Bài tập cuối chương 9 Tứ giác nội tiếp Đa giác đều

Trong các tứ giác đã cho hình bình hành, hình thoi không nội tiếp được trong một đường tròn.

Hình vẽ minh họa

TH1:

TH2:

Trong tam giác vuông trung điểm cạnh huyền là tâm đường tròn ngoại tiếp.

Số đường chéo của n giác là :

Một đa giác có số đường chéo bằng . Số cạnh của đa giác đó là 12.

Hình vẽ minh họa

Kẻ đường kính .

Ta có tứ giác nội tiếp đường tròn nên .

Mặt khác .

Do đó .

Xét hai tam giác vuông và có . (chứng minh trên).

Suy ra . Khi đó

Vậy .

Hình vẽ minh họa

Ta có: là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (theo tính chất)

Xét tứ giác HKBI ta có:

suy ra BKHI là tứ giác nội tiếp

Lại có do vuông tại không là hình chữ nhật.

Tổng số góc của đa giác đều n cạnh là:

Từ giả thiết ta có:

Ta có (hai góc đối đỉnh).

Đặt

Theo tính chất góc ngoài tam giác ta có: (2)

Lại có (3) (hai góc đối diện của tứ giác nội tiếp).

Từ (1); (2) và (3) ta nhận

Do là hai góc kề bù nên

Ta lại có là hai góc đối diện của tứ giác nội tiếp nên

Bán kính của đường tròn nội tiếp hình vuông có độ dài đường chéo 5 cm là: 5: 2 = 2,5cm.

Ta có ABCDE là ngũ giác đều nên

Do đó các phép quay thuận chiều 72⁰ biến điểm A thành điểm B, điểm B thành điểm C, điểm O thành điểm O.

=> Phép quay thuận chiều 72⁰ biến tam giác OAB thành .

Hình vẽ minh họa

Lại có cân tại có

Ta có

Và

Từ đó suy ra tam giác cân tại

Xét tứ giác nội tiếp

=>

Ta chưa đủ điều kiện để suy ra tứ giác là hình thoi.

Hình vẽ minh họa

Vì ME là tiếp tuyến của (O) nên ME vuông góc với OE, suy ra tam giác MOE nội tiếp đường tròn đường kính MO (1)

Vì MF là tiếp tuyến của (O) nên MF vuông góc với OF, suy ra tam giác MOF nội tiếp đường tròn đường kính MO (2).

Từ (1) và (2) suy ra M; E; O; F cùng thuộc một đường tròn nên A đúng.

Gọi MO ∩ EF = {H}.

Vì M là giao điểm của 2 tiếp tuyến ME và MF của (O).

⇒ ME = MF (tính chất) mà OE = OF = R (gt)

⇒ MO là đường trung trực của EF ⇒ MO ⊥ EF

⇒∠IFE + ∠OIF = 90°

Vì OI = OF = R nên tam giác OIF cân tại O.

⇒∠OIF = ∠OFI mà ∠MFI + ∠OFI = 90°; ∠IFE +∠OIF = 90°

⇒∠MFI = ∠IFE ⇒ FI là phân giác của ∠MFE (1)

Vì M là giao điểm của 2 tiếp tuyến ME và MF của (O)

⇒ MI là phân giác của ∠EMF (tính chất) (2)

Từ (1) và (2) ⇒ I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MEF.

Hình vẽ minh họa

Xét tam giác cân tại và

.

Ta có tứ giác là tứ giác nội tiếp (4 điểm cùng thuộc ).

(tính chất tứ giác nội tiếp).

Gọi là giao điểm của và vuông tại .

.

Hình vẽ minh họa

Xét có  (góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn) và .

Mà

Nên

Mà

Do đó .

Hình vẽ minh họa

Gọi khoảng cách từ điểm O tới AB, CD, BC, DA lần lượt là: OE, OI, OF; OH.

Suy ra E, I, F, H lần lượt là trung điểm của AB, CD, BC, DA và OE = x; OI = y; OF = z; OH = t

Mà AC là đường kính đường tròn (O; R) nên AC = 2R và O là trung điểm của AC

Vậy OE là đường trung bình của ∆ABC nên:

(định lý Ptô-lê-mê)

Chứng minh định lý Ptô-lê-mê: “Nếu một tứ giác nội tiếp một đường tròn thì tích của 2 đường chéo bằng tổng các tích của các cặp cạnh đối”.

Giả sử tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O).

Trên đường chéo AC của tứ giác ta lấy điểm E sao cho ABE = CBD

Khi đó ta có: ∆ABE đồng dạng với ∆DBC (do ABE = CBD, BAE = BDC hai góc nội tiếp cùng chắn cung BC) nên

Xét các tam giác ΔABD và ΔEBC ta thấy:

ABD = ABE + EBD = CBD + EBD = EBC

(do : )

Vậy , do đó:

Từ (1) và (2) ta được:

AB.CD + BC.AD = BD.AE + BD.EC = BD.(AE + EC) = BD.AC.

Vì tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp nên (hai góc nội tiếp cùng chắn cung BC)

(tổng hai góc đối bằng 180⁰)

(góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối với đỉnh đó).