Toán 7 Bài 23: Đại lượng tỉ lệ nghịch

Mở đầu trang 15 Toán 7 Tập 2:

Bốn người thợ cùng làm sẽ xây xong một bức tường trong 9 ngày. Hỏi 6 người thợ cùng làm sẽ xây xong bức tường đó trong bao nhiêu ngày (biết năng suất của mỗi người thợ là như nhau)?

Hướng dẫn giải:

Do 4 người thợ cùng làm thì sẽ xây xong một bức tường trong 9 ngày nên để xây xong bức tường trong 1 ngày thì cần 4.9 = 36 người thợ.

6 người thợ thì sẽ xây xong bức tường đó trong 36 : 6 = 6 ngày.

Vậy 6 người thợ cùng làm sẽ xây xong bức tường đó trong 6 ngày.

Hoạt động 1 trang 15 Toán 7 tập 2 KNTT

Một ô tô đi từ thành phố A đến thành phố B trên quãng đường 180 km. Gọi t (h) là thời gian để ô tô đi từ A đến B với vận tốc v (km/h)

Thay mỗi dấu “?” trong bảng sau bằng số thích hợp.

Hướng dẫn giải:

Công thức liên hệ giữa quãng đường, vận tốc và thời gian là: S = v.t

Quãng đường từ thành phố A đến thành phố B là s = 180 km

=> v.t = 180

Khi đó ta có:

Với v = 40 => \(t = \frac{{180}}{{40}} = 4,5\)

Với v = 50 => \(t = \frac{{180}}{{50}} = 3,6\)

Với v = 60 => \(t = \frac{{180}}{{60}} = 3\)

Với v = 80 => \(t = \frac{{180}}{{80}} = 2,25\)

Hoàn thành bảng số liệu như sau:

Hoạt động 2 trang 15 Toán 7 tập 2 KNTT

Một ô tô đi từ thành phố A đến thành phố B trên quãng đường 180 km. Gọi t (h) là thời gian để ô tô đi từ A đến B với vận tốc v (km/h)

Viết công thức tính thời gian t theo vận tốc tương ứng v.

Hướng dẫn giải:

Ta có

s = v.t

=> v.t = 180

=> \(t = \frac{{180}}{v}\)

Câu hỏi trang 15 Toán 7 tập 2 KNTT

Trong Hoạt động 2, thời gian t có tỉ lệ nghịch với vận tốc v không? Vận tốc v có tỉ lệ nghịch với thời gian t không?

Hướng dẫn giải:

Từ Hoạt động 2 ta có:

v.t = 180

=> \(t = \frac{{180}}{v};v = \frac{{180}}{t}\)

=> Thời gian t tỉ lệ nghịch với vận tốc v và vận tốc v tỉ lệ nghịch với thời gian t.

Luyện tập 1 trang 16 Toán 7 tập 2 KNTT

Chiều dài và chiều rộng của các hình chữ nhật có cùng diện tích bằng 12 cm ² có phải là hai đại lượng tỉ lệ nghịch không? Nếu có thì hệ số tỉ lệ là bao nhiêu?

Hướng dẫn giải:

Gọi chiều dài của các hình chữ nhật có cùng diện tích bằng 12 cm² là a₁, a₂, a₃, … cm.

Chiều rộng của các hình chữ nhật có cùng diện tích bằng 12 cm² là b₁, b₂, b₃, … cm.

Ta có: Diện tích của các hình chữ nhật này đều bằng 12 cm²

=> a₁.b₁ = a₂.b₂ = a₃.b₃ = … = 12

=> Chiều dài và chiều rộng của các hình chữ nhật này là hai đại lượng tỉ lệ nghịch với hệ số tỉ lệ là 12.

Vận dụng 1 trang 16 Toán 7 tập 2 KNTT

a) Một cửa hàng bán gạo cần đóng 300 kg gạo thành các túi gạo có khối lượng như nhau. Thay mỗi dấu “?” trong bảng sau thành số thích hợp.

b) Số túi gạo và số kilôgam gạo trong mỗi túi có phải là hai đại lượng tỉ lệ nghịch không? Nếu có thì hệ số tỉ lệ là bao nhiêu?

Hướng dẫn giải:

a) Ta thấy lượng gạo trong mỗi túi nhân với số túi bằng 300 kg gạo.

=> Lượng gạo trong mỗi túi và số túi là hai đại lượng tỉ lệ nghịch với nhau.

Khi đó ta có:

Lượng gạo trong mỗi túi bằng 5 kg thì số túi bằng: 300 : 5 = 60 túi

Lượng gạo trong mỗi túi bằng 10 kg thì số túi bằng: 300 : 10 = 30 túi

Với số túi là 15 thì lượng gạo trong mỗi túi bằng: 300 : 15 = 20 kg

Với số túi là 12 thì lượng gạo trong mỗi túi bằng: 300 : 12 = 25 kg

Hoàn thành bảng số liệu như sau:

b) Số túi gạo và số kilôgam gạo trong mỗi túi là hai đại lượng tỉ lệ nghịch với hệ số tỉ lệ là 300.

Luyện tập 2 trang 17 Toán 7 tập 2 KNTT

Hướng dẫn giải:

Gọi số công nhân cần có để hoàn thành hợp đồng trong 10 tháng là x (công nhân)

Điều kiện: \(x \in {\mathbb{N}^*}\)

Ta có: Số công nhân tham gia làm việc và thời gian làm việc là hai đại lượng tỉ lệ nghịch với nhau

=> \(\frac{{12}}{{10}} = \frac{x}{{280}}\)

=> 10x = 12.280

=> 10x = 3360

x = 3360 : 10

x = 336 (thỏa mãn)

Vậy để hoàn thành hợp đồng trong 10 tháng thì nhà thầu cần thuê 336 công nhân.

Luyện tập 3 trang 18 Toán 7 tập 2 KNTT

Hướng dẫn giải:

Gọi số vở An mua ba loại 120 trang, 200 trang và 240 trang lần lượt là x, y, z (quyển)

Điều kiện: \(x,y,z \in {\mathbb{N}^*}\)

Theo bài ra ta có:

Bạn An mua tổng cộng 34 quyển vở => x + y + z = 34

Do số tiền An dành để mua mỗi loại vở là như nhau

=> 12x = 18y = 20z

=> \(\dfrac{x}{{\dfrac{1}{{12}}}} = \dfrac{y}{{\dfrac{1}{{18}}}} = \dfrac{z}{{\dfrac{1}{{20}}}}\)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\dfrac{x}{{\dfrac{1}{{12}}}} = \dfrac{y}{{\dfrac{1}{{18}}}} = \dfrac{z}{{\dfrac{1}{{20}}}} = \dfrac{{x + y + z}}{{\dfrac{1}{{12}} + \dfrac{1}{{18}} + \dfrac{1}{{20}}}} = \dfrac{{34}}{{\dfrac{{17}}{{90}}}} = 180\)

\(\Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{x}{{\dfrac{1}{{12}}}} = 180} \\ {\dfrac{y}{{\dfrac{1}{{18}}}} = 180} \\ {\dfrac{z}{{\dfrac{1}{{20}}}} = 180} \end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 180.\dfrac{1}{{12}}} \\ {y = 180.\dfrac{1}{{18}}} \\ {z = 180.\dfrac{1}{{20}}} \end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 15} \\ {y = 10} \\ {z = 9} \end{array}} \right.\left( {tm} \right)\)

Vậy số vở An mua của ba loại 120 trang, 200 trang và 240 trang lần lượt là 15 quyển, 10 quyển và 9 quyển.

Bài 6.22 trang 18 Toán 7 tập 2 KNTT

Cho biết x, y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch. Thay mỗi dấu “?” trong bảng sau bằng số thích hợp.

Viết công thức mô tả mối quan hệ phụ thuộc giữa hai đại lượng x và y.

Hướng dẫn giải:

Vì x và y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch, có x1y1 = 2.(-6) = -12 nên ta có công thức \(y = \dfrac{{ - 12}}{x}\)

Bài 6.23 trang 18 Toán 7 tập 2 KNTT

Theo bảng giá trị dưới đây, hai đại lượng x và y có phải là hai đại lượng tỉ lệ nghịch không?

Hướng dẫn giải:

a) Ta có: 3.160 = 6.80 = 16.30 = 24.20 nên 2 đại lượng x, y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch.

b) Ta có: \(4.160 = 8. 80 = 320.20 \ne 25.26\) nên 2 đại lượng x, y không là hai đại lượng tỉ lệ nghịch. \(\dfrac{5}{{15}} = \dfrac{9}{{27}} = \dfrac{{15}}{{45}} = \dfrac{{24}}{{72}}\)

Bài 6.24 trang 18 Toán 7 tập 2 KNTT

Cho biết y tỉ lệ nghịch với x theo hệ số tỉ lệ a, x tỉ lệ nghịch với z theo hệ số tỉ lệ b. Hỏi y tỉ lệ thuận hay tỉ lệ nghịch với z và hệ số tỉ lệ là bao nhiêu?

Hướng dẫn giải:

Vì y tỉ lệ nghịch với x theo hệ số tỉ lệ a nên \(y = \dfrac{a}{x}\)

Vì x tỉ lệ nghịch với z theo hệ số tỉ lệ b nên \(x = \dfrac{b}{z}\)

Do đó,\(y = \dfrac{a}{x} = \dfrac{a}{{\dfrac{b}{z}}} = a:\dfrac{b}{z} = a.\dfrac{z}{b} = \dfrac{a}{b}.z ( \dfrac{a}{b}\) là hằng số vì a,b là các hằng số)

Vậy y có tỉ lệ thuận với z và hệ số tỉ lệ là \(\dfrac{a}{b}\).

Bài 6.25 trang 18 Toán 7 tập 2 KNTT

Với cùng số tiền để mua 17 tập giấy A4 loại 1 có thể mua bao nhiêu tập giấy A4 loại 2, biết rằng giá tiền giấy loại 2 chỉ bằng 85% giá tiền giấy loại 1.

Hướng dẫn giải:

Gọi số tập giấy loại 2 có thể mua được là x (tập) (x > 0)

Vì số tiền không đổi nên số tập giấy mua được và giá tiền tương ứng là hai đại lượng tỉ lệ nghịch.

Áp dụng tính chất của hai đại lượng tỉ lệ nghịch, ta có:

\(85\% = \dfrac{{17}}{x} \Rightarrow x = \dfrac{{17}}{{85\% }} = 20\)(thỏa mãn)

Vậy số tập giấy loại 2 có thể mua được là 20 tập.

Bài 6.26 trang 18 Toán 7 tập 2 KNTT

Ba đội máy cày làm trên ba cánh đồng cùng diện tích. Đội thứ nhất hoàn thành công việc trong 4 ngày, đội thứ hai trong 6 ngày và đội thứ ba trong 8 ngày. Hỏi mỗi đội có mấy máy cày, biết rằng số máy cày của đội thứ nhất nhiều hơn số máy cày của đội thứ hai là 2 máy và năng suất của các máy như nhau?

Hướng dẫn giải:

Gọi số máy mỗi đội lần lượt là x,y,z (máy) \((x,y,z \in N*)\).

Vì số máy cày của đội thứ nhất nhiều hơn số máy cày của đội thứ hai là 2 máy nên x – y = 2

Vì 3 cánh đồng có cùng diện tích và năng suất của các máy như nhau nên số máy cày và thời gian hoàn thành là 2 đại lượng tỉ lệ nghịch.

Áp dụng tính chất của hai đại lượng tỉ lệ nghịch, ta có:

\(4x=6y=8z\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{x}{{\dfrac{1}{4}}} = \dfrac{y}{{\dfrac{1}{6}}} = \dfrac{z}{{\dfrac{1}{8}}} = \dfrac{{x - y}}{{\dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{6}}} = \dfrac{2}{{\dfrac{1}{{12}}}} = 2:\dfrac{1}{{12}} = 2.12 = 24\\ \Rightarrow x = 24.\dfrac{1}{4} = 6\\y = 24.\dfrac{1}{6} = 4\\z = 24.\dfrac{1}{8} = 3\end{array}\)

Vậy số máy mỗi đội lần lượt là 6 máy, 4 máy, 3 máy.