Tổng hợp câu hỏi nâng cao trong đề thi học kì 2 môn Toán lớp 7

Bài tập nâng cao trong các đề thi học kì 2 môn Toán lớp 7 do đội ngũ thầy cô giáo của VnDoc biên soạn bao gồm các câu hỏi khó dành điểm 10 trong đề thi học kì toán lớp 7 kèm với đáp án. Hi vọng tài liệu này giúp các em học sinh lớp 7 tự ôn luyện và vận dụng các kiến thức đã học vào việc giải bài tập toán. Chúc các em học tốt.

A. Các bài tập nâng cao chọn lọc trong đề thi học kì 2 lớp 7

Bài 1: Cho đa thức f\left( x \right) = a{x^3} + 2b{x^2} + 3cx + 4d\left( {a \ne 0} \right) với a, b, c, d là các số nguyên. Chứng minh không thể tồn tại f(7) = 72 và f(3) = 42

Bài 2: Cho đa thức f(x) thỏa mãn điều kiện: x.f(x + 1) = (x + 2).f(x). Chứng minh rằng đa thức f(x) có ít nhất hai nghiệm

Bài 3: Cho hàm số f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\left( {a,b,c \in Z} \right). Biết f\left( { - 1} \right) \vdots 3;f\left( 0 \right) \vdots 3;f\left( 1 \right) \vdots 3. Chứng minh rằng a, b, c đều chia hết cho 3

Bài 4: Cho đa thức f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + dvới a là số nguyên dương và f(5) - f(4) = 2019. Chứng miinh f(7) - f(2) là hợp số

Bài 5: Chứng minh rằng đa thức P\left( x \right) = {x^3} - x + 5 không có nghiệm nguyên

Bài 6: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức {\left[ {{{\left( {x + \frac{1}{2}} \right)}^2} + \frac{5}{4}} \right]^2}

Bài 7: Tìm n nguyên dương sao cho 2n - 3 \vdots n + 1

Bài 8: Cho đa thức M = {x^3} + {x^2}y - 2{x^2} - xy - {y^2} + 3y + x + 2017. Tính giá trị của đa thức M biết x + y - 2 = 0

Bài 9: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = \frac{1}{{\left| {x + 2017} \right| + \left| {x - 2} \right|}}

Bài 10: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B = \frac{{{x^2} - 1}}{{{x^2} + 1}}

B. Lời giải, đáp án bài tập nâng cao trong đề thi học kì 2 lớp 7

Bài 1:

Có f(7) = 343a + 98b + 21c + 4d = 72

f(3) = 27a + 18b + 9c + 4d = 42

f(7) - f(3) = 316a + 80b + 12c = 30

Suy ra 4(79a + 20b + 3c) = 30 hay 79a + 20b + 3c = \frac{{30}}{4}

Mà a, b, c là các số nguyên nên 79a + 20b + 3c cũng là số nguyên

Vậy không tồn tại các số nguyên a, b, c, d để đồng thời xảy ra f(7) = 72 và f(3) = 42

Bài 2:

Thay x = 0 vào x.f(x + 1) = (x + 2).f(x) được 0.f(0 + 1) = 2.f(0) hay f(0) = 0

Suy ra x = 0 là một nghiệm của f(x)

Thay x = -2 vào x.f(x + 1) = (x + 2).f(x) được (-2).f(-1) = 0.f(-2) hay f(-1) = 0

Suy ra x = -1 là một nghiệm của f(x)

Bài 3:

Có f(-1) = a - b + c chia hết cho 3

f(0) chia hết cho 3 hay f(0) = c chia hết cho 3

f(1) chia hết cho 3 hay f(1) = a + b + c chia hết cho 3

Có f(1) + f(-1) = a - b + c + a + b + c = 2a + 2c

Mà c chia hết cho 3

Suy ra 2a chia hết cho 3, mà 2 không chia hết cho 3 nên a chia hết cho 3

f(1) = a + b + c chia hết cho 3, mà a và c chia hết cho 3 nên b cũng chia hết cho 3

Bài 4:

f(5) = 125a + 25b + 5c + d và f(4) = 64a + 16b + 4c + d

f(7) = 343a + 49b + 7c + d và f(2) = 8a + 4b + 2c + d

Có f(5) - f(4) = 61a + 9a + c = 2019

Lại có f(7) - f(2) = 335a + 45b + 5c = 5.(61a + 9a + c) = 5.2019

Vậy f(7) - f(2) là hợp số

Bài 5:

Giả sử a là một nghiệm nguyên của P\left( x \right) = {x^3} - x + 5 \Rightarrow P\left( a \right) = {a^3} - a + 5 = 0

Với a = 0 ta có P(a) = 5 khác 0 nên a = 0 không phải là nghiệm của P(x)

Với a khác 0 thì P(a) chia hết cho a (do P(a) = 0 và a là số nguyên khác 0)

Suy ra chia hết cho a hay 5 chia hết cho a, a có thể bằng 1, -1, 5 và -5

Với a = 1 thì P(1) = 5 khác 0 nên a = 1 không phải là nghiệm của P(x)

Với a = -1 thì P(-1) = 5 khác 0 nên a = -1 không phải là nghiệm của P(x)

Với a = 5 thì P(5) = 125 khác 0 nên a = 5 không phải là nghiệm của P(x)

Với a = -5 thì P(-5) = -115 khác 0 nên a = -5 không phải là nghiệm của P(x)

Vậy đa thức P(x) không có nghiệm nguyên

Bài 6:

{\left( {x + \frac{1}{2}} \right)^2} \ge 0\forall x \Rightarrow {\left( {x + \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{5}{4} \ge \frac{5}{4}\forall x

A = {\left[ {{{\left( {x + \frac{1}{2}} \right)}^2} + \frac{5}{4}} \right]^2} \ge {\left( {\frac{5}{4}} \right)^2} = \frac{{25}}{{16}}\forall x

Dấu “=” xảy ra \Leftrightarrow x = \frac{{ - 1}}{2}

Vậy min A = \frac{{25}}{{16}} \Leftrightarrow x = \frac{{ - 1}}{2}

Bài 7:

2n - 3 \vdots n + 1 \Rightarrow \left[ {\left( {2n - 3} \right) - \left( {n + 1} \right)} \right] \vdots n + 1

\Leftrightarrow n - 4 \vdots n + 1 \Leftrightarrow n + 1 - 5 \vdots n + 1 \Rightarrow n + 1 \in U\left( 5 \right) = \left\{ { \pm 1; \pm 5} \right\}

Ta có bảng

n+1 -5 -1 1 5
n -6 -2 0 4

Mà n là số nguyên dương nên n = 4

Bài 8:

\begin{array}{l} M = {x^3} + {x^2}y - 2{x^2} - xy - {y^2} + 3y + x + 2017\\ = \left( {{x^3} + {x^2}y - 2{x^2}} \right) - \left( {xy + {y^2} - 2y} \right) + \left( {x + y - 2} \right) + 2019\\ = {x^2}.\left( {x + y - 2} \right) - y\left( {x + y - 2} \right) + \left( {x + y - 2} \right) + 2019 = 2019 \end{array}

Bài 9:

\left| {x + 2017} \right| + \left| {x - 2} \right| = \left| {x + 2017} \right| + \left| {2 - x} \right| \ge \left| {x + 2017 + 2 - x} \right| = 2019

\Rightarrow \frac{1}{{\left| {x + 2017} \right| + \left| {2 - x} \right|}} \le \frac{1}{{2019}}

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = 0

Vậy MaxA = \frac{1}{{2019}} \Leftrightarrow x = 0

Bài 10:

B = \frac{{{x^2} - 1}}{{{x^2} + 1}} = \frac{{{x^2} + 1 - 2}}{{{x^2} + 1}} = 1 - \frac{2}{{{x^2} + 1}}

{x^2} \ge 0\forall x \Rightarrow {x^2} + 1 \ge 1\forall x \Rightarrow \frac{2}{{{x^2} + 1}} \le 2\forall x

\Rightarrow - \frac{2}{{{x^2} + 1}} \ge - 2\forall x \Rightarrow 1 - \frac{2}{{{x^2} + 1}} \ge - 1\forall x

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = 0

Vậy minB = - 1 \Leftrightarrow x = 0

--------------

Ngoài các dạng toán toán nâng cao trong đề thi học kì 2 môn Toán lớp 7 trên, các em học sinh lớp 7 còn có thể tham khảo đề thi học kì 1 lớp 7 hay đề thi học kì 2 lớp 7 mà VnDoc.com đã sưu tầm và chọn lọc. Hy vọng với những tài liệu này, các em học sinh sẽ học tốt môn Toán lớp 7 và Ngữ Văn lớp 7 hơn.

Đánh giá bài viết
14 1.730
0 Bình luận
Sắp xếp theo
Bài tập Toán 7 Xem thêm