Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm

Đóng

Điểm danh hàng ngày

Hôm nay +3
Ngày 2 +3
Ngày 3 +3
Ngày 4 +3
Ngày 5 +3
Ngày 6 +3
Ngày 7 +5

Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm! Đăng nhập ngay để nhận điểm

Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169

VnDoc.com

Đề chọn HSG Toán 9 vòng 2 năm 2026 – 2027 trường THCS Giảng Võ, Hà Nội

Đề thi học sinh giỏi lớp 9 có đáp án

Bài trước

Tải về

Bài sau

Dạng tài liệu: Đề thi HSG Toán Lớp 9

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Đề tuyển chọn học sinh giỏi Toán 9 năm 2026–2027

A. Đề thi học sinh giỏi Toán 9 trường THCS Giảng Võ
B. Hướng dẫn đáp án đề thi học sinh giỏi

Đối với học sinh đang hướng đến mục tiêu chinh phục các kỳ thi học sinh giỏi, việc luyện tập những đề tuyển chọn có tính phân loại cao là bước quan trọng để hoàn thiện kiến thức và nâng cao năng lực tư duy. Đề chọn HSG Toán 9 vòng 2 năm 2026 – 2027 trường THCS Giảng Võ, Hà Nội là tài liệu tham khảo dành cho các em muốn thử sức với những bài toán nâng cao, đồng thời rèn luyện khả năng phân tích đề và xây dựng lời giải chặt chẽ. Thông qua việc tự làm đề thi học sinh giỏi lớp 9 có đáp án, học sinh có thể đánh giá mức độ thành thạo của bản thân, nhận diện những dạng toán cần tiếp tục bồi dưỡng và cải thiện kỹ năng trình bày. Quá trình ôn luyện nghiêm túc với đề thi tuyển chọn còn giúp các em phát triển tư duy độc lập, tính chính xác và khả năng phân bổ thời gian hợp lý khi giải quyết những câu hỏi khó.

A. Đề thi học sinh giỏi Toán 9 trường THCS Giảng Võ

B. Hướng dẫn đáp án đề thi học sinh giỏi

Bài I (6,0 điểm).

a) Với x > 0; x≠1 ta có:

. $\begin{array}{l} \frac{3}{{\sqrt x + 1}} + \frac{1}{{1 - \sqrt x }} + \frac{{x + 5}}{{x - 1}} = \frac{{3(\sqrt x - 1) - (\sqrt x + 1) + x + 5}}{{(\sqrt x - 1)(\sqrt x + 1)}}\\ = \frac{{x + 2\sqrt x + 1}}{{(\sqrt x - 1)(\sqrt x + 1)}} = \frac{{{{(\sqrt x + 1)}^2}}}{{(\sqrt x - 1)(\sqrt x + 1)}} = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}} \end{array}$ $\begin{array}{l} \frac{3}{{\sqrt x + 1}} + \frac{1}{{1 - \sqrt x }} + \frac{{x + 5}}{{x - 1}} = \frac{{3(\sqrt x - 1) - (\sqrt x + 1) + x + 5}}{{(\sqrt x - 1)(\sqrt x + 1)}}\\ = \frac{{x + 2\sqrt x + 1}}{{(\sqrt x - 1)(\sqrt x + 1)}} = \frac{{{{(\sqrt x + 1)}^2}}}{{(\sqrt x - 1)(\sqrt x + 1)}} = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}} \end{array}$

Do đó $A = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}} \cdot \frac{x}{{\sqrt x + 1}} = \frac{x}{{\sqrt x - 1}}$ $A = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}} \cdot \frac{x}{{\sqrt x + 1}} = \frac{x}{{\sqrt x - 1}}$.

b) Nếu 0<x<1 thì $\sqrt x - 1 < 0$ $\sqrt x - 1 < 0$, x >0 nên A <0< 4, thỏa mãn.

Nếu x > 1 thì $\sqrt x - 1 > 0$ $\sqrt x - 1 > 0$, khi đó $A \le 4 \Leftrightarrow x \le 4\sqrt x - 4 \Leftrightarrow {(\sqrt x - 2)^2} \le 0 \Leftrightarrow x = 4$ $A \le 4 \Leftrightarrow x \le 4\sqrt x - 4 \Leftrightarrow {(\sqrt x - 2)^2} \le 0 \Leftrightarrow x = 4$ (thỏa mãn).

Vậy 0 <x <1 hoặc x = 4.

2) Cộng vế theo vế ba đẳng thức ta được x³ + y³ + z³ = 3xyz

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow (x + y + z)({x^2} + {y^2} + {z^2} - xy - yz - zx) = 0\\ \Leftrightarrow (x + y + z)\left[ {{{(x - y)}^2} + {{(y - z)}^2} + {{(z - x)}^2}} \right] = 0 \end{array}$ $\begin{array}{l} \Leftrightarrow (x + y + z)({x^2} + {y^2} + {z^2} - xy - yz - zx) = 0\\ \Leftrightarrow (x + y + z)\left[ {{{(x - y)}^2} + {{(y - z)}^2} + {{(z - x)}^2}} \right] = 0 \end{array}$

Trường hợp 1: x = y = z ≠0. Khi đó ba điều kiện đều đúng và P = (1 + 1)(1 + 1)( 1 + 1) = 8.

Trường hợp 2: x+y+z = 0, suy ra x + y = -z, y + z = -x, z + x = -y.

Khi đó $P = \frac{{(x + y)(y + z)(z + x)}}{{xyz}} = \frac{{( - z)( - x)( - y)}}{{xyz}} = - 1$ $P = \frac{{(x + y)(y + z)(z + x)}}{{xyz}} = \frac{{( - z)( - x)( - y)}}{{xyz}} = - 1$.

Vậy P ∈{-1; 8}.

Bài II (4,0 điểm).

1) Gọi tên mỗi viên bi theo số ghi trên nó. Không gian mẫu gồm các kết quả: {1;2}, {1;3}, {1;4},{1;5}, {2;3},{2;4} ,{2;5},{3;4},{3;5},{4;5}, có 10 kết quả đồng khả năng.

Hai viên bi khác màu khi lấy được một bi vàng (ghi 1;2;3) và một bi nâu (ghi 4;5). Các kết quả thuận lợi là {1;4}, {1;5}; {2;4},{2;5},{3;4},{3;5}, có 6 kết quả.

Xác suất cần tìm là $\frac{6}{{10}} = \frac{3}{5}$ $\frac{6}{{10}} = \frac{3}{5}$.

2) Ta có 108= 4.27 và (4,27) = 1 .

Chứng minh $abc{\mkern 1mu} \vdots {\mkern 1mu} 4$ $abc{\mkern 1mu} \vdots {\mkern 1mu} 4$

Ta có $9{c^2} - 7{a^2} = 4{b^2}{\mkern 1mu} \vdots {\mkern 1mu} 4$ $9{c^2} - 7{a^2} = 4{b^2}{\mkern 1mu} \vdots {\mkern 1mu} 4$, mà $9{c^2} - 7{a^2} = ({a^2} + {c^2}) + 8({c^2} - {a^2})$ $9{c^2} - 7{a^2} = ({a^2} + {c^2}) + 8({c^2} - {a^2})$ nên . Số chính phương chia cho 4 chỉ dư 0 hoặc 1, do đó a² và c² cùng chia hết cho 4, suy ra a;c đều chẵn, nên $ac{\mkern 1mu} \vdots {\mkern 1mu} 4$ $ac{\mkern 1mu} \vdots {\mkern 1mu} 4$.

Chứng minh $abc{\mkern 1mu} \vdots {\mkern 1mu} 27$ $abc{\mkern 1mu} \vdots {\mkern 1mu} 27$

Ta có $7{a^2} + 4{b^2} = 9{c^2}{\mkern 1mu} \vdots {\mkern 1mu} 3$ $7{a^2} + 4{b^2} = 9{c^2}{\mkern 1mu} \vdots {\mkern 1mu} 3$, mà $7{a^2} + 4{b^2} = ({a^2} + {b^2}) + 3(2{a^2} + {b^2})$ $7{a^2} + 4{b^2} = ({a^2} + {b^2}) + 3(2{a^2} + {b^2})$ nên ${a^2} + {b^2}{\mkern 1mu} \vdots {\mkern 1mu} 3$ ${a^2} + {b^2}{\mkern 1mu} \vdots {\mkern 1mu} 3$. Số chính phương chia cho 3 chỉ dư 0 hoặc 1, do đó $a{\mkern 1mu} \vdots {\mkern 1mu} 3;b{\mkern 1mu} \vdots {\mkern 1mu} 3$ $a{\mkern 1mu} \vdots {\mkern 1mu} 3;b{\mkern 1mu} \vdots {\mkern 1mu} 3$

Đặt $[a = 3{a_1};b = 3{b_1};\left( {{a_1},{b_1} \in \mathbb{Z}} \right)$ $[a = 3{a_1};b = 3{b_1};\left( {{a_1},{b_1} \in \mathbb{Z}} \right)$, ta được $7a_1^2 + 4b_1^2 = {c^2}$ $7a_1^2 + 4b_1^2 = {c^2}$.

Nếu $c{\mkern 1mu} \vdots {\mkern 1mu} 3$ $c{\mkern 1mu} \vdots {\mkern 1mu} 3$ thì $abc = 9{a_1}{b_1}c{\mkern 1mu} \vdots {\mkern 1mu} 27$ $abc = 9{a_1}{b_1}c{\mkern 1mu} \vdots {\mkern 1mu} 27$.

Nếu c không chia hết cho 3 thì c² chia 3 dư 1. Mà $7a_1^2 + 4b_1^2 = (a_1^2 + b_1^2) + 3(2a_1^2 + b_1^2)$ nên $a_1^2 + b_1^2$ chia 3 dư 1, suy ra một trong hai số a₁; b₁ chia hết cho 3. Do đó $ab = 9{a_1}{b_1}{\mkern 1mu} \vdots {\mkern 1mu} 27$ $ab = 9{a_1}{b_1}{\mkern 1mu} \vdots {\mkern 1mu} 27$.

Vậy abc chia hết cho cả 4 và 27 nên $abc{\mkern 1mu} \vdots {\mkern 1mu} 108$ $abc{\mkern 1mu} \vdots {\mkern 1mu} 108$.

Bài III (2,0 điểm).

Đặt x= a - 2, y = b - 2, z = c - 2, ta có và x + y + z = 0.

Ta có

. $\begin{array}{l} {a^2} + {b^2} + {c^2} = {(x + 2)^2} + {(y + 2)^2} + {(z + 2)^2}\\ = {x^2} + {y^2} + {z^2} + 4(x + y + z) + 12 = {x^2} + {y^2} + {z^2} + 12 \end{array}$ $\begin{array}{l} {a^2} + {b^2} + {c^2} = {(x + 2)^2} + {(y + 2)^2} + {(z + 2)^2}\\ = {x^2} + {y^2} + {z^2} + 4(x + y + z) + 12 = {x^2} + {y^2} + {z^2} + 12 \end{array}$

Đặt S = x² + y² + z², T = xyz, ta có P = 12 + S + T.

Tìm giá trị nhỏ nhất: Vì |x|≤1 nên $|T| = |xyz| \le |yz| \le \frac{{{y^2} + {z^2}}}{2} \le S$ $|T| = |xyz| \le |yz| \le \frac{{{y^2} + {z^2}}}{2} \le S$, suy ra S + T ≥ 0, hay P≥12.

Dấu bằng xảy ra khi x = y = z = 0, tức a = b = c = 2.

Tìm giá trị lớn nhất: Vì -1 x;y;z≤1 nên $U = (1 - x)(1 - y)(1 - z) \ge 0$ $U = (1 - x)(1 - y)(1 - z) \ge 0$ và V = (1 + x)(1 + y)(1 + z) ≥ 0.

Từ x + y + z = 0 suy ra $xy + yz + zx = - \frac{S}{2}$ $xy + yz + zx = - \frac{S}{2}$, do đó $U = 1 - \frac{S}{2} - T$ $U = 1 - \frac{S}{2} - T$, $V = 1 - \frac{S}{2} + T$ $V = 1 - \frac{S}{2} + T$.

Ta có U + V = 2 - S ≥ 0 nên S≤2; U≥0 nên $T \le 1 - \frac{S}{2}$ $T \le 1 - \frac{S}{2}$.

Suy ra $S + T \le 1 + \frac{S}{2} \le 2$ $S + T \le 1 + \frac{S}{2} \le 2$, hay P≤14.

Dấu bằng xảy ra khi S = 2 và U = 0, khi đó V = 0 và T = 0. Do đó trong ba số x;y;z có một số bằng 1, một số bằng -1, số còn lại bằng 0, tức (a;b;c) là một hoán vị của (1;2;3).

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 12 khi a = b = c = 2; giá trị lớn nhất của P là 14 khi (a;b;c) là một hoán vị của (1;2;3).

Bài IV (6,0 điểm).

a) Vì Xđối xứng với A qua BC nên BC là đường trung trực của AX, suy ra XB = AB, XC = AC. Mà AB = AC = BC nên ABXC là hình thoi, do đó XB//AC và XC //AB .

Vì E thuộc tia đối của tia CA, F thuộc tia đối của tia BA nên:

$\widehat {FBX} = \widehat {BAC} = {60^0 }$ $\widehat {FBX} = \widehat {BAC} = {60^0 }$ (đồng vị, BX//AC); $\widehat {XCE} = \widehat {BAC} = {60^0 }$ $\widehat {XCE} = \widehat {BAC} = {60^0 }$ (đồng vị, CX//AB); $\widehat {BXF} = \widehat {CEX}$ $\widehat {BXF} = \widehat {CEX}$ (đồng vị, BX//CE).

Suy ra (g.g), do đó $\frac{{BF}}{{CX}} = \frac{{BX}}{{CE}} \Rightarrow BF \cdot CE = BX \cdot CX = B{C^2} \Rightarrow \frac{{CB}}{{BF}} = \frac{{CE}}{{BC}}$ $\frac{{BF}}{{CX}} = \frac{{BX}}{{CE}} \Rightarrow BF \cdot CE = BX \cdot CX = B{C^2} \Rightarrow \frac{{CB}}{{BF}} = \frac{{CE}}{{BC}}$.

📘 Nội dung tài liệu còn tiếp tục, mời bạn tải bản đầy đủ để tham khảo chi tiết hơn.

-----------------------------------

Đối với học sinh đang hướng đến mục tiêu chinh phục các kỳ thi học sinh giỏi, việc luyện tập những đề tuyển chọn có tính phân loại cao là bước quan trọng để hoàn thiện kiến thức và nâng cao năng lực tư duy. Đề chọn HSG Toán 9 vòng 2 năm 2026 – 2027 trường THCS Giảng Võ, Hà Nội là tài liệu tham khảo dành cho các em muốn thử sức với những bài toán nâng cao, đồng thời rèn luyện khả năng phân tích đề và xây dựng lời giải chặt chẽ. Thông qua việc tự làm đề thi học sinh giỏi lớp 9 có đáp án, học sinh có thể đánh giá mức độ thành thạo của bản thân, nhận diện những dạng toán cần tiếp tục bồi dưỡng và cải thiện kỹ năng trình bày. Quá trình ôn luyện nghiêm túc với đề thi tuyển chọn còn giúp các em phát triển tư duy độc lập, tính chính xác và khả năng phân bổ thời gian hợp lý khi giải quyết những câu hỏi khó.

Tải về

Chọn file muốn tải về: