Đề thi chọn học sinh giỏi Toán 12 năm 2018 - 2019 Sở GD&ĐT Vĩnh Phúc
Đề thi chọn HSG lớp 12 môn Toán có đáp án
1
Câu 1. Cho hàm số
4 2
14 20 4
y x x x
= − + +
có đồ thị
(
)
C
. Viết phương trình tiếp tuyến của
(
)
C
biết
tiếp tuyến song song với đường thẳng
: 4 15
y x
∆ = − +
.
Câu 2. Giải phương trình
(
)
(
)
2cos 1 2sin cos sin sin 2
x x x x x
− + + =
Câu 3. Tìm tất cả các giái trị thực của tham số
m
để hàm số
( )
3 2 2
4 3
1 3
3 2
y x m x mx m
= + + + −
đồng
biến trên khoảng
(
)
1;
− +∞
.
Câu 4. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số
m
để hàm số
3 2
3 2
y x x m
= − + −
có đúng năm điểm
cực trị.
Câu 5. Cho dãy số
(
)
n
u
có số hạng tổng quát
( )
2
1
ln 1
1
n
u
n
= −
+
,
(
)
*
n ∈
ℕ
. Tính giá trị của biểu
thức
2018
1 2
2019. . ...
uu u
H e e e
=
Câu 6: Xếp mười học sinh gồm bốn học sinh lớp
12
, ba học sinh lớp
11
và ba học sinh lớp
10
ngồi
vào một hàng ngang gồm
10
ghế được đánh số từ
1
đến
10
. Tính xác suất để không có hai học
sinh lớp
12
ngồi cạnh nhau.
Câu 7: Cho hai đường thẳng
,
Ax By
chéo nhau, vuông góc và nhận đoạn
AB
làm đoạn vuông góc
chung. Hai điểm
,
M N
lần lượt di động trên
,
Ax By
sao cho
AM BN MN
+ =
. Gọi
O
là trung
điển của đoạn
AB
. Chứng minh tam giác
OMN
là tam giác tù và khoảng cách từ
O
đến
đường thẳng
MN
không đổi khi
,
M N
khi di động trên
,
Ax By
.
Câu 8: Cho tứ diện
ABCD
và các điểm
, ,
M N P
lần lượt thuộc các cạnh
, ,
BD BC AC
sao cho
2 , 4 , 3
= = =
BD BM BC BN AC AP
. Mặt phẳng
(
)
MNP
cắt
AD
tại
Q
. Tính tỷ số thể tích hai
phần của khối tứ diện
ABCD
được chia bởi
(
)
MNP
.
Câu 9: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ
Oxy
, cho hình vuông
ABCD
, điểm
(
)
3;3
G
là trọng tâm
tam giác
ABD
. Đường thẳng đi qua
A
vuông góc với
BG
và cắt
BD
tại điểm
(
)
1;3
E
. Tìm
tọa độ các đỉnh của hình vuông
ABCD
biết rằng đỉnh
A
có tung độ lớn hơn
1
.
Câu 10: Cho các số thực
, ,
x y z
thuộc khoảng
(
)
0;3
thỏa mãn
2 3 4
1 1 1 1
x y z
− − − =
. Tìm giá trị
nhỏ nhất của biểu thức
2 2 2
4 9 16
x y z
P
= + +
.
HẾT
ĐỀ VÀ HDG HỌC SINH GIỎI 12 VĨNH PHÚC 2018-2019
2
HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 1. Cho hàm số
4 2
14 20 4
y x x x
= − + +
có đồ thị
(
)
C
. Viết phương trình tiếp tuyến của
(
)
C
biết
tiếp tuyến song song với đường thẳng
: 4 15
y x
∆ = − +
.
Lời giải
Tập xác định
R
.
Ta có
' 3
4 28 20
y x x
= − +
.
Gọi
(
)
4 2
; 14 20 4
M a a a a
− + +
là điểm thuộc đồ thị
(
)
C
mà tiếp tuyến song song với đường
thẳng
: 4 15
y x
∆ = − +
. Khi đó ta có:
( ) ( )
( )
' 3 2
1
4 4 28 20 4 1 6 0 3
2
a
y a a a a a a a
a
=
= − ⇔ − + = − ⇔ − + − = ⇔ = −
=
.
Với
1
a
=
ta có
(
)
1; 11M
∈∆
khi đó tiếp tuyến tại
M
chính là
∆
nên loại.
Với
3
a
= −
ta có
(
)
3; 101
M −
, phương trình tiếp tuyến tại
M
là:
(
)
4 3 101 4 113
y x x= − + − = − −
.
Với
2
a
=
ta có
(
)
2; 4
M
, phương trình tiếp tuyến tại
M
là:
(
)
4 2 4 4 12
y x x
= − − + = − +
.
Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm lần lượt có phương trình là:
4 113; 4 12
y x y x
= − − = − +
.
Câu 2. Giải phương trình
(
)
(
)
2cos 1 2sin cos sin sin 2
x x x x x
− + + =
Lời giải
Ta có
(
)
(
)
( )( ) ( )
( )( )
2cos 1 2sin cos sin sin 2
2cos 1 2sin cos sin 2cos 1
2cos 1 sin cos 0
2
3
1
cos
2
2
3
sin cos
4
x x x x x
x x x x x
x x x
x k
x
x k
x x
x k
π
π
π
π
π
π
− + + =
⇔ − + = −
⇔ − + =
= +
=
⇔ ⇔ = − +
= −
= − +
3
Câu 3. Tìm tất cả các giái trị thực của tham số
m
để hàm số
( )
3 2 2
4 3
1 3
3 2
y x m x mx m= + + + −
đồng
biến trên khoảng
( )
1;− +∞
.
Lời giải
+Tập xác định:
D = ℝ
.
+
( )
2
' 4 3 1 3y x m x m= + + +
.Hàm số đồng biến trên khoảng
( )
1;− +∞
khi và chỉ khi
' 0y ≥
( )
1;x∀ ∈ − +∞
và phương trình
' 0y =
chỉ có một số hữu hạn nghiệm trên khoảng
( )
1;− +∞
⇔
( )
2
4 3 1 3 0x m x m+ + + ≥
( )
1;x∀ ∈ − +∞
2
4 3
3
1
x x
m
x
+
⇔ − ≤
+
( )
1;x∀ ∈ − +∞
( )
1
.
+Xét hàm số
2
4 3
( )
1
x x
f x
x
+
=
+
với
( )
1;x ∈ − +∞
.Ta có
( )
2
2
4 8 3
'( )
1
x x
f x
x
+ +
=
+
( )
1;x∀ ∈ − +∞
;
1
'( ) 0
2
f x x= ⇔ = −
;
1
1
2
f
− = −
;
lim ( )
x
f x
→+∞
= +∞
;
1
lim ( )
x
f x
+
→−
= +∞
.Do
đ
ó
( )
1;
1
min ( ) 1
2
f x f
− +∞
= − = −
.
+
( )
( )
1;
1 3 min ( )m f x
− +∞
⇔ − ≤
1
3
m⇔ ≥
.V
ậ
y
đ
áp s
ố
c
ầ
n tìm là
1
3
m ≥
.
Câu 4.
Tìm t
ấ
t c
ả
các giá tr
ị
th
ự
c c
ủ
a tham s
ố
m
để
hàm s
ố
3 2
3 2y x x m= − + −
có
đ
úng n
ă
m
đ
i
ể
m
c
ự
c tr
ị
.
Lời giải
Hàm s
ố
3 2
3 2y x x m= − + −
có
đ
úng n
ă
m
đ
i
ể
m c
ự
c tr
ị
khi và ch
ỉ
khi hàm s
ố
3 2
3 2y x x m= − + −
c
ắ
t tr
ụ
c hoành t
ạ
i
3
đ
i
ể
m phân bi
ệ
t khi và ch
ỉ
khi ph
ươ
ng trình
3 2
3 2 0x x m− + − =
( )
1
có 3 nghi
ệ
m phân bi
ệ
t.
Ta có
( )
3 2
1 3 2x x m⇔ − = −
Đề thi chọn học sinh giỏi Toán 12 năm 2018 - 2019
VnDoc xin giới thiệu tới bạn đọc Đề thi chọn học sinh giỏi Toán 12 năm 2018 - 2019 Sở GD&ĐT Vĩnh Phúc. Tài liệu gồm 10 câu hỏi bài tập, thời gian làm bài 180 phút, đề thi có đáp án. Mời các bạn học sinh tham khảo.
- Toán lớp 12
- Giải bài tập Toán lớp 12
- Giải vở bt Toán 12
- Giải bài tập Hóa học lớp 12
- Giải bài tập Vật Lí 12
Các bạn có thể thêm những tài liệu hữu ích khác tại Tài liệu học tập lớp 12 và tham khảo những đề thi học kì lớp 12 được cập nhật nhanh nhất tại Đề thi học kì 1 lớp 12
