Giải toán bằng cách lập hệ phương trình

Giải toán bằng cách lập hệ phương trình lớp 9 do thư viện đề thi VnDoc.com biên soạn và giới thiệu tới các bạn học sinh cùng quý thầy cô tham khảo. Đây là phần bài tập nâng cao giúp cho các bạn học sinh ôn tập, củng cố kiến thức và rèn luyện kĩ năng làm bài Toán.

A. Cách giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

Các bước giải bài toán năng suất bằng cách lập hệ phương trình (phương trình):

Bước 1: Lập hệ phương trình (phương trình):

Chọn hệ số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số (chọn một trong các đại lượng công việc, năng suất, thời gian, … làm ẩn).

Dạng 1: Toán về quan hệ các số

+ Biểu diễn số có hai chữ số: $\overline{ab}=10a+b$vì $0<a\le 9;0\le b\le 9;a,b\in \mathbb{N}$

+ Biểu diễn số có ba chữ số: $\overline{ab}c=100a+10b+c$ vì $0<a\le 9;0\le b,c\le 9;a,b,c\in \mathbb{N}$

Dạng 2: Toán chuyển động

Nếu gọi quãng đường là $s$; vận tốc là $v$; thời gian là $t$ thì:

$s=v.t;v=\frac{s}{t};t=\frac{s}{v}$.

Gọi vận tốc thực của ca nô là$v_1$ vận tốc dòng nước là $v_2$ thì :

+ Vận tốc ca nô khi xuôi dòng nước là $v=v_1+v_2$

+ Vận tốc ca nô khi ngược dòng là $v=v_1-v_2$

Dạng 3: Toán làm chung công việc

- Nếu một đội làm xong công việc trong x giờ thì một ngày đội đó làm được $\frac{1}{x}$ công việc.

- Xem toàn bộ công việc là $1$

Dạng 4: Toán có nội dung hình học

- Diện tích hình chữ nhật $S=x.y$ (x là chiều rộng; y là chiều dài)

- Diện tích tam giác $S=\frac{1}{2}x.y$(x là chiều cao, y là cạnh đỏy tương ứng)

- Độ dài cạnh huyền: $c^2=a^2+b^2$ (c là cạnh huyền; a, b là các cạnh góc vuông)

- Số đường chéo của một đa giác $\frac{n(n-3)}{2}$ (n là số đỉnh)

Dạng 5: Toán lãi suất, tăng trưởng

+ $x\mathrm{\%}=\frac{x}{100}$

+ Dân số tỉnh A năm ngoái là a, tỷ lệ gia tăng dân số là x% thì dân số năm nay của tỉnh A là $a+a.\frac{x}{100}$

Bước 2: Giải hệ phương trình (phương trình).

Bước 3: Kiểm tra xem trong các nghiệm của hệ phương trình, nghiệm nào thỏa mãn điều kiện của ẩn, nghiệm nào không rồi kết luận.

B. Bài toán bằng cách lập hệ phương trình

Ví dụ 1: Tổng các chữ số của 1 số có hai chữ số là 9. Nếu thêm vào số đó 63 đơn vị thì số thu được cũng viết bằng hai chữ số đó nhưng theo thứ tự ngược lại. Hãy tìm số đó?

Hướng dẫn giải

Gọi chữ số hàng chục là $x;(0<x\le 9,x\in \mathbb{N})$

Gọi chữ số hàng đơn vị là $y;(0<y\le 9,y\in \mathbb{N})$

Vì tổng 2 chữ số là 9 ta có $x+y=9(1)$

Số đó là $\overline{xy}=10x+y$

Số viết ngược lại là $\overline{yx}=10y+x$

Vì thêm vào số đó 63 đơn vị thì được số viết theo thứ tự ngược lại ta có :

$\overline{xy}+63=\overline{yx}$

$\Rightarrow 10x+y+63=10y+x$

$\iff 9x-9y=-63(2)$

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình

$\{\begin{array}{c}x+y=9\\ 9x-9y=-63\end{array}\iff \{\begin{array}{c}x+y=9\\ x-y=7\end{array}$

$\iff \{\begin{array}{c}2x=2\\ x+y=9\end{array}\iff \{\begin{array}{c}x=1\\ y=8\end{array}(tmdk)$

Vậy số phải tìm là 18.

Ví dụ 3: Hai người thợ cùng làm một công việc trong 16 giờ thì xong. Nếu người thứ nhất làm 3 giờ, người thứ hai làm 6 giờ thì chỉ hoàn thành được 25% công việc. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi người hoàn thành công việc trong bao lâu?

Hướng dẫn giải

Đổi $25\mathrm{\%}=\frac{1}{4}$.

Gọi thời gian một mình người thứ nhất hoàn thành công việc là x (giờ)

Gọi thời gian một mình người thứ hai hoàn thành công việc là y (giờ)

Điều kiện: x > 0; y > 0

Trong một giờ người thứ nhất làm được $\frac{1}{x}$ công việc

Trong một giờ người thứ hai làm được $\frac{1}{y}$ công việc.

Hai người cùng làm thì xong trong 16 giờ. Vậy trong 1 giờ cả hai người cùng làm được $\frac{1}{16}$công việc.

Ta có phương trình: $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{16}(1)$

Người thứ nhất làm trong 3 giờ, người thứ hai làm trong 6 giờ thì $\frac{1}{4}$ công việc. Ta có phương trình $\frac{3}{x}+\frac{6}{y}=\frac{1}{4}(2)$

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình

$\{\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{1}{x}}+{\displaystyle \frac{1}{y}}={\displaystyle \frac{1}{16}}\\ {\displaystyle \frac{3}{x}}+{\displaystyle \frac{6}{y}}={\displaystyle \frac{1}{4}}\end{array}\iff \{\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{3}{x}}+{\displaystyle \frac{3}{y}}={\displaystyle \frac{3}{16}}\\ {\displaystyle \frac{3}{x}}+{\displaystyle \frac{6}{y}}={\displaystyle \frac{1}{4}}\end{array}$

$\iff \{\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{1}{x}}+{\displaystyle \frac{1}{y}}={\displaystyle \frac{1}{16}}\\ {\displaystyle \frac{3}{y}}={\displaystyle \frac{1}{16}}\end{array}\iff \{\begin{array}{c}x=24\\ y=48\end{array}(tmdk)$.

Vậy nếu làm riêng thì người thứ nhất hoàn thành công việc trong 24 giờ. Người thứ hai hoàn thành công việc trong 48 giờ.

------------

Mời bạn đọc tải tài liệu tham khảo đầy đủ!