Luyện tập Đường tròn ngoại tiếp tam giác. Đường tròn nội tiếp tam giác

Hình vẽ minh họa

Gọi O là giao hai đường chéo của hình vuông ABCD.

Khi đó theo tính chất của hình vuông ta có: nên O là tâm đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD, bán kính

Xét tam giác ABC vuông cân tại B ta có

Vậy tâm đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD cạnh a là giao điểm hai đường chéo, bán kính là

Hình vẽ minh họa

Vì trong một đường tròn hai cung bằng nhau thì hai cdaay bằng nhau nên ta đi so sánh các đoạn thẳng .

Xét vuông tại có .

Xét có (chứng minh trên) và nên là tam giác đều.

.

Do đó các cung bằng nhau.

Hình vẽ minh họa

Vì cung AB bằng cung BC bằng cung CD nên gọi số đo mỗi cung là a độ.

Ta có số đo cung AD là

Vì là góc có đỉnh bên trong đường tròn nên:

là góc nội tiếp chắn cung AD nên .

Hình vẽ minh họa

Xét có (góc có đinh bên ngoài đường tròn) và .

Mà nên

do đó .

Hình vẽ minh họa

∆ABC vuông tại A có: AB = 9cm; AC = 12cm ⇒ BC = 15 cm

Lại có

Hình vẽ minh họa

Gọi M; N; P lần lượt là trung điểm của BC; AB; AC và O là giao điểm của AM; BP; CN.

Vì ABC là tam giác đều nên OA = OB = OC hay O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Mặt khác ta có OM = ON = OP hay O cách đều ba cạnh của tam giác. Vậy O cũng là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

Xét tam giác vuông AMB có:

Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là

Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC là:

Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác đó.

Hình vẽ minh họa

Vì ME là tiếp tuyến của (O) nên ME vuông góc với OE, suy ra tam giác MOE nội tiếp đường tròn đường kính MO (1)

Vì MF là tiếp tuyến của (O) nên MF vuông góc với OF, suy ra tam giác MOF nội tiếp đường tròn đường kính MO (2).

Từ (1) và (2) suy ra M; E; O; F cùng thuộc một đường tròn nên A đúng.

Gọi MO ∩ EF = {H}.

Vì M là giao điểm của 2 tiếp tuyến ME và MF của (O).

⇒ ME = MF (tính chất) mà OE = OF = R (gt)

⇒ MO là đường trung trực của EF ⇒ MO ⊥ EF

⇒∠IFE + ∠OIF = 90°

Vì OI = OF = R nên tam giác OIF cân tại O.

⇒∠OIF = ∠OFI mà ∠MFI + ∠OFI = 90°; ∠IFE +∠OIF = 90°

⇒∠MFI = ∠IFE ⇒ FI là phân giác của ∠MFE (1)

Vì M là giao điểm của 2 tiếp tuyến ME và MF của (O)

⇒ MI là phân giác của ∠EMF (tính chất) (2)

Từ (1) và (2) ⇒ I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MEF.

Tâm của đường tròn nội tiếp tam giác là giao của các đường phân giác các góc trong tam giác.

Hình vẽ minh họa

Đường tròn tâm đường kính có là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên .

Xác định điểm cách đều 4 điểm đó là tâm đường tròn.

Vì là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác nên là phân giác trong của góc .

Vì là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác của góc nên là phân giác ngoài của góc .

Theo tính chất phân giác trong và phân giác ngoài ta có vuông nên .

Chứng minh hoàn toàn tương tự ta có: .

Xét 2 tam giác vuông .

Vậy 4 điểm nằm trên đường tròn .

Hình vẽ minh họa

Vì tam giác ABC vuông tại A nên tâm đường tròn ngoại tiếp là trung điểm cạnh huyền BC, bán kính là .

Theo định lý Pytago ta có: nên bán kính

Hình vẽ minh họa

Gọi tam giác ABC đều cạnh a nội tiếp (O;2cm)

Khi đó O là trọng tâm tam giác ABC và cũng là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nên AO = 2cm.

Gọi AH là đường trung tuyến

Theo định lý Pytago ta có

Từ đó ta có

Diện tích tam giác ABC là

Hình vẽ minh họa

Xét vuông tại có là trung tuyến ứng với cạnh huyền nên

Vì tam giác đều có là tâm đường tròn ngoại tiếp nên cũng là giao của ba đường phân giác

nên ; lần lượt là các đường phân giác

Ta có:

Xét tam giác AOC có

Nên số đo cung nhỏ AC là 120⁰.

Đường tròn tiếp xúc với một cạnh của tam giác và tiếp xúc với phần kéo dài của hai cạnh còn lại gọi là đường tròn bàng tiếp tam giác.

Tâm đường tròn bàng tiếp tam giác là giao của 1 đường phân giác góc trong và hai đường phân giác góc ngoài của tam giác.

Kí hiệu hình vẽ như sau:

Gọi khung gỗ hình tam giác đều là tam giác .

Đồng hồ là đường tròn tâm , bán kính

Vì nội tiếp tam giác đều nên suy ra

Vậy độ dài cạnh khung gỗ phía bên trong bằng

Hình vẽ minh họa

Kẻ đường kính .

Ta có tứ giác nội tiếp đường tròn nên .

Mặt khác .

Do đó .

Xét hai tam giác vuông và có . (chứng minh trên).

Suy ra . Khi đó

Vậy .

Bất kì tam giác đều nào cũng có một và chỉ một đường tròn ngoại tiếp, có một và chỉ một đường tròn nội tiếp.