VnDoc.com

Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 10 môn Toán năm 2018 - 2019 cụm trường THPT Chuyên DH&ĐB Bắc Bộ

Đề thi HSG Toán 10 có đáp án

(Đề thi

g

ồm 1 tran

g

)

KỲ THI HỌC SINH GIỎI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN

KHU VỰC DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ

LẦN THỨ XII, NĂM 2019

ĐỀ THI MÔN: TOÁN HỌC 10

Thời gian: 180 phút (Không kể thời gian giao đề)

Ngày thi: 20/4/2019

Câu 1. ( 4 điểm )

Giải hệ phương trình



2

3

11

2

,

2512242

yyyx

xy

xx x xy



 









 





.

Câu 2. ( 4 điểm )

Cho tam giác

A

BC

có

A

BAC

, các điểm

,,DEF

lần lượt nằm trên các cạnh

,,

B

CCAAB

sao cho

|| , ||DE AB DF AC

. Đường tròn ngoại tiếp tam giác

A

BC

cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác

A

EF tại

các điểm

,

A

G

. Đường thẳng DE cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF tại điểm





H

HE

. Đường

thẳng qua

G

vuông góc với

GH

cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác

A

BC

tại điểm





K

KG

, đường

thẳng qua

G

vuông góc với

GC

cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác

A

EF tại điểm





L

LG

. Gọi

,PQ

lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

,GDK GDL

. Chứng minh rằng khi điểm D thay đổi trên

cạnh

BC

thì:

a) Đường tròn ngoại tiếp tam giác

GEF luôn đi qua hai điểm cố định.

b) Đường tròn ngoại tiếp tam giác

GPQ

luôn đi qua một điểm cố định.

Câu 3. ( 4 điểm )

Tìm tất cả các số nguyên dương

,mn

và số nguyên tố

p

thỏa mãn





32

4402115.

n

mm m p  

Câu 4. ( 4 điểm )

Cho 3 số thực dương

,,abc

. Chứng minh rằng:

(2 )(2 )(2 )

0

111

aa bc bb ca cc ab

ab bc ca

  





Câu 5. ( 4 điểm )

Cho bảng ô vuông kích thước

100 100

mà mỗi ô được điền một trong các ký tự

,,,

A

BCD

sao cho trên

mỗi hàng, mỗi cột của bảng thì số lượng ký tự từng loại đúng bằng

25.Ta gọi hai ô thuộc cùng hàng

(không nhất thiết kề nhau) nhưng được điền khác ký tự là “cặp tốt”, còn hình chữ nhật có các cạnh song

song với cạnh hoặc nằm trên cạnh của bảng và bốn ô vuông đơn vị ở bốn góc của nó được điền đủ bốn ký

tự

,,,

A

BCD

là “bảng tốt”.

a) Hỏi trong các cách điền ở trên, có bao nhiêu cách điền mà mỗi bảng ô vuông

14,41

và

22

đều có

chứa đủ các ký tự

,,, ?

A

BCD

b) Chứng minh rằng với mọi cách điền thỏa mãn đề bài thì trên bảng ô vuông đã cho:

i) Luôn có

2 cột của bảng mà từ đó có thể chọn ra được

76

cặp tốt.

ii) Luôn có một bảng tốt.

-------------- HẾT --------------

(Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)

Họ và tên thí sinh: ...................................................................... Số báo danh: ...................................

ĐỀ CHÍNH TH

Ứ

C

KÌ THI HỌC SINH GIỎI KHU VỰC DH&ĐBBB NĂM 2019

MÔN: TOÁN 10

ĐÁP ÁN, THANG ĐIỂM

Câu Nội dung trình bày Điểm

Câu 1

Giải hệ phương trình

 



2

3

11 1

2

25122422

yyyx

xx x xy



 







 



.

Nguồn: Chuyên Lam Sơn- Thanh Hóa

4đ

Điều kiện: 2420

x

y.

Từ phương trình (1), ta có:

222

242 12. 1

x

yy yy y 





2

242 1

x

yyy 

.

0,5

Thay vào phương trình (2) và chú ý rằng

2

10yy 

.

Lúc này ta được





22

2512 1

x

xx y y 







2

11421

x

xyy   



2

11

22

xx

yy





 





(3)

1,0

Đặt

1

2

x

u



 . Từ (3) cho ta

22

11uu y y  

22

110uy u y  









22

0

11

uyuy

uy



 

 



22

10

11

uy





  



 



(4)

1,0

Do









22

22 22

11

10

11 11

uuy y

uy

uy uy

  



 

   

Nên từ (4) cho ta

uy

, hay

1

21

2

x

yx y



 

.

0,5

Thay vào phương trình (1) ta được



2

5

112

2

yyy y 



2

14yy

2

12yy (do

2

10yy ). Tìm được

35

,

42

yx

.

Kết luận: Hệ có đúng một nghiệm





;

x

y là

53

;

24









1,0

Câu2

Cho tam giác

A

BC

có

A

BAC

, các điểm

,,DEF

lần lượt nằm trên các cạnh

,,

B

CCAAB

sao cho

|| , ||DE AB DF AC

. Đường tròn ngoại tiếp tam giác

A

BC

cắt đường tròn ngoại tiếp

tam giác

A

EF

tại các điểm

,

A

G

. Đường thẳng

DE

cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác

A

EF

tại điểm





H

HE

. Đường thẳng qua

G

vuông góc với

GH

cắt đường tròn ngoại tiếp tam

giác

A

BC

tại điểm





K

KG

, đường thẳng qua

G

vuông góc với

GC

cắt đường tròn ngoại

tiếp tam giác

A

EF

tại điểm





L

LG . Gọi

,PQ

lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp tam

giác

,GDK GDL

. Chứng minh rằng khi điểm

D

thay đổi trên cạnh BC thì:

a) Đường tròn ngoại tiếp tam giác

GEF luôn đi qua hai điểm cố định.

b) Đường tròn ngoại tiếp tam giác

GPQ

luôn đi qua một điểm cố định.

N

g

uồn: Chu

y

ên V

ĩ

nh Phúc

4,0

E'

M

Q

O'

P

L

K H

G

E

F

A

O

B

CD

a) Gọi O, O’ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, AEF .Gọi '

E

là điểm đối xứng với

E

qua đường thẳng

A

O

. Khi đó

'||

E

EBC

vì cùng vuông góc với AO suy ra tứ giác BDEE’

là hình bình hành suy ra

'DE BE , kết hợp với DE AF ta được

B

FAE

( Có thể không cần dựng điểm E

’

, dễ thấy tam giác BFD câc tại F và có tứ giác AEDF là hình

bình hành, nên ta có BF=DF=AE)

0,5

'.Suy ra OAE OBF OE OF

Kết hợp với OA là phân giác của góc





.

E

AF O AEF

Vậy đường tròn ngoại tiếp tam giác

GEF

luôn đi qua hai điểm cố định

1,0

Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán lớp 10

VnDoc xin giới thiệu tới bạn đọc Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 10 môn Toán năm 2018 - 2019 cụm trường THPT Chuyên DH&ĐB Bắc Bộ. Tài liệu gồm 5 câu hỏi bài tập, thời gian làm bài 180 phút. Mời các bạn học sinh tham khảo.

Trên đây VnDoc đã giới thiệu tới các bạn Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 10 môn Toán năm 2018 - 2019 cụm trường THPT Chuyên DH&ĐB Bắc Bộ. Để có kết quả cao hơn trong học tập, VnDoc xin giới thiệu tới các bạn học sinh tài liệu Giải bài tập Toán 10, Giải bài tập Vật Lí 10, Giải bài tập Sinh học 10, Giải bài tập Hóa học 10, Tài liệu học tập lớp 10 mà VnDoc tổng hợp và đăng tải.