Đề thi giáo viên dạy giỏi tỉnh Hòa Bình năm 2013 môn Toán

Câu 1 (4 điểm):

a. Phân tích các đa thức sau ra thừa số: x⁴ + 4 và (x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) - 24

b. Giải phương trình: x⁴ - 30x² + 31x - 30 = 0

c. Cho . Chứng minh rằng:

Câu 2. (8 điểm):

a) Rút gọn biểu thức:

b) Cho hàm số y = ax + 6 (d). Tìm a để (d) cắt hai trục Ox, Oy tại hai điểm A và B sao cho diện tích tam giác OAB bằng 12

c) Giải phương trình:

d) Cho hai đường tròn bằng nhau (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Vẽ đường thẳng qua A cắt (O’) tại N (A nằm giữa M và N). Hỏi tam giác MBN là tam giác gì? Tại sao?

Câu 3. (4 điểm):

Cho phương trình: x2 - 2(m + 2)x - m = 0 (1)

a) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm.

b) Tìm các giá trị nguyên của m để phương trình (1) có hai nghiệm x₁, x₂ sao cho A = x₁² + x₂² đạt giá trị nhỏ nhất.

Câu 4. (4 điểm):

Cho đường tròn tâm O đường kính AB, M là một điểm trên đường tròn (M≠A, M≠B), tiếp tuyến với (O) tại A và M cắt nhau tại E. Từ M hạ các đường vuông góc MP, MQ lần lượt xuống AB và AE.

a. Chứng minh rằng: ΔMPB đồng dạng với ΔEMO.

b. Gọi I là giao điểm của PQ và OE. Chứng minh rằng: A, I, M thẳng hàng.