Soạn Toán 8 bài 6 Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung và dùng hằng đẳng thức VNEN

A. B. Hoạt động khởi động và hình thành kiến thức

1. a) Điền vào chỗ trống để viết \(3x^{2} - 6x\) thành một tích của những đa thức:

\(3x^{2} - 6x = 3x .......... - 3x.2 = 3x(x - ............).\)

Trả lời:

\(3x^{2} - 6x = 3x.x - 3x.2 = 3x(x - 2).\)

b) Thực hiện các yêu cầu sau:

- Phân tích các đa thức thành nhân tử:

\(2x^{3} - x; 3x^{2}y^{2} + 12x^{2}y - 15xy^{2};\)

\(5x^{2}(x - 1) - 15x(x - 1); 3x(x - 2y) + 6y(2y - x).\)

Trả lời:

\(2x^{3} - x = x(2x^{2} - 1);\)

\(3x^{2}y^{2} + 12x^{2}y - 15xy^{2} = 3xy(xy + 4x - 5y);\)

\(5x^{2}(x - 1) - 15x(x - 1) = (x - 1)(5x^{2} - 15x) = 5x(x - 3)(x - 1);\)

\(3x(x - 2y) + 6y(2y - x) = 3x(x - 2y) - 6y(x - 2y) = 3(x - 2y)(x - 2y) = 3(x - 2y)^{2}\)

- Tìm x sao cho \(2x^{2} - 6x = 0.\)

Trả lời:

\(2x^{2} - 6x = 0 \Leftrightarrow 2x(x - 3) = 0 \Leftrightarrow 2x = 0\) hoặc \(x - 3 = 0 \Leftrightarrow x = 0\) hoặc x = 3.

Vậy x = 0 hoặc x = 3.

2. a) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

\(x^{2} - 6x + 9; 4x^{2} - 36; 8 - x^{3}.\)

Trả lời:

\(x^{2} - 6x + 9 = x^{2} - 2.x.3 + 3^{2} = (x - 3)^{2};\)

\(4x^{2} - 36 = (2x)^{2} - 6^{2} = (2x - 6)(2x + 6);\)

\(8 - x^{3} = 2^{3} - x^{3} = (2 - x)(4 - 2x + x^{2}).\)

b) Phân tích đa thức \(A = (2n + 3)^{2} - 9\) thành nhân tử. Từ đó chứng tỏ rằng A chia hết cho 4 với mọi số nguyên n.

Trả lời:

\(A = (2n + 3)^{2} - 9 = 4n^{2} + 12n + 9 - 9 = 4n(n + 3)\) luôn chia hết cho 4 với mọi số nguyên n.

\(a) x^{2}(x + 1) + 2x(x + 1) = 0\)

\(\Leftrightarrow x(x + 1)(x + 2) = 0\)

\(\Leftrightarrow x = 0\) hoặc x + 1 = 0 hoặc x + 2 = 0

\(\Leftrightarrow x = 0\) hoặc x = -1 hoặc x = -2.

Vậy x = 0 hoặc x = -1 hoặc x = -2.

\(b) x(3x - 2) - 5(2 - 3x) = 0\)

\(\Leftrightarrow x(3x - 2) + 5(3x - 2) = 0\)

\(\Leftrightarrow (3x - 2)(x + 5) = 0\)

\(\Leftrightarrow 3x - 2 = 0\) hoặc x + 5 = 0

\(\Leftrightarrow x = \frac{2}{3}\) hoặc x = -5.

Vậy \(x = \frac{2}{3}\) hoặc x = -5.

\(c) \frac{4}{9} - 25x^{2} = 0\)

\(\Leftrightarrow (\frac{2}{3})^{2} - (5x)^{2} = 0\)

\(\Leftrightarrow (\frac{2}{3} - 5x)(\frac{2}{3} + 5x) = 0\)

\(\Leftrightarrow \frac{2}{3} - 5x = 0\) hoặc \(\frac{2}{3} + 5x = 0\)

\(\Leftrightarrow x = \frac{2}{15}\) hoặc \(x = -\frac{2}{15}.\)

Vậy \(x = \frac{2}{15}\) hoặc \(x = -\frac{2}{15}.\)

\(d) x^{2} - x + \frac{1}{4} = 0\)

\(\Leftrightarrow x^{2} - 2.x.\frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^{2} = 0\)

\(\Leftrightarrow (x - \frac{1}{2})^{2} = 0\)

\(\Leftrightarrow x - \frac{1}{2} = 0\)

\(\Leftrightarrow x = \frac{1}{2}\)

Vậy \(x = \frac{1}{2}.\)

\(a) 17.91,5 + 170.0,85 = 17.91,5 + 17.10.0,85 =\)\(17.91,5 + 17.8,5 = 17(91,5 + 8,5) = 17.100 = 1700;\)

\(b) 2016^{2} - 16^{2} = (2016 - 16)(2016 + 16) = 2000.2032 = 4064000;\)

\(c) x(x - 1) - y(1 - x) = x(x - 1) + y(x - 1) = (x - 1)(x + y).\)

Tại x = 2001 và y = 2999, ta được: \((2001 - 1)(2001 + 2999) = 2000.5000 = 10000000.\)

\(a) (x + 2)^{2} - 2(x + 2)(x - 8) + (x - 8)^{2} = [(x + 2) - (x - 8)]^{2} = 10^{2} = 100\)không phụ thuộc vào giá trị của biến x và y;

\(b) (x + y - z - t)^{2} - (z + t - x - y)^{2} = [(x + y - z - t) - (z + t - x - y)]\)\([(x + y - z - t) + (z + t - x - y)] = 0\) không phụ thuộc vào giá trị của biến x, y, z, t.

Có: \(n^{3} - n = n(n^{2} - 1) = n(n - 1)(n + 1) = (n - 1).n.(n + 1)\)

Dễ dàng nhận thấy n - 1; n; n + 1 là ba số tự nhiên liên tiếp

Mà tích của 3 số tự nhiêu liên tiếp luôn chia hết cho 2 và 3

Nên \(n^{3} - n\) luôn chia hết cho 6 với mọi số nguyên n.

\(x + 3y = xy + 3 \Leftrightarrow x + 3y - xy - 3 = 0 \Leftrightarrow\)\(x(1 - y) - 3(1 - y) = 0 \Leftrightarrow (x - 3)(1 - y) = 0 \Leftrightarrow x = 3\) hoặc y = 1.