướng tây nam với tốc độ 40 km/h (Hình 68). Máy bay bị thay đổi vận tốc sau khi gặp gió thổi. Tìm tốc độ mới của máy bay (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm theo đơn vị km/h.) 

Lời giải

Vẽ vecto $\overrightarrow{AB}$ là vecto vận tốc của máy bay, $\overrightarrow{AD}$ là vecto vận tốc của gió. 

Khi đó vecto vận tốc mới của máy bay là $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$

Dựng hình bình hành ABCD. Ta có: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$

Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC, ta có:

$A{C}^2=A{B}^2+B{C}^2-2.AB.BC.\cos B$

Mà $AB=700,BC=AD=40,\hat{B}={135}^o$

$\begin{array}{l}\Rightarrow A{C}^2={700}^2+{40}^2-2.700.40.\cos {135}^o\approx 531197,98\\ \iff AC\approx 728,83\end{array}$

Vậy tốc độ mới của máy bay là 728,83 km/h.

Bài 8 trang 98 SGK Toán 10 CD

Cho tam giác ABC có AB = 2, AC = 3,$\widehat{BAC}={60}^o$. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng BC. Điểm D thỏa mãn $\overrightarrow{AD}=\frac{7}{12}\overrightarrow{AC}$.

a) Tính $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$

b) Biểu diễn $\overrightarrow{AM},\overrightarrow{BD}$ theo $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$

c) Chứng minh AM \bot BD.

Lời giải

a) $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=2.3.\cos \widehat{BAC}=6.\cos {60}^o=3$

b)

Ta có: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AM}$(do M là trung điểm của BC)

$\iff \overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$

+) $\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}=\frac{7}{12}\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$

c) Ta có:

$\begin{array}{l}\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BD}=\left(\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}\right)\left(\frac{7}{12}\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\right)\\ =\frac{7}{24}\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}-\frac{1}{2}{\overrightarrow{AB}}^2+\frac{7}{24}{\overrightarrow{AC}}^2-\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB}\\ =-\frac{1}{2}A{B}^2+\frac{7}{24}A{C}^2-\frac{5}{24}\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}\\ =-\frac{1}{2}{.2}^2+\frac{7}{24}{.3}^2-\frac{5}{24}.3\\ =0\end{array}$

$\Rightarrow AM\mathrm{\perp }BD$