Đề thi KSCL học sinh giỏi lớp 11 môn Toán năm 2018 - 2019 trường THPT Yên Lạc 2 - Vĩnh Phúc
Đề thi HSG Toán 11 có đáp án
SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
TRƯỜNG THPT YÊN LẠC 2
ĐỀ KSCL ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI KHỐI 11
MÔN: TOÁN – NĂM HỌC 2018-2019
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
Đề thi gồm: 01 trang
Câu 1 (2,0 điểm).
a) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số:
cos 2 sin 3
.
2 cos sin 4
xx
y
xx
b) Giải phương trình:
cos2 (1 2cos )(sin cos ) 0x x x x
Câu 2 (1,0 điểm). Cho tam giác
ABC
có
,,BC a AB c AC b
. Biết góc
0
90BAC
và
2
,,
3
a b c
theo thứ tự tạo thành cấp số nhân. Tính số đo góc
,.BC
Câu 3 (1,0 điểm). Cho
n
là một số nguyên dương. Gọi
33n
a
là hệ số của
33n
x
trong khai triển
thành đa thức của
2
( 1) ( 2)
nn
xx
. Tìm
n
sao cho
33
26 .
n
an
Câu 4 (1,0 điểm). Cho các chữ số
0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7
. Từ 8 chữ số trên lập được bao nhiêu số tự
nhiên có 8 chữ số đôi một khác nhau sao cho tổng 4 chữ số đầu bằng tổng 4 chữ số cuối.
Câu 5 (1,0 điểm). Cho dãy số
()
n
u
thỏa mãn:
1
1
1
2019
1
2019
n
n
nn
n
u
uu
. Tìm công thức số hạng
tổng quát và tính
lim .
n
u
Câu 6 (2,0 điểm). Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy
ABCD
là hình thang có
0
2 , , 60AD a AB BC CD a BAD
,
SA
vuông góc với đáy và
3SA a
.
M
và
I
là hai điểm thỏa mãn
3 0, 4 3 0MB MS IS ID
. Mặt phẳng
()AMI
cắt
SC
tại
.N
a) Chứng minh đường thẳng
SD
vuông góc với mặt phẳng
( ).AMI
b) Chứng minh
00
90 ; 90 .ANI AMI
c) Tính diện tích của thiết diện tạo bởi mặt phẳng
()AMI
và hình chóp
..S ABCD
Câu 7 (1,0 điểm). Cho tứ diện
ABCD
, gọi
G
là trọng tâm tam giác
,'BCD G
là trung điểm của
.AG
Một mặt phẳng
()
đi qua
'G
cắt các cạnh
,,AB AC AD
lần lượt tại
', ', '.B C D
Tính
.
' ' '
AB AC AD
AB AC AD
Câu 8 (1,0 điểm). Cho
n
số
1 2 3
, , ,..., [0;1]
n
a a a a
. Chứng minh rằng:
2 2 2 2 2
1 2 3 1 2 3
(1 ... ) 4( ... ).
nn
a a a a a a a a
-------------Hết-----------
Thí sinh không được sử dụng tài liệu.
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh:…………………….………..…….…….….….; Số báo danh……………………
SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
TRƯỜNG THPT YÊN LẠC 2
ĐÁP ÁN KSCL ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI KHỐI
11
MÔN: TOÁN – NĂM HỌC 2018-2019
Đáp án gồm: 05 trang
I. LƯU Ý CHUNG:
- Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một cách giải với những ý cơ bản phải có. Khi chấm bài học sinh
làm theo cách khác nếu đúng và đủ ý thì vẫn cho điểm tối đa.
- Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn.
- Với bài hình học nếu thí sinh không vẽ hình phần nào thì không cho điểm tương ứng với phần đó.
II. ĐÁP ÁN:
Câu
Nội dung trình bày
Điể
m
1
(2,0 điểm)
a.(1,0 điểm).
Gọi
0
y
là một giá trị của hàm số
cos 2 sin 3
.
2 cos sin 4
xx
y
xx
Khi đó phương trình
0
cos 2 sin 3
2 cos sin 4
xx
y
xx
phải có nghiệm.
Ta có phương trình
0 0 0
cos 2 sin 3
( 2)sin (1 2 )cos 4 3 (1)
2 cos sin 4
xx
y y x y x y
xx
0,5
Phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi:
2 2 2 2
0 0 0 0 0
2
( 2) (1 2 ) (4 3) 11 24 4 0 2
11
o
y y y y y y
0,25
Vậy
2
max 2, min .
11
yy
0,25
b.(1,0 điểm)
Phương trình
22
(cos sin ) (1 2 cos )(sin cos ) 0
(cos sin )(cos sin ) (1 2 cos )(sin cos ) 0
(cos sin )(sin cos 1) 0
x x x x x
x x x x x x x
x x x x
cos sin 0
sin cos 1 0
xx
xx
0,5
+) Với
cos sin 0 tan 1
4
x x x x k
.
0,25
+) Với
sin cos 1 0 2 sin(x ) 1 2 ; 2 .
42
x x x k x k
Vậy phương trình có 3 họ nghiệm.
0,25
2
(1,0 điểm)
Ta có:
2
2
3
b ac
. Do tam giác
ABC
vuông ta có
0,25
sin ; sin cos .
sinA sin sin
a b c
b a B c a C a B
BC
Suy ra
2 2 2 0
2
sin cos 60
3
a B a B B
0,5
Vậy
0 0 0
90 , 60 , 30 .A B C
0,25
3
(1,0 điểm)
Theo công thức khai triển nhị thức Newton ta có:
2 2 2
0 0 0 0
( 1) ( 2) ( )( 2 ) ( )( 2 )
n n n n
n n k k i i n i k k n i i i
n n n n
k i k i
x x C x C x C x C x
0,25
Số hạng chứa
33n
x
tương ứng với cặp
( , )ki
thỏa mãn:
2 3 3
( , ) {( , 3);( 1, 1)}
0,
k i n
k i n n n n
k i n
Do đó hệ số của
33n
x
là
3 3 1 1 1 3 2
3 3 1
.2 . .2 . 8 2
n n n n
n n n n n n
a C C C C C n
0,5
Theo giả thiết ta có:
3 2 2
2
( 1)( 2)
8 2 26 8 2 26
6
2 3 35 0 5.
n
n n n
C n n n n
n n n
Vậy
5n
thỏa mãn yêu cầu bài toán.
0,25
4
(1,0 điểm)
Do
0 1 2 3 4 5 6 7 28
, nên để tổng 4 chữ số đầu và tổng 4 chữ số
cuối bằng nhau, điều kiện là tổng đó bằng 14.
0,25
-Ta lập bộ 4 số có tổng là 14 và có chữ số
0
là:
(0;1;6;7); (0;2;5;7);(0;3;4;7);(0;3;5;6).
Với mỗi bộ có số 0 trên ứng với một bộ còn
lại không có số 0 và có tổng bằng 14.
0,25
-TH1: Bộ có số 0 đứng trước: Có 4 bộ có chữ số 0, ứng với mỗi bộ có:
+) Xếp 4 chữ số đầu có 3.3! cách.
+) Xếp 4 chữ số cuối có 4! cách.
Áp dụng qui tắc nhân có 4.3.3!.4!=1728 số
0,25
-TH2: Bộ có số 0 đứng sau: Có 4 bộ có chữ số 0, mỗi bộ có
+) Xếp bộ không có chữ số 0 trước có 4! cách.
+) Xếp bộ có chữ số 0 sau có 4! cách.
Áp dụng qui tắc nhân có 4.4!.4!=2304 số.
Vậy có 1728+2304=4032 số thỏa mãn yêu cầu bài toán.
0,25
5
(1,0 điểm)
Ta có
11
11
11
2019 2019
n n n n
n n n n
nn
u u u u
Do đó:
21
21
1
32
32
2
1
1
1
1
2019
1
2019
...
1
2019
nn
nn
n
uu
uu
uu
0,25
0,5
Đề thi học sinh giỏi lớp 11 môn Toán
VnDoc xin giới thiệu tới bạn đọc Đề thi KSCL học sinh giỏi lớp 11 môn Toán năm 2018 - 2019 trường THPT Yên Lạc 2 - Vĩnh Phúc. Tài liệu gồm 8 câu hỏi bài tập, thời gian làm bài 180 phút, đề thi có đáp án. Mời các bạn tham khảo.
- Đề kiểm tra 1 tiết lớp 11 Đại số và Giải tích chương 3 - Đề số 1
- Đề kiểm tra 1 tiết lớp 11 Đại số và Giải tích chương 3 - Đề số 2
- Đề kiểm tra 15 phút lớp 11 Đại số và Giải tích chương 3 - Đề số 1
- Đề kiểm tra 15 phút lớp 11 Đại số và Giải tích chương 3 - Đề số 2
- Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 11 môn Toán năm 2018 - 2019 trường THPT Phùng Khắc Khoan - Hà Nội
- Đề thi học sinh giỏi lớp 11 môn Ngữ văn năm 2018 trường THPT Yên Lạc 2 - Vĩnh Phúc
---------------------------
Trên đây VnDoc đã giới thiệu tới các bạn Đề thi KSCL học sinh giỏi lớp 11 môn Toán năm 2018 - 2019 trường THPT Yên Lạc 2 - Vĩnh Phúc. Để có kết quả cao hơn trong học tập, VnDoc mời các bạn học sinh tham khảo Giải bài tập Sinh học lớp 11, Giải bài tập Vật lý lớp 11, Giải bài tập Hóa học lớp 11, Giải bài tập Toán lớp 11, Tài liệu học tập lớp 11 mà VnDoc tổng hợp và đăng tải.
