VnDoc.com

Đề chọn đội tuyển dự thi HSG quốc gia năm 2018 môn Toán

Đề chọn đội tuyển HSG môn Toán

a

p

(b + 2) (c + 2)

+

b

p

(c + 2) (a + 2)

+

c

p

(a + 2) (b + 2)

≥ 1.

b) Cho n là số nguyên dương, xét đa thức

P (x) = a

n

x

n

+ a

n−1

x

n−1

+ .... + a

1

x + a

0

có các hệ số là số thực. Biết rằng P (0) , P (1) , . . . , P (n) đều là các số nguyên. Chứng minh

rằng với mọi số nguyên m thì P (m) nhận giá trị là số nguyên.

Bài 2. Xét phương trình

1

1 (x + 1)

+

1

2 (x + 2)

+ ..... +

1

n (x + n)

= 1

với n là số nguyên dương.

a) Chứng minh với mỗi số nguyên dương n, phương trình trên luôn có nghiệm trên

khoảng (−1; +∞) và nghiệm đó duy nhất, kí hiệu là x

n

.

b) Chứng minh dãy số (x

n

) có giới hạn khi n → +∞ và tính giới hạn đó.

Bài 3. Cho ∆ABC nhọn (AB < AC), nội tiếp đường tròn (O), I là tâm đường tròn nội

tiếp tam giác. Gọi H và D lần lượt là hình chiếu vuông góc của A và I trên cạnh BC.

Đường thẳng AI cắt (O) tại điểm E khác A, đường thẳng DE cắt (O) tại F khác E. Hai

đường thẳng BC, AF cắt nhau ở K.

a) Chứng minh F I⊥EA và bốn điểm A, I, K, H cùng thuộc một nửa đường tròn.

b) Đường thẳng EH cắt (O) tại L khác E, đường thẳng F L cắt BC ở J. Chứng minh

tiếp tuyến của (O) tại điểm F đi qua trung điểm của đoạn JK.

Bài 4. a) Kí hiệu N

∗

là tập hợp các số nguyên dương. Có bao nhiêu hàm số f : N

∗

→ N

∗

thỏa mãn

f (1) = 1, f (n + 2) f (n) = f

2

(n + 1) + 1, ∀n ∈ N

∗

.

b) Tìm tất cả các hàm số f : R → R thỏa mãn

f



f (x) + x

2

+ y



= f (x) + x

2

+ f (y) , ∀x, y ∈ R.

Bài 5. a) Tính số hoán vị f (1) ; f (2) ; ......; f (2018) của các số 1; 2; ....2018 sao cho biểu

thức

T = 1f (1) + 2f (2) + .... + 2018f (2018)

nhận giá trị là số nguyên lẻ.

1

1.

Bài 1. a) Cho các số dương a, b, c sao cho a

2

+ b

2

+ c

2

+ abc = 4. Chứng minh

b) Trong cuộc thi vấn đáp gồm có m thí sinh và n giám khảo, trong đó m > 1, n > 3 và

n không phải là bội của 3. Mỗi giám khảo sẽ đánh giấ từng thí sinh theo ba loại A, B, C.

Biết rằng tồn tại số nguyên dương k sao cho hai giám khảo bất kỳ có đánh giá giống nhau

ứng với k thí sinh. Chứng minh k ≥

m (n − 2)

3n

.

x

0

= 2017, x

n

= −

2017

n

n−1

X

k=0

x

k

, ∀n ∈ N

∗

.

Tìm giới hạn

L = lim

n→∞

n

2

2017

X

k=0

2

k

x

k

+ 5

−2018n

2

+ 4n − 3

.

Bài 2. Tìm tất cả các hàm số f : R → R thỏa mãn điều kiện

xf(x + xy) = xf(x) + f(x

2

)f(y) ∀x, y ∈ R.

Bài 3. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), có trực tâm H. Gọi M, N, P là

trung điểm của BC, CA, AB. Đường tròn đường kính AH và đường tròn (O) cắt nhau tại

T 6= A. AT cắt BC tại Q. NP cắt tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) tại R. a) Chứng

minh rằng QR vuông góc OH. b) Đường thẳng đối xứng với HM qua phân giác trong

góc

\

BHC cắt đoạn thẳng BC tại I. Gọi K là hình chiếu của A trên H. Chứng minh rằng

đường tròn ngoại tiếp tam giác MIK tiếp xúc với đường tròn (O).

Bài 4. Tìm tất cả các giá trị tự nhiên của n để biểu thức

A =

(3n)!

n!(n + 1)!(n + 2)!

có giá trị nguyên.

Bài 5. a) Cho S là tập gồm 2017 số nguyên tố phân biệt và M là tập gồm 2018 số tự nhiên

phân biệt sao cho mỗi số trong M đều không là số chính phương và chỉ có ước nguyên

tố thuộc S. Chứng minh rằng có thể chọn ra trong M một số số có tích là một số chính

phương.

b) Có 32 học sinh tham gia 33 câu lạc bộ, mỗi học sinh có thể tham gia nhiều câu lạc

bộ và mỗi câu lạc bộ có đúng 3 học sinh tham gia. Biết rằng không có 2 câu lạc bộ nào có

3 học sinh giống nhau. Chứng minh rằng có 2 câu lạc bộ chung nhau đúng 1 học sinh.

2.

Bài 1. Cho dãy số (x

n

) xác định bởi

Đề chọn đội tuyển dự thi HSG quốc gia

VnDoc xin giới thiệu tới các bạn học sinh Đề chọn đội tuyển dự thi HSG quốc gia năm 2018 môn Toán, nội dung tài liệu gồm 15 đề sẽ là nguồn thông tin hay để phục vụ công việc học tập của các bạn học sinh được tốt hơn. Mời các bạn học sinh thử sức.

Đề thi thử THPT quốc gia môn Toán năm 2018 trường Đại học Ngoại Thương - Hà Nội (Lần 6)

Đề thi thử THPT quốc gia môn Toán năm 2018 trường Đại học Ngoại Thương - Hà Nội (Lần 7)

Đề thi thử THPT quốc gia môn Toán năm 2018 trường THPT chuyên Tuyên Quang (Lần 2)

Đề thi thử THPT quốc gia môn Toán năm 2018 trường THCS&THPT M.V Lômônôxốp - Hà Nội (Lần 4)

Đề thi thử THPT quốc gia môn Toán năm 2018 trường THPT Kim Liên - Hà Nội (Lần 3)

----------------------------------

Trên đây VnDoc.com đã giới thiệu tới bạn đọc tài liệu: Đề chọn đội tuyển dự thi HSG quốc gia năm 2018 môn Toán. Để có kết quả cao hơn trong học tập, VnDoc xin giới thiệu tới các bạn học sinh tài liệu Thi thpt Quốc gia môn Toán, Thi thpt Quốc gia môn Hóa học, Thi thpt Quốc gia môn Vật Lý, Thi thpt Quốc gia môn Sinh học mà VnDoc tổng hợp và đăng tải.