Soạn Toán 8 bài 5 Những hằng đẳng thức đáng nhớ (tiếp) VNEN

A. B. Hoạt động khởi động và hình thành kiến thức

1. a) Với a, b là hai số tùy ý, hãy tính: \((a + b)(a^{2} - ab + b^{2})\). So sánh kết quả vừa tính được với \(a^{3} + b^{3}\).

Trả lời:

Có: \((a + b)(a^{2} - ab + b^{2}) = a^{3} - a^{2}b + ab^{2} + a^{2}b - ab^{2} + b^{3} = a^{3} + b^{3}.\)

Như vậy, \((a + b)(a^{2} - ab + b^{2}) = a^{3} + b^{3}.\)

b) Thực hiện theo các yêu cầu:

- Viết \(8x^{3} + 27\) dưới dạng tích.

- Viết \((x + 3)(x^{2} - 3x + 9)\) dưới dạng tổng.

Trả lời:

- Có: \(8x^{3} + 27 = (2x)^{3} + 3^{3} = (2x + 3)[(2x)^{2} - 2x.3 + 3^{2}] = (2x + 3)(4x^{2} - 6x + 9).\)

- Có: \((x + 3)(x^{2} - 3x + 9) = (x + 3)(x^{2} - 3x + 3^{2}) = x^{3} + 3^{3} = x^{3} + 27.\)

2. a) Với a, b là hai số tùy ý, hãy tính: \((a - b)(a^{2} + ab + b^{2})\). So sánh kết quả vừa tính được với \(a^{3} - b^{3}\).

Trả lời:

Có: \((a - b)(a^{2} + ab + b^{2}) = a^{3} + a^{2}b + ab^{2} - a^{2}b - ab^{2} - b^{3} = a^{3} - b^{3}.\)

Như vậy, \((a - b)(a^{2} + ab + b^{2}) = a^{3} - b^{3}.\)

b) Thực hiện các yêu cầu sau:

- Viết \(8x^{3} - 27y^{3}\) dưới dạng tích.

- Hãy đánh dấu x vào ô trống có đáp số đúng của tích: \((2 - x)(4 + 2x + x^{2})\).

\(8 + x^{3}\)
\(8 - x^{3}\)	x
\((x + 2)^{2}\)
\((x - 2)^{2}\)

Trả lời:

- Có: \(8x^{3} - 27y^{3} = (2x)^{3} - (3y)^{3} = (2x - 3y)[(2x)^{2} + 2x.3y + (3y)^{2}] =\)\((2x - 3y)(4x^{2} + 6xy + 9y^{2}).\)

-

\(8 + x^{3}\)	x
\((x + 2)^{2}\)
\((x - 2)^{2}\)

a) Bảy hằng đẳng thức đáng nhớ:

(1) Bình phương của một tổng: \((A + B)^{2} = A^{2} + 2AB + B^{2}.\)

(2) Bình phương của một hiệu: \((A - B)^{2} = A^{2} - 2AB + B^{2}.\)

(3) Hiệu hai bình phương: \(A^{2} - B^{2} = (A + B)(A - B).\)

(4) Lập phương của một tổng: \((A + B)^{3} = A^{3} + 3A^{2}B + 3AB^{2} + B^{3}.\)

(5) Lập phương của một hiệu: \((A - B)^{3} = A^{3} - 3A^{2}B + 3AB^{2} - B^{3}.\)

(6) Tổng hai lập phương: \(A^{3} + B^{3} = (A + B)(A^{2} - AB + B^{2}).\)

(7) Hiệu hai lập phương: \(A^{3} - B^{3} = (A - B)(A^{2} + AB + B^{2}).\)

b) - Tổng các lập phương bằng tích của tổng hai số và bình phương thiếu của một hiệu.

- Hiệu các lập phương bằng tích của hiệu hai số và bình phương thiếu của một tổng.

\(a) (x - 3)(x^{2} + 3x + 9) - (54 + x^{3}) = x^{3} - 3^{3} - (54 + x^{3}) = x^{3} - 27 - 54 - x^{3} = -81;\)

\(b) (3x + y)(9x^{2} - 3xy + y^{2}) - (3x - y)(9x^{2} + 3xy + y^{2}) = 9x^{3} + y^{3} - (9x^{3} - y^{3}) = 2y^{3}.\)

\(a) a^{3} + b^{3} = (a + b)^{3} - 3ab(a + b);\)

Ta có:

\(VP = (a + b)^{3} - 3ab(a + b) = a^{3} + 3a^{2}b + 3ab^{2} + b^{3} - 3a^{2}b - 3ab^{2}\)\(= a^{3} + b^{3} = VT (đpcm).\)

\(b) a^{3} - b^{3} = (a - b)^{3} + 3ab(a - b).\)

Ta có:

\(VP = (a - b)^{3} + 3ab(a - b) = a^{3} - 3a^{2}b + 3ab^{2}\)\(- b^{3} + 3a^{2}b - 3ab^{2} = a^{3} - b^{3} = VT (đpcm).\)

Áp dụng: Tính \(a^{3} + b^{3}\) biết ab = 12 và a + b = -7.

Có: \(a^{3} + b^{3} = (a + b)^{3} - 3ab(a + b) = (-7)^{3} - 3.12(-7) = -91.\)

\(a) (x + 3y)(...x^{2}... - ...3xy... + ...9y^{2}...) = x^{3} + 27y^{3};\)

\(b) (2x - ...3y...)(...4x^{2}... + 6xy +...9y^{2}...) = 8x^{3} - 27y^{3}.\)

\(a) A = 53^{2} + 106.46 + 47^{2} = 53^{2} + 2.53.47 + 47^{2} = (53 + 47)^{2} = 100^{2} = 10000;\)

\(b) B = 5^{4}.3^{4} - (15^{2} - 1)(15^{2} + 1) = (15)^{4} - (15^{4} - 1) = 15^{4} - 15^{4} + 1 = 1;\)

\(c) C = 50^{2} - 49^{2} + 48^{2} - 47^{2} + ... + 2^{2} - 1^{2}\)

\(= (50 - 49)(50 + 49) + (48 - 47)(48 + 47) + ... + (2 - 1)(2 + 1)\)

\(= 50 + 49 + 48 + 47 + ... + 2 + 1 = (50 + 1).50 : 2 = 1275.\)

a) Ta có:

\(A = 2015.2017 = (2016 - 1)(2016 + 1) = 2016^{2} - 1 < 2016^{2} = B.\)

Vì vậy A < B.

b) Ta có:

\(C = (2 + 1)(2^{2} + 1)(2^{4} + 1)(2^{8} + 1)(2^{16} + 1)\)

\(= (2 - 1)(2 + 1)(2^{2} + 1)(2^{4} + 1)(2^{8} + 1)(2^{16} + 1)\)

\(= (2^{2} - 1)(2^{2} + 1)(2^{4} + 1)(2^{8} + 1)(2^{16} + 1)\)

\(= (2^{4} - 1)(2^{4} + 1)(2^{8} + 1)(2^{16} + 1)\)

\(= (2^{8} - 1)(2^{8} + 1)(2^{16} + 1)\)

\(= (2^{16} - 1)(2^{16} + 1) = 2^{32} - 1 < 2^{32} = D.\)

Vì vậy C < D.

\(M = x^{3} - 3xy(x - y) - y^{3} - x^{2} + 2xy - y^{2}\)

\(= x^{3} - 3x^{2}y + 3xy^{2} - y^{3} - (x^{2} - 2xy + y^{2})\)

\(= (x - y)^{3} - (x - y)^{2}.\)

Thay x - y = 11, ta được: \(M = 11^{3} - 11^{2} = 1210.\)

a) \(-9x^{2} + 12x - 17 = -(9x^{2} - 12x + 4) - 13=\)\(-[(3x)^{2} - 2.3x.2 + 2^{2}] - 13= -(3x - 2)^{2} - 13 < 0\) với mọi giá trị của biến.

b) \(-11 - (x - 1)(x + 2) = -11 - (x^{2} + x - 2) = -(x^{2} + 2.x.\frac{1}{2} + \frac{1}{4} - \frac{1}{4} - 2)\)\(- 11 = -(x + \frac{1}{2})^{2} - \frac{35}{4} < 0\) với mọi giá trị của biến.