Luyện tập Đường trung bình của tam giác Cánh Diều

Hình vẽ minh họa

Ta có là đường trung bình của tam giác nên

Tam giác có nên I là trung điểm của BD.

Tương tự K là trung điểm của CE. Hình thang BEDC có I, K là trung điểm của hai đường chéo.

Từ đó suy ra

Hình vẽ minh họa

Kẻ BH vuông góc CD.

Ta có:

Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác BHC vuông ta có

Tam giác BDH có BI = IDvà IK//BH nên IK là đường trung bình

Gọi O là trung điểm của BC.

Xét ∆EBC có OM là đường trung bình

Xét ∆DBC có ON là đường trung bình

Ta có: (so le trong).

Xét tam giác ∆APQ cân tại A

Hình vẽ minh họa

Trong tam giác ABC, MN là đường trung bình nên ta có và MN // AC (1).

Tương tự trong tam giác ACD, và PQ // AC (2)  

Từ (1) và (2) suy ra MN = PQ và MN // PQ, do vậy MNPQ là hình bình hành (3).

Lại xét tam giác ABD, MQ là đường trung bình, suy ra .

Vì ABCD là hình thang cân nên AC = BD, từ đó suy ra MN = MQ (4).

Từ (3) và (4) suy ra MNPQ là hình thoi.

Hình vẽ minh họa

Giả sử O là trung điểm của BD.

Khi đó các đoạn thẳng OM, ON lần lượt là đường trung bình của tam giác DAB và BDC. Từ đó ta có:

Khẳng định đúng là: “Đường trung bình của tam giác là đoạn nối trung điểm hai cạnh của tam giác. “

Hình vẽ minh họa:

Ta có MN là đường trung bình của tam giác ABC suy ra và

PQ là đường trung bình của tam giác ADC suy ra và .

Do đó và , suy ra là hình bình hành.

Hình vẽ minh họa:

Ta có AG // BI và BG // AI nên tứ giác AIBG là hình bình hành, suy ra BG = AI.

IB // AG => IB⊥BC, mà HF⊥BC, do đó IB // HF.

Lại có F là trung điểm của BC nên HF đi qua trung điểm của IC.  

Chứng minh tương tự, HE cũng đi qua trung điểm của IC.

Từ đó ta được H là trung điểm của IC.

Trong tam giác AIC, HE là đường trung bình, do đó:

Vậy BG = 2HE.

Theo chứng minh trên, HF là đường trung bình trong CBI.  

Suy ra (Vì AIBG là hình bình hành).

Vậy AG = 2HF hay

Hình vẽ minh họa

Trong tam giác ACD, PQ là đường trung bình, suy ra .

Tương tự

Từ đó ta có MN // PQ và

Suy ra MNPQ là hình bình hành. Mặt khác .

Vậy MNPQ là hình chữ nhật.

Ta có MP = NQ.

Theo giả thiết thì BCAD là hình thang với hai đáy BC, AD và QN là đường trung bình nên .

Hình vẽ minh họa:

Gọi M là trung điểm của BD thì:

∆ABC cân tại A, AH là đường cao nên

Ta có HM là đường trung bình của ∆BCD =>

⇒ Tứ giác ADHM là hình thang

Hình thang HMAD có hai đường chéo bằng nhau nên là hình thang cân.

(vì là góc ngoài tam giác BDC) (1)

Đặt

Vậy tam giác ABC có

Hình vẽ minh họa

Theo tính chất tam giác vuông, ta có .

Tam giác CMA cân tại M và F là trung điểm AC suy ra MF ⊥ AC.

Chứng minh tương tự: ME ⊥ AB. Vậy AEMF là hình chữ nhật.

Ta có EF là đường trung bình trong tam giác ABC, suy ra EF // BC.

Theo giả thiết, AB < AC suy ra HB < HA, do đó H thuộc đoạn MB.

Vậy EHMF là hình thang.

Tam giác HAB vuông tại H, ta có , từ đó suy ra EHMF là hình thang cân.

Hình vẽ minh họa:

Ta có là đường trung bình của tam giác , nên và .

Tứ giác có một cặp cạnh đối vừa song song vừa bằng nhau, nên nó là hình bình hành.

Tương tự, tứ giác cũng là hình bình hành.

Hai hình bình hành và có chung đường chéo nên các đường chéo đồng quy tại trung điểm O của mỗi đường.

Vậy cả 4 khẳng định đều đúng.