Lý thuyết Toán 6 Bài 17: Phép chia hết. Ước và bội của một số nguyên

• Cho a,b ∈ Z với b ≠ 0. Nếu có số nguyên q sao cho a = bq thì ta có phép chia hết a : b = q (trong đó ta cũng gọi a là số bị chia, b là số chia và q là thương). Khi đó ta nói a chia hết cho b, kí hiệu là a ⋮ b.

• Nhận xét - Dấu của thương:

(+) : (+) → (+)

(–) : (–) → (+)

(+) : (–) → (–)

(–) : (+) → (–)

• Khi a ⋮ b (a, b ∈ Z, b ≠ 0) ta còn gọi a là một bội của b và b là một ước của a.

• Chú ý:

+ Số 0 là bội của mọi số nguyên khác 0.

+ Số 0 không phải là ước của bất kì số nguyên nào.

+ Các số 1 và – 1 là ước của mọi số nguyên.

+ Nếu a là một bội của b thì – a cũng là một bội của b

+ Nếu b là một ước của a thì – b cũng là một ước của b

+ Nếu c vừa là ước của a vừa là ước của b thì c cũng được gọi là ước chung của a và b.

Có tất cả tính chất như trong tập Số tự nhiên:

• Nếu a chia hết cho b và b chia hết cho c thì a cũng chia hết cho c

a ⋮ b và b ⋮ c thì a ⋮ c

• Nếu a chia hết cho b thì bội của a cũng chia hết cho b

a ⋮ b thì ka ⋮ b (k ∈ Z)

• Nếu a, b chia hết cho c thì tổng và hiệu của chúng chia hết cho c

a ⋮ x và b ⋮ c thì (a + b) ⋮ c và (a - b) ⋮ c

• Nếu a, b chia cho c cùng số dư thì a - b chia hết cho c

• Nếu a chia hết cho b, b chia hết cho a thì a = ± b

• Nếu a chia hết cho hai số m, n nguyên tố cùng nhau thì a chia hết cho m.n

• Nếu aⁿ chia hết cho số nguyên tố p thì a chia hết cho p

• Nếu ab chia hết cho m và b, m nguyên tố cùng nhau thì a chia hết cho m

• Trong n số nguyên liên tiếp có đúng một số chia hết cho n

a) Dạng 1. Chia hai số nguyên

Phương pháp giải: Áp dụng quy tắc chia hai số nguyên cùng dấu

b) Dạng 2: Tìm ước, bội, ước chung, bội chung của số nguyên cho trước

Phương pháp giải:

* Nếu a ⋮ b thì a gọi là một bội của b và b là một ước của a (a, b thuộc Z, b khác 0).

+ Nếu a là một bội của b thì - a cũng là một bội của b.

+ Nếu b là một ước của thì - b cũng là một ước của a.

* Nếu d vừa là ước cua a, vừa là ước của b thì ta gọi d là một ước chung của a và b (a, b, d thuộc Z, d khác 0).

* Nếu q vừa là bội của a, vừa là bội của b thì ta goi q la mot bội chung của a và b (a, b, q thuộc Z).

c) Dạng 3: Tìm số nguyên chưa biết thỏa mãn điều kiện cho trước

Phương pháp giải:

- Áp dụng quy tắc chuyển vế đưa các số hạng chứa x về một bên, các số hạng không chứa x về một bên rồi sau đó tìm số chưa biết theo quy tắc chia hai số nguyên.

- Vận dụng kiến thức:

+ a : b = 0 => a = 0

+ a : b > 0 => a và b cùng dấu (cùng âm hoặc cùng dương)

+ a : b < 0 => a và b trái dấu

d) Dạng 4: Chứng minh một biểu thức chia hết cho một số nguyên

Phương pháp giải: Để chứng minh một biểu thức A chia hết cho số nguyên a;

- Nếu A có dạng tích mnp thì cần chỉ ra m (hoặc n, hoặc p) chia hết cho a. Hoặc m chia hết cho a₁, n chia hết cho a₂, p chia hết cho a₃, trong đó a = a₁a₂a₃

- Nếu A có dạng tổng m + n + p thì cần chỉ ra m, n, p cùng chia hết cho a, hoặc tổng các số dư khi chia m, n, p cho a phải chia hết cho a.

- Nếu A có dạng hiệu m – n thì cần chỉ ra m, n chia cho a có cùng số dư. Vận dụng tính chất chia hết để làm bài toán về tìm điều kiện để một biểu thức thỏa mãn điều kiện cho hết

e) Dạng 5: Bài toán thực tế