Cho a,b,c là các số dương sao cho a+b+c=1. Chứng minh bất đẳng thức

a) Ax//By nên $\frac{AC}{BD}=\frac{CN}{NB}$ (talet)

Mà CA=CM và DM=DB (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

=> $\frac{CN}{NB}=\frac{CM}{MD}$ => MN//BD (talet đảo)

Mặt khác BD vuông góc với AB => MN vuông góc với AB

b) Theo định lý Talet, ta có:

$\frac{MN}{BD}=\frac{CN}{CB}=\frac{AN}{AD}=\frac{NH}{BD}$

=> MN=NH

5.

Áp dụng bết đẳng thức cosi cho ba số dương a,b,c, ta có:

$\frac{a^2}{b+c}+\frac{b+c}{4}\ge 2\sqrt{\frac{a^2}{b+c}.\frac{b+c}{4}}=a$

$\frac{b^2}{c+a}+\frac{a+c}{4}\ge 2\sqrt{\frac{b^2}{c+a}.\frac{a+c}{4}}=b$

$\frac{c^2}{a+b}+\frac{a+b}{4}\ge 2\sqrt{\frac{c^2}{a+b}.\frac{a+b}{4}}=c$

<=> $\frac{a^2}{b+c}+\frac{b+c}{4}+\frac{b^2}{a+c}+\frac{a+c}{4}+\frac{c^2}{a+b}+\frac{a+b}{4}\ge a+b+c=1$

<=> $\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{a+c}+\frac{c^2}{a+b}+\frac{a+b+c}{2}\ge 1$

<=> $\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{a+c}+\frac{c^2}{a+b}\ge \frac{1}{2}$ 

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $\frac{a^2}{b+c}=\frac{b^2}{a+c}=\frac{c^2}{a+b}$

=> $a=b=c=\frac{1}{3}$