VnDoc.com

Đề thi KSCL học sinh giỏi lớp 11 môn Toán năm 2018 - 2019 trường THPT Yên Lạc 2 - Vĩnh Phúc

Đề thi HSG Toán 11 có đáp án

Tải về

Lớp: Lớp 11

Dạng tài liệu: Đề thi HSG

Loại File: PDF

Phân loại: Tài liệu Tính phí

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC

TRƯỜNG THPT YÊN LẠC 2

ĐỀ KSCL ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI KHỐI 11

MÔN: TOÁN – NĂM HỌC 2018-2019

Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề

Đề thi gồm: 01 trang

Câu 1 (2,0 điểm).

a) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số:

cos 2 sin 3

.

2 cos sin 4

xx

y

xx

b) Giải phương trình:

cos2 (1 2cos )(sin cos ) 0x x x x

Câu 2 (1,0 điểm). Cho tam giác

ABC

có

,,BC a AB c AC b

. Biết góc

0

90BAC

và

2

,,

3

a b c

theo thứ tự tạo thành cấp số nhân. Tính số đo góc

,.BC

Câu 3 (1,0 điểm). Cho

n

là một số nguyên dương. Gọi

33n

a

là hệ số của

33n

x

trong khai triển

thành đa thức của

2

( 1) ( 2)

nn

xx

. Tìm

n

sao cho

33

26 .

n

an

Câu 4 (1,0 điểm). Cho các chữ số

0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7

. Từ 8 chữ số trên lập được bao nhiêu số tự

nhiên có 8 chữ số đôi một khác nhau sao cho tổng 4 chữ số đầu bằng tổng 4 chữ số cuối.

Câu 5 (1,0 điểm). Cho dãy số

()

n

u

thỏa mãn:

1

2019

1

2019

n

nn

n

u

uu

. Tìm công thức số hạng

tổng quát và tính

lim .

n

u

Câu 6 (2,0 điểm). Cho hình chóp

.S ABCD

có đáy

ABCD

là hình thang có

0

2 , , 60AD a AB BC CD a BAD

,

SA

vuông góc với đáy và

3SA a

.

M

và

I

là hai điểm thỏa mãn

3 0, 4 3 0MB MS IS ID

. Mặt phẳng

()AMI

cắt

SC

tại

.N

a) Chứng minh đường thẳng

SD

vuông góc với mặt phẳng

( ).AMI

b) Chứng minh

00

90 ; 90 .ANI AMI

c) Tính diện tích của thiết diện tạo bởi mặt phẳng

()AMI

và hình chóp

..S ABCD

Câu 7 (1,0 điểm). Cho tứ diện

ABCD

, gọi

G

là trọng tâm tam giác

,'BCD G

là trung điểm của

.AG

Một mặt phẳng

()

đi qua

'G

cắt các cạnh

,,AB AC AD

lần lượt tại

', ', '.B C D

Tính

.

' ' '

AB AC AD

Câu 8 (1,0 điểm). Cho

n

số

1 2 3

, , ,..., [0;1]

n

a a a a

. Chứng minh rằng:

2 2 2 2 2

1 2 3 1 2 3

(1 ... ) 4( ... ).

nn

a a a a a a a a

-------------Hết-----------

Thí sinh không được sử dụng tài liệu.

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh:…………………….………..…….…….….….; Số báo danh……………………

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC

TRƯỜNG THPT YÊN LẠC 2

ĐÁP ÁN KSCL ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI KHỐI

11

MÔN: TOÁN – NĂM HỌC 2018-2019

Đáp án gồm: 05 trang

I. LƯU Ý CHUNG:

- Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một cách giải với những ý cơ bản phải có. Khi chấm bài học sinh

làm theo cách khác nếu đúng và đủ ý thì vẫn cho điểm tối đa.

- Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn.

- Với bài hình học nếu thí sinh không vẽ hình phần nào thì không cho điểm tương ứng với phần đó.

II. ĐÁP ÁN:

Câu

Nội dung trình bày

Điể

m

1

(2,0 điểm)

a.(1,0 điểm).

Gọi

0

y

là một giá trị của hàm số

cos 2 sin 3

.

2 cos sin 4

xx

y

xx

Khi đó phương trình

0

cos 2 sin 3

2 cos sin 4

xx

y

xx

phải có nghiệm.

Ta có phương trình

0 0 0

cos 2 sin 3

( 2)sin (1 2 )cos 4 3 (1)

2 cos sin 4

xx

y y x y x y

xx

0,5

Phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi:

2 2 2 2

0 0 0 0 0

2

( 2) (1 2 ) (4 3) 11 24 4 0 2

11

o

y y y y y y

0,25

Vậy

2

max 2, min .

11

yy

0,25

b.(1,0 điểm)

Phương trình

22

(cos sin ) (1 2 cos )(sin cos ) 0

(cos sin )(cos sin ) (1 2 cos )(sin cos ) 0

(cos sin )(sin cos 1) 0

x x x x x

x x x x x x x

x x x x

cos sin 0

sin cos 1 0

xx

0,5

+) Với

cos sin 0 tan 1

4

x x x x k

.

0,25

+) Với

sin cos 1 0 2 sin(x ) 1 2 ; 2 .

42

x x x k x k

Vậy phương trình có 3 họ nghiệm.

0,25

2

(1,0 điểm)

Ta có:

2

3

b ac

. Do tam giác

ABC

vuông ta có

0,25

sin ; sin cos .

sinA sin sin

a b c

b a B c a C a B

BC

Suy ra

2 2 2 0

2

sin cos 60

3

a B a B B

0,5

Vậy

0 0 0

90 , 60 , 30 .A B C

0,25

3

(1,0 điểm)

Theo công thức khai triển nhị thức Newton ta có:

2 2 2

0 0 0 0

( 1) ( 2) ( )( 2 ) ( )( 2 )

n n n n

n n k k i i n i k k n i i i

n n n n

k i k i

x x C x C x C x C x

0,25

Số hạng chứa

33n

x

tương ứng với cặp

( , )ki

thỏa mãn:

2 3 3

( , ) {( , 3);( 1, 1)}

0,

k i n

k i n n n n

k i n

Do đó hệ số của

33n

x

là

3 3 1 1 1 3 2

3 3 1

.2 . .2 . 8 2

n n n n

n n n n n n

a C C C C C n

0,5

Theo giả thiết ta có:

3 2 2

2

( 1)( 2)

8 2 26 8 2 26

6

2 3 35 0 5.

n

n n n

C n n n n

n n n

Vậy

5n

thỏa mãn yêu cầu bài toán.

0,25

4

(1,0 điểm)

Do

0 1 2 3 4 5 6 7 28

, nên để tổng 4 chữ số đầu và tổng 4 chữ số

cuối bằng nhau, điều kiện là tổng đó bằng 14.

0,25

-Ta lập bộ 4 số có tổng là 14 và có chữ số

0

là:

(0;1;6;7); (0;2;5;7);(0;3;4;7);(0;3;5;6).

Với mỗi bộ có số 0 trên ứng với một bộ còn

lại không có số 0 và có tổng bằng 14.

0,25

-TH1: Bộ có số 0 đứng trước: Có 4 bộ có chữ số 0, ứng với mỗi bộ có:

+) Xếp 4 chữ số đầu có 3.3! cách.

+) Xếp 4 chữ số cuối có 4! cách.

Áp dụng qui tắc nhân có 4.3.3!.4!=1728 số

0,25

-TH2: Bộ có số 0 đứng sau: Có 4 bộ có chữ số 0, mỗi bộ có

+) Xếp bộ không có chữ số 0 trước có 4! cách.

+) Xếp bộ có chữ số 0 sau có 4! cách.

Áp dụng qui tắc nhân có 4.4!.4!=2304 số.

Vậy có 1728+2304=4032 số thỏa mãn yêu cầu bài toán.

0,25

5

(1,0 điểm)

Ta có

11

2019 2019

n n n n

nn

u u u u

Do đó:

21

1

32

2

1

2019

1

2019

...

1

2019

nn

n

uu

0,25

0,5

Đề thi học sinh giỏi lớp 11 môn Toán

VnDoc xin giới thiệu tới bạn đọc Đề thi KSCL học sinh giỏi lớp 11 môn Toán năm 2018 - 2019 trường THPT Yên Lạc 2 - Vĩnh Phúc. Tài liệu gồm 8 câu hỏi bài tập, thời gian làm bài 180 phút, đề thi có đáp án. Mời các bạn tham khảo.

---------------------------

Trên đây VnDoc đã giới thiệu tới các bạn Đề thi KSCL học sinh giỏi lớp 11 môn Toán năm 2018 - 2019 trường THPT Yên Lạc 2 - Vĩnh Phúc. Để có kết quả cao hơn trong học tập, VnDoc mời các bạn học sinh tham khảo Giải bài tập Sinh học lớp 11, Giải bài tập Vật lý lớp 11, Giải bài tập Hóa học lớp 11, Giải bài tập Toán lớp 11, Tài liệu học tập lớp 11 mà VnDoc tổng hợp và đăng tải.

Tải về

Chọn file muốn tải về: