Tổng hợp câu hỏi nâng cao trong đề thi học kì 2 môn Toán lớp 7

Bài tập nâng cao Toán lớp 7 trong đề thi học kì 2

Tổng hợp các bài toán nâng cao trong đề thi học kì 2 lớp 7

A. Các bài tập nâng cao chọn lọc trong đề thi học kì 2 lớp 7
B. Lời giải, đáp án bài tập nâng cao trong đề thi học kì 2 lớp 7

Bài tập nâng cao trong các đề thi học kì 2 môn Toán lớp 7 do đội ngũ thầy cô giáo của VnDoc biên soạn bao gồm các câu hỏi khó dành điểm 10 trong đề thi học kì 2 lớp 7 môn Toán. Tài liệu có đáp án kèm theo cho các em học sinh so sánh và đối chiếu sau khi làm xong.

A. Các bài tập nâng cao chọn lọc trong đề thi học kì 2 lớp 7

Bài 1: Cho đa thức f(x) = ax³ + 2bx² + 3cx + 4d, (a ≠ 0) với a, b, c, d là các số nguyên. Chứng minh không thể tồn tại f(7) = 72 và f(3) = 42.

Bài 2: Cho đa thức f(x) thỏa mãn điều kiện: x.f(x + 1) = (x + 2).f(x). Chứng minh rằng đa thức f(x) có ít nhất hai nghiệm.

Bài 3: Cho hàm số f(x) = ax² + bx + c (a, b, c ∈ $\mathbb{Z}$ $\mathbb{Z}$). Biết f(-1) ⋮ 3; f(0) ⋮ 3; f(1) ⋮ 3. Chứng minh rằng a, b, c đều chia hết cho 3.

Bài 4: Cho đa thức f(x) = ax³ + bx² + cx + d với a là số nguyên dương và f(5) - f(4) = 2019. Chứng minh f(7) - f(2) là hợp số.

Bài 5: Chứng minh rằng đa thức $P\left( x \right) = {x^3} - x + 5$ $P\left( x \right) = {x^3} - x + 5$ không có nghiệm nguyên.

Bài 6: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức ${\left[ {{{\left( {x + \frac{1}{2}} \right)}^2} + \frac{5}{4}} \right]^2}$ ${\left[ {{{\left( {x + \frac{1}{2}} \right)}^2} + \frac{5}{4}} \right]^2}$

Bài 7: Tìm n nguyên dương sao cho 2n - 3 ⋮ n + 1

Bài 8: Cho đa thức M = x³ + x²y - 2x² - xy - y² + 3y + x + 2017. Tính giá trị của đa thức M biết x + y - 2 = 0.

Bài 9: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $A = \frac{1}{{\left| {x + 2017} \right| + \left| {x - 2} \right|}}$ $A = \frac{1}{{\left| {x + 2017} \right| + \left| {x - 2} \right|}}$

Bài 10: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $B = \frac{{{x^2} - 1}}{{{x^2} + 1}}$ $B = \frac{{{x^2} - 1}}{{{x^2} + 1}}$

B. Lời giải, đáp án bài tập nâng cao trong đề thi học kì 2 lớp 7

Bài 1:

Có f(7) = 343a + 98b + 21c + 4d = 72

f(3) = 27a + 18b + 9c + 4d = 42

f(7) - f(3) = 316a + 80b + 12c = 30

Suy ra 4(79a + 20b + 3c) = 30 hay 79a + 20b + 3c = $\frac{{30}}{4}$ $\frac{{30}}{4}$

Mà a, b, c là các số nguyên nên 79a + 20b + 3c cũng là số nguyên

Vậy không tồn tại các số nguyên a, b, c, d để đồng thời xảy ra f(7) = 72 và f(3) = 42

Bài 2:

Thay x = 0 vào x.f(x + 1) = (x + 2).f(x) được 0.f(0 + 1) = 2.f(0) hay f(0) = 0

Suy ra x = 0 là một nghiệm của f(x)

Thay x = -2 vào x.f(x + 1) = (x + 2).f(x) được (-2).f(-1) = 0.f(-2) hay f(-1) = 0

Suy ra x = -1 là một nghiệm của f(x)

Bài 3:

Có f(-1) = a - b + c chia hết cho 3

f(0) chia hết cho 3 hay f(0) = c chia hết cho 3

f(1) chia hết cho 3 hay f(1) = a + b + c chia hết cho 3

Có f(1) + f(-1) = a - b + c + a + b + c = 2a + 2c

Mà c chia hết cho 3

Suy ra 2a chia hết cho 3, mà 2 không chia hết cho 3 nên a chia hết cho 3

f(1) = a + b + c chia hết cho 3, mà a và c chia hết cho 3 nên b cũng chia hết cho 3

Bài 4:

f(5) = 125a + 25b + 5c + d và f(4) = 64a + 16b + 4c + d

f(7) = 343a + 49b + 7c + d và f(2) = 8a + 4b + 2c + d

Có f(5) - f(4) = 61a + 9a + c = 2019

Lại có f(7) - f(2) = 335a + 45b + 5c = 5.(61a + 9a + c) = 5.2019

Vậy f(7) - f(2) là hợp số

Bài 5:

Giả sử a là một nghiệm nguyên của P(x) = x³ - x + 5 ⇒ P(a) = a³ - a + 5

Với a = 0 ta có P(a) = 5 khác 0 nên a = 0 không phải là nghiệm của P(x)

Với a khác 0 thì P(a) chia hết cho a (do P(a) = 0 và a là số nguyên khác 0)

Suy ra chia hết cho a hay 5 chia hết cho a, a có thể bằng 1, -1, 5 và -5

Với a = 1 thì P(1) = 5 khác 0 nên a = 1 không phải là nghiệm của P(x)

Với a = -1 thì P(-1) = 5 khác 0 nên a = -1 không phải là nghiệm của P(x)

Với a = 5 thì P(5) = 125 khác 0 nên a = 5 không phải là nghiệm của P(x)

Với a = -5 thì P(-5) = -115 khác 0 nên a = -5 không phải là nghiệm của P(x)

Vậy đa thức P(x) không có nghiệm nguyên

Bài 6:

Có ${\left( {x + \frac{1}{2}} \right)^2} \ge 0\forall x \Rightarrow {\left( {x + \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{5}{4} \ge \frac{5}{4}\forall x$ ${\left( {x + \frac{1}{2}} \right)^2} \ge 0\forall x \Rightarrow {\left( {x + \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{5}{4} \ge \frac{5}{4}\forall x$

$A = {\left[ {{{\left( {x + \frac{1}{2}} \right)}^2} + \frac{5}{4}} \right]^2} \ge {\left( {\frac{5}{4}} \right)^2} = \frac{{25}}{{16}}\forall x$ $A = {\left[ {{{\left( {x + \frac{1}{2}} \right)}^2} + \frac{5}{4}} \right]^2} \ge {\left( {\frac{5}{4}} \right)^2} = \frac{{25}}{{16}}\forall x$

Dấu “=” xảy ra ⇔ x = $\frac{{ - 1}}{2}$ $\frac{{ - 1}}{2}$

Vậy min A = $\frac{{25}}{{16}}$ $\frac{{25}}{{16}}$ ⇔ x = $\frac{{ - 1}}{2}$ $\frac{{ - 1}}{2}$

Bài 7:

Có 2n - 3 ⋮ n + 1 ⇒ [(2n - 3) - (n + 1)] ⋮ n + 1

⇔ n - 4 ⋮ n + 1 ⇒ n + 1 - 5 ⋮ n + 1 ⇒ n + 1 ∈ U(5) = { ±1; ±5 }

Ta có bảng

n+1	-5	-1	1	5
n	-6	-2	0	4

Mà n là số nguyên dương nên n = 4

Bài 8:

M = x³ + x²y - 2x² - xy - y² + 3y + x + 2017

M = (x³ + x²y - 2x²) - (xy + y² - 2y) + (x + y - 2) + 2019

M = x². (x + y - 2) - y(x + y - 2) + (x + y - 2) + 2019 = 2019

Bài 9:

Có |x + 2017| + |x + 2| = |x + 2017| + |2 - x| ≥ |x + 2017 + 2 - x| = 2019

$\Rightarrow \frac{1}{{\left| {x + 2017} \right| + \left| {2 - x} \right|}} \le \frac{1}{{2019}}$ $\Rightarrow \frac{1}{{\left| {x + 2017} \right| + \left| {2 - x} \right|}} \le \frac{1}{{2019}}$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = 0

Vậy Max A = $\frac{1}{{2019}}$ $\frac{1}{{2019}}$ ⇔ x = 0

Bài 10:

$B = \frac{{{x^2} - 1}}{{{x^2} + 1}} = \frac{{{x^2} + 1 - 2}}{{{x^2} + 1}} = 1 - \frac{2}{{{x^2} + 1}}$ $B = \frac{{{x^2} - 1}}{{{x^2} + 1}} = \frac{{{x^2} + 1 - 2}}{{{x^2} + 1}} = 1 - \frac{2}{{{x^2} + 1}}$

Có x² ≥ 0 với ∀x ⇒x² + 1 ≥ 1 với ∀x ⇒ $\frac{2}{{{x^2} + 1}} \le 2$ $\frac{2}{{{x^2} + 1}} \le 2$ với ∀x

$\Rightarrow - \frac{2}{{{x^2} + 1}} \ge - 2\forall x \Rightarrow 1 - \frac{2}{{{x^2} + 1}} \ge - 1\forall x$ $\Rightarrow - \frac{2}{{{x^2} + 1}} \ge - 2\forall x \Rightarrow 1 - \frac{2}{{{x^2} + 1}} \ge - 1\forall x$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = 0

Vậy min B = -1 ⇔ x = 0