VnDoc.com

Đề thi Olympic lớp 10 môn Toán năm 2018 - 2019 cụm THPT Thanh Xuân - Cầu Giấy và Thường Tín - Hà Nội

Đề thi Olympic Toán 10 có đáp án

1

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI

CỤM TRƯỜNG THPT THANH XUÂN-

CẦU GIẤY-THƯỜNG TÍN

ĐỀ OLYMPIC MÔN TOÁN 10

NĂM HỌC 2018 – 2019

Môn: Toán

Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian phát đề)

Câu 1. Cho hàm số

2

22y x x  

 

1

.

a) Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị

 

P

của hàm số

 

1

.

b) Tìm

m

để phương trình

2

2 2 0x x m    

có hai nghiệm

1

x

và

2

x

thỏa mãn:

12

13xx   

.

Câu 2. a) Giải bất phương trình sau:

 

22

4 2 5 3 0x x x x   

b) Giải hệ phương trình sau:

22

2 5 2 0

40

x xy y x y

x y x y



     





    





.

c) Tìm

m

để bất phương trình:

2

4

23

x x m

xx



  



nghiệm đúng

x

?

Câu 3. Cho tam giác

ABC

; đặt

,,a BC b AC c AB  

. Gọi

M

là điểm tùy ý.

a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2 2 2

P MA MB MC

theo

,,abc

.

b) Giả sử

 

6cm, 2 cm, 1 3 cma b c   

. Tính số đo góc nhỏ nhất của tam giác

ABC

và diện tích tam giác

ABC

.

Câu 4. Trong mặt phẳng tọa độ

Oxy

cho hình chữ nhật

ABCD

. Gọi

H

là hình chiếu của

A

lên

BD

;

I

là trung điểm của

BH

. Biết đỉnh

 

2;1A

, phương trình đường chéo

BD

là:

5 19 0xy  

,

điểm

42 41

;

13 13

I







.

a) Viết phương trình tham số đường thẳng

AH

. Tìm tọa độ điểm

H

?

b) Viết phương trình tổng quát cạnh

AD

.

Câu 5. Cho ba số dương

,,abc

thỏa mãn:

2 2 2

1abc  

. Chứng minh rằng

2 2 2 2 2 2

33

2

a b c

b c c a a b

  

  

.

HẾT

2

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

Câu 1. Cho hàm số

2

22y x x  

 

1

.

a) Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị

 

P

của hàm số

 

1

.

b)Tìm

m

để phương trình

2

2 2 0x x m    

có hai nghiệm

1

x

và

2

x

thỏa mãn:

12

13xx   

.

Lời giải

a) Tập xác định:

D 

.

Tọa độ đỉnh

 

1;1I

.

Hệ số

10a 

nên hàm số đồng biến trên khoảng

 

1; 

và nghịch biến trên khoảng

 

;1

.

Bảng biến thiên:

+ Đồ thị:

 

P

có trục đối xứng là đường thẳng

1x 

.

 

P

đi qua các điểm

 

0;2A

;

 

2;2B

.

b)

22

2 2 0 2 2x x m x x m         

.

 

1

Số nghiệm của phương trình

 

1

chính là số giao điểm của

 

P

với đường thẳng

:d y m

,

trong đó

 

d

là đường thẳng luôn song song hoặc trùng với

Ox

.

Dựa vào đồ thị

 

P

ta thấy phương trình

 

1

có nghiệm thỏa mãn

12

13xx   



55mm    

.

3

Câu 2. a) Giải bất phương trình sau:

 

22

4 2 5 3 0x x x x   

b) Giải hệ phương trình sau:

22

2 5 2 0

40

x xy y x y

x y x y



     





    





.

c) Tìm

m

để bất phương trình:

2

4

23

x x m

xx



  



nghiệm đúng

x

?

Lời giải

a) Điều kiện

2

2 5 3 0xx  

3

1

2

x















.

+ Ta thấy

3x 

,

1

2

x 

là nghiệm của bất phương trình đã cho.

+ Khi

3

1

2

x











thì

2

2 5 3 0xx  

, suy ra

2

2 5 3 0xx  

nên:

 

22

4 2 5 3 0x x x x   

2

40xx  

4

0

x













.

Suy ra trường hợp này bất phương trình có tập nghiệm





2

1

; 4 ;

2

S



    





.

Vậy bất phương trình có tập nghiệm là





 

1

; 4 ; 3

2

S



      







.

b)

22

2 5 2 0

40

x xy y x y

x y x y



     





    





Ta có:

2 2 2 2

2 5 2 0 2 2 2 4 2 0x xy y x y y xy y xy x x y x               

     

2 1 2 1 2 2 1 0y y x x y x y x         

  

2 2 1 0y x y x     

2

21

yx













.

Như thế:

22

2 5 2 0

40

x xy y x y

x y x y



     





    





   

2

2 2 4 0

21

2 1 2 1 4 0

yx

x x x x

yx

x x x x

  









      























      







2

2 4 2 0

21

5 4 0

yx

xx

yx

xx











  



















  





1

4

5

13

5

x

y

x

y











































.

Vậy hệ có nghiệm

 

;xy

là:

 

1;1

;

4 13

;

55









.

Đề thi Olympic môn Toán lớp 10 năm 2018 - 2019

VnDoc xin giới thiệu tới bạn đọc Đề thi Olympic lớp 10 môn Toán năm 2018 - 2019 cụm THPT Thanh Xuân - Cầu Giấy và Thường Tín - Hà Nội. Nội dung tài liệu gồm 5 câu hỏi bài tập, thời gian làm bài 120 phút, đề thi có đáp án. Mời các bạn tham khảo.

-----------------------------

Trên đây VnDoc đã giới thiệu tới các bạn Đề thi Olympic lớp 10 môn Toán năm 2018 - 2019 cụm THPT Thanh Xuân - Cầu Giấy và Thường Tín - Hà Nội. Để có kết quả cao hơn trong học tập, VnDoc xin giới thiệu tới các bạn học sinh tài liệu Giải bài tập Toán 10, Giải bài tập Vật Lí 10, Giải bài tập Sinh học 10, Giải bài tập Hóa học 10, Tài liệu học tập lớp 10 mà VnDoc tổng hợp và đăng tải.