Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 9 vòng 1 năm 2026-2027 Phường Trường Vinh, Nghệ An

A Đề thi học sinh giỏi lớp 9 Phường Trường Vinh có đáp án

B Đáp án đề thi chọn học sinh giỏi Toán 9

Câu 1. (3,0 điểm)

a) Điều kiện xác định: x ≠0; x ≠1.

Mẫu thức chung: x⁴ - x = x(x - 1)(x² + x + 1).

Rút gọn biểu thức A:

\(A = \frac{{x({x^2} - 2x) + (x + 1)(x - 1) + (1 + 2{x^2} - 2x)}}{{x(x - 1)({x^2} + x + 1)}}\)

\(A = \frac{{{x^3} - 2{x^2} + {x^2} - 1 + 1 + 2{x^2} - 2x}}{{x(x - 1)({x^2} + x + 1)}} = \frac{{x(x - 1)(x + 2)}}{{x(x - 1)({x^2} + x + 1)}} = \frac{{x + 2}}{{{x^2} + x + 1}}\)

Vì \({x^2} + x + 1 = {\left( {x + \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4} > 0\) với mọi x, nên A ≥ => x + 2 ≥ 0 => x = -2.

Xét hiệu:

\(3 - A = \frac{{3{x^2} + 2x + 1}}{{{x^2} + x + 1}} > 0\)

Vì \(3{x^2} + 2x + 1 = 3{\left( {x + \frac{1}{3}} \right)^2} + \frac{2}{3} > 0\)

Do đó A < 3. Vì A là số tự nhiên nên A ∈ {{0;1;2}}.

Trường hợp A = 0: x + 2 = 0 => x = -2 (thỏa mãn điều kiện).

Trường hợp A = 1: x² + x + 1 = x + 2 => x² = 1 => x = -1 (do x ≠ 1).

Trường hợp A =2: \(2{x^2} + 2x + 2 = x + 2 \Leftrightarrow 2{x^2} + x = 0 \Leftrightarrow x = - \frac{1}{2}\)(do x ≠ 0).

Vậy \(x \in \left\{ { - 2, - 1, - \frac{1}{2}} \right\}\).

b) Từ giả thiết (x - 1)³= 9x, ta có:

\({x^2} + x + 1 = {(x - 1)^2} + 3x = {(x - 1)^2} + \frac{{{{(x - 1)}^3}}}{3} = \frac{{{{(x - 1)}^2}(x + 2)}}{3}\)

Mặt khác:

(x + 2)³ - 9(x+ 1)³ = x³ - 3x² - 6x - 1 = (x - 1)³ -9x = 0

Suy ra (x + 2)³ = 9(x + 1)².

Do đó:

\({(y + 1)^3} = {({x^2} + x + 1)^3} = \frac{{{{(x - 1)}^6}{{(x + 2)}^3}}}{{27}}\)\(= \frac{{{{(9x)}^2} \cdot 9{{(x + 1)}^2}}}{{27}} = 27{[x(x + 1)]^2} = 27{y^2}\)

Câu 2. (4,0 điểm)

a) Điều kiện xác định: x≠±2.

Nhận xét: \(\frac{{{x^2} - 9}}{{{x^2} - 4}} = \left( {\frac{{x + 3}}{{x - 2}}} \right)\left( {\frac{{x - 3}}{{x + 2}}} \right)\)

Đặt \(u = \frac{{x + 3}}{{x - 2}}\) và \(v = \frac{{x - 3}}{{x + 2}}\). Phương trình trở thành:

_U² + 6v² - 7uv => (u - v)(u - 6v) = 0

Trường hợp 1: \(u = v \Leftrightarrow \frac{{x + 3}}{{x - 2}} = \frac{{x - 3}}{{x + 2}}\)\(\Leftrightarrow {x^2} + 5x + 6 = {x^2} - 5x + 6 \Leftrightarrow 10x = 0 \Leftrightarrow x = 0\) (thỏa mãn).

Trường hợp 2: \(u = 6v \Leftrightarrow \frac{{x + 3}}{{x - 2}} = \frac{{6(x - 3)}}{{x + 2}}- 7x + 6 = 0\)

\(\Leftrightarrow {x^2} + 5x + 6 = 6{x^2} - 30x + 36\)\(\Leftrightarrow 5{x^2} - 35x + 30 = 0 \Leftrightarrow {x^2}\).

Phương trình cho nghiệm x = 1 hoặc x = 6 (đều thỏa mãn).

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {0 ;1 ;6}.

b) Trừ từng vế hai phương trình của hệ:

\((2{x^2} - 2xy + {y^2}) - (4{x^2} - 5xy + 2{y^2}) = x - y\)

\(\Leftrightarrow - 2{x^2} + 3xy - {y^2} = x - y\)

\(\Leftrightarrow - (2x - y)(x - y) = x - y \Leftrightarrow (x - y)(2x - y + 1) = 0\)

Trường hợp 1: x -y = 0⇔x = y. Thay vào phương trình đầu: x² - x = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 1. Hệ có nghiệm (x; y) = (0; 0) hoặc (x; y) = (1 ;1).

Trường hợp 2: 2x - y + 1 = 0 ⇔ y = 2x + 1. Thay vào phương trình đầu: 2x² + x + 1 = 0, phương trình vô nghiệm vì biệt thức ∆ = 1 - 8 = -7 < 0.

Vậy hệ phương trình có hai nghiệm (x; y) ∈{(0; 0), (1; 1)}}.

Câu 3. (3,0 điểm)

a) Biến đổi: 4(x²- xy + 4y²) = (2x -y)²+ 15y².

Vì x² - xy + 4y² chia hết cho 25 nên chia hết cho 5.

Mà 15y² chia hết cho 5 nên (2x - y)² chia hết cho 5, suy ra 2x - y chia hết cho 5.

Do đó (2x - y)² chia hết cho 25.

Vì 4(x² - xy + 4y²) chia hết cho 25 và (2x - y)² chia hết cho 25 nên 15y² chia hết cho 25, dẫn đến 3y² chia hết cho 5, suy ra y chia hết cho 5.

Từ 2x - y chia hết cho 5 và y chia hết cho 5 suy ra 2x chia hết cho 5, tức x chia hết cho 5.

Vì x và y đều chia hết cho 5 nên các số hạng x²; xy; 4y² đều chia hết cho 25.

Vậy x² - xy + 4y² chia hết cho 25.

b) Vì p; qlà các số nguyên tố, p²- 1 chia hết cho q, và q² - 4 chia hết cho p:

Nếu q = 2: q² - 4 = 0 chia hết cho mọi số nguyên tố p. Điều kiện p² - 1 chia hết cho 2 tương đương với p là số nguyên tố lẻ. Do đó cặp (p; 2) thỏa mãn với mọi số nguyên tố lẻ p.

Nếu q > 2: q là số nguyên tố lẻ.

Ta có p(q - 2)(q + 2) => p ≤ q + 2.

Nếu p = 2 thì \({p^2} - 1 = 3\; \vdots \;q \Rightarrow q = 3\), nhưng 3² - 4 = 4 không chia hết cho 2. Vậy p phải là số nguyên tố lẻ.

Vì p; q đều lẻ và q ≤ p + 1, suy ra q ≤ p.

Nếu q = p, điều kiện q|p² - 1 dẫn đến p|1, vô lý. Do đó q < p.

📚 Phần tiếp theo của tài liệu đã được tổng hợp trong file đính kèm, mời bạn tải về để đọc tiếp.