VnDoc.com

Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 11 môn Toán năm 2018 - 2019 cụm trường THPT Chuyên DH&ĐB Bắc Bộ

Đề thi HSG Toán 11 có đáp án

(Đề thi gồm 01 trang)

KỲ THI HỌC SINH GIỎI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN

KHU VỰC DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ

LẦN THỨ XII, NĂM 2019

ĐỀ THI MÔN: TOÁN HỌC 11

Thời gian: 180 phút (Không kể thời gian giao đề)

Ngày thi: 20/4/2019

Câu 1 (4 điểm). Cho dãy số



1

)(

nn

u

bị chặn trên và thoả mãn điều kiện

21

23

..,

55

nnn

uuu





1, 2, 3, ...n

Chứng minh rẳng dãy



n

u

có giới hạn hữu hạn.

Câu 2 (4 điểm). Cho

A

BC có đường tròn nội tiếp





I

tiếp xúc với

,,

B

CCAAB

ở

,,.DEF

Đường thẳng qua

A

song song BC cắt

,DE DF

lần lượt tại

,.

M

N

Đường tròn ngoại tiếp tam giác

DMN

cắt đường tròn





I

tại điểm L khác

.

D

a) Chứng minh

,,

A

KL

thẳng hàng.

b) Tiếp tuyến với đường tròn ngoại tiếp tam giác

DMN

tại

,

M

N

cắt

E

F tại

,.UV

Chứng minh

rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác

UVL

tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác

.DMN

Câu 3 (4 điểm). Tìm tất cả các đa thức

sao cho với mọi số nguyên dương, phương

trình

có nghiệm nguyên.

Câu 4 (4 điểm). Cho

p

là số nguyên tố có dạng

12 11k 

. Một tập con

S

của tập

{1; 2 ; 3; ; 2 ; 1}Mpp

được gọi là “tốt” nếu như tích của tất cả các phần tử của

S

không nhỏ hơn tích của tất cả các phần

tử của

\.

M

S

Ký hiệu

S



hiệu của hai tích trên. Tìm giá trị nhỏ nhất của số dư khi chia

S



cho

p

xét trên mọi tập con tốt của

M

có chứa đúng

1

2

p



phần tử.

Câu 5 (4 điểm). Cho đa giác lồi n đỉnh





01 1

... 2 .

n

AA A n





Mỗi cạnh và đường chéo của đa giác

được tô bởi một trong k màu sao cho không có hai đoạn thẳng nào cùng xuất phát từ một đỉnh cùng

màu. Tìm giá trị nhỏ nhất của k.

-------------- HẾT --------------

(Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)

Họ và tên thí sinh: ...................................................................... Số báo danh: ...................................

ĐỀ CHÍNH TH

Ứ

C

ĐÁP ÁN

Câu Nội dung trình bày Điểm

1

Đề xuất của trường THPT chuyên Biên Hòa, Hà Nam

Cho dãy số



1

)(

nn

u

bị chặn trên và thoả mãn điều kiện

21

23

..,

55

nnn

uuu





1, 2, 3, ...n

Chứng minh rẳng dãy



n

u

có giới hạn hữu hạn.

4,0

Ta có

nnn

uuu

5

3

5

2

12







211

33

,

55

nnnn

uuuu





1, 2, 3, ...n

(1)

Đặt

n

v

1

3

,

5

nn

uu





1, 2, 3, ...n

thì từ (1) ta có

nn

vv 

1

,

1, 2, 3, ...n

(2)

1,0

Vì dãy số



1

)(

nn

u

bị chặn trên nên tồn tại số M sao cho ,

n

uM

1, 2, 3, ...n

suy ra

38

,

55

n

vM M M 

1, 2, 3, ...n

(3)

Từ (2) và (3) ta thấy dãy

)(

n

v không giảm và bị chặn trên. Do đó, nó là dãy hội tụ.

0,5

Đặt av

n

lim và

8

5a

b 

. Ta sẽ chứng minh .lim bu

n



Thật vậy, vì

av

n

lim nên

0



nhỏ tùy ý,

*

0

Nn 

sao cho

,

5

n

va





0

.nn

Khi đó, nhờ có đánh giá

11 1

3338

()() ,

55555

nnn nnn

b

ububub ubu u



 

        

ta thu được

1

3

,

55

nn

ub ub





 

0

nn 

1,0

Từ sự kiện này ta suy ra

00

1

3

;

55

nn

ubub





 

00 0

2

21

333

.;

55555

nn u

ubub ub







   





..........

00

12

3333

.... 1 .

55555

kkk

nk u

ub ub









  

    



  

  





hay

1,0

00 0

3

1

33

5

.

3

55 52

1

5

k

kk

nk u n

u b ub ub











 



   

 

 



Do đó







bu

kn

0

với k đủ lớn tức là



 bu

n

với n đủ lớn và 0



nhỏ tuỳ ý. Vậy

bu

n

lim

Hay dãy



n

u có giới hạn hữu hạn (đpcm).

0,5

2

Đề xuất của trường THPT chuyên Lào Cai, tỉnh Lào Cai

Cho

A

BC có đường tròn nội tiếp





I

tiếp xúc với

,,

B

CCAAB

ở

,,DEF

. Đường thẳng

qua

A

song song

BC

cắt

,DE DF

lần lượt tại

,

M

N

. Đường tròn ngoại tiếp tam giác

DMN

cắt đường tròn





I

tại điểm L khác D .

a) Chứng minh

,,

A

KL

thẳng hàng.

b) Tiếp tuyến với đường tròn ngoại tiếp tam giác

DMN

tại

,

M

N

cắt

E

F tại

,UV

.

Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác

UVL tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp

tam giác

DMN

.

4,0

Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán lớp 11

VnDoc xin giới thiệu tới bạn đọc Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 11 môn Toán năm 2018 - 2019 cụm trường THPT Chuyên DH&ĐB Bắc Bộ. Nội dung tài liệu gồm 5 câu hỏi bài tập, thời gian làm bài 180 phút. Mời các bạn tham khảo.

Trên đây VnDoc đã giới thiệu tới các bạn Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 11 môn Toán năm 2018 - 2019 cụm trường THPT Chuyên DH&ĐB Bắc Bộ. Để có kết quả cao hơn trong học tập, VnDoc mời các bạn học sinh tham khảo Giải bài tập Sinh học lớp 11, Giải bài tập Vật lý lớp 11, Giải bài tập Hóa học lớp 11, Giải bài tập Toán lớp 11, Tài liệu học tập lớp 11 mà VnDoc tổng hợp và đăng tải.