Luyện tập Tiếp tuyến của đường tròn Chân trời sáng tạo

Ta có:

Đường thẳng a cắt đường tròn

Vậy điều kiện để đường thẳng a cắt đường tròn là .

Xét tứ giác có:

Hình vẽ minh họa

Tứ giác ABCD là hình thang vuông, MO là đường trung bình của hình thang.

Suy ra diện tích ABCD đạt giá trị lớn nhất là khi .

Khoảng cách từ đường thẳng d đến tâm O bé hơn bán kính R

Suy ra đường thẳng d cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt.

Hình vẽ minh họa

Trên mặt phẳng tọa độ Oxy có M(2; 5)

Suy ra M cách Ox một khoảng và cách Oy một khoảng

Đường tròn (M; 5) có R = 5

Ta có: suy ra đường tròn (M; 5) tiếp xúc với trục Ox.

suy ra đường tròn (M; 5) cắt trục Oy.

Hình vẽ minh họa

Theo tính chất tiếp tuyến ta có: MA = MB

Suy ra tam giác MAB cân tại M

.

Hình vẽ minh họa

Đường thẳng AB là tiếp tuyến của (O; 2cm) tại B

tại B

Xét tam giác ABO vuông tại B ta có:

(Pythagore)

Hình vẽ minh họa

Gọi G là tiếp tuyến của EF với (O), H là trung điểm của AB. Khi đó ta có:

Vì nên

Hình vẽ minh họa

Xét tam giác OAB vuông tại B có:

Nếu thì đường thẳng tiếp xúc đường tròn .

Vậy khẳng định sai là: “Nếu thì đường thẳng đi qua tâm đường tròn .”

Nếu hai tiếp tuyến của đường tròn cắt nhau tại một điểm thì:

Điểm đó cách đều hai tiếp điểm

Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến.

Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua tiếp điểm.

Vậy các từ cần điền vào chỗ trống lần lượt là: Hai tiếp tuyến; hai bán kính đi qua tiếp điểm.

Xét tứ giác AMBO có:

Tam giác OAB cân tại O có nên

Hình vẽ minh họa

Tam giác OAM vuông cân tại A nên

Quỹ tích điểm M là đường tròn tâm O bán kính .

Do tam giác ABC cân suy ra AH là đường cao, đường trung tuyến => BH = HC

Do BK là đường cao của tam giác ABC =>

=> Tam giác ABC vuông tại K

=> Trung tuyến KH = BH = HC =

=> vuông tại

(*)

đường kính AI

Suy ra tam giác KOI cân tại O

(**)

Từ (*) và (**) suy ra

tại

Vậy KH là tiếp tuyến của đường tròn

Nếu hai tiếp tuyến của đường tròn cắt nhau tại một điểm thì:

Điểm đó cách đều hai tiếp điểm

Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến.

Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua tiếp điểm.

Vậy khẳng định sai là: “Tia nối từ điểm đó tới tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính.”

Hình vẽ minh họa

Ta có: có MN là tiếp tuyến tại I tại .

Mà nên

Xét tam giác OBJ vuông tại J ta có:

Tam giác OAB có MN // AB suy ra

Hình vẽ minh họa

Ta có: suy ra

Suy ra

Áp dụng định lý Pythagore cho tam giác ATO vuông tại T (AT là tiếp tuyến của (O))) ta có:

Đường tròn và đường thẳng a có một điểm chung

Đường tròn và đường thẳng có hai điểm chung

Đường tròn và đường thẳng không có điểm chung

=> Đường tròn và đường thẳng có ít nhất một điểm chung